1、第二章 2.2 解线性方程组迭代法 数学与统计学院第1页第2页 解线性方程组两类方法直接法:经过有限次运算后可求得方程组准确解方法(不计舍入误差!)迭代法：从解某个近似值出发，经过结构一个无穷序列去迫近准确解方法。第3页 迭代法研究主要问题1）迭代格式结构；2）迭代收敛性分析；3）收敛速度分析；4）复杂性分析；（计算工作量）5）初始值选择。第4页迭代格式结构把矩阵A分裂为则 第5页迭代过程B称为迭代矩阵。给定初值 就得到向量序列定义：若 称逐次迫近法收敛，不然，称逐次迫近法不收敛或发散。第6页问题：是否是方程组（1）解？定理1：任意给定初始向量 ，若由迭代公式（2）产生迭代序列收敛到 ，则 是
2、方程组（1）解。证：第7页逐次迫近法收敛条件定理2：对任意初始向量 ，由（2）得到迭代序列收敛充要条件是迭代矩阵 谱半径证：所以第8页要检验一个矩阵谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别方法判断是否有定理3：若逐次迫近法迭代矩阵满足 ，则逐次迫近法收敛。Remark:因为矩阵范数 ，都能够直接用矩阵 元素计算，所以，用定理3，轻易判别逐次迫近法收敛性。第9页问题：怎样判断能够终止迭代？定理4：若迭代矩阵 满足 则 （3）（4）Remark:1)(4)式给出了一个停顿迭代判别准则。2)(3）式指出 越小收敛越快。，第10页证：第11页Jacobi 迭代=第12页Jacobi迭代分裂第13页迭代过
3、程：若记第14页算法描述1 输入2 if ,then 2.1 for 2.1.1 s=0,2.1.2 for 2.1.3 2.1.4 if then 第15页 2.2 k=k+1 2.3 if then 2.3.1 2.3.2 goto 2 else 输出 结束。else 2.4 输出 迭代次数太大。3 结束 第16页Gauss-Seidel迭代假设Jacobi迭代第17页分裂第18页算法描叙1 输入2 if ,then 2.1 for 2.1.1 s=0，2.1.2 for 2.1.3 第19页 2.1.4 if then 2.2 k=k+1 2.3 if ,输出结果，结束。else 2.4
4、 输出迭代次数太大。3 结束 第20页Remark:1)Gauss-Seidel迭代法计算过程比Jacobi迭代法更简单。计算过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。2)Gauss-Seidel迭代不一定比Jacobi迭代收敛快。第21页例第22页希望直接对系数矩阵A研究这俩种迭代收敛条件。第23页定理5 设A是有正对角元n阶对称矩阵，则Jacobi迭代收敛 A和2D-A同为正定矩阵。证：记则 即 ，从而有相同谱半径。第24页由A对称性，也对称，因而特征值全为实数，记为则 任一特征值为 。A，正定。故 正定。第25页A正定 正定，特征 值小于1。若 2D-A正定,特征值小于1,所以 特征值大于1。第26页定理6 A按行（列）严格对角占优，则Jacobi迭代收敛。引理 A按行（列）严格对角占优 （）证 （提醒）第27页定理7 A按行严格对角占优，则Gauss-Seidel迭代收敛。证 设 是 任一特征值，x 是对应特征向量。设若 则第28页定理8 A按列严格对角占优，则Gauss-Seidel迭代收敛。证 设 是 任一特征值，x 是对应特征向量。设第29页
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