2023年高考三角函数问题聚焦.pdf

陶江华 2 0 2 3年高考对三角函数的考查主要围绕“三角函数的图像与性质”展开,考查重点为函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、图像变换和零点,并常与三角恒等变换交汇命题。聚焦1:三角函数的周期性和对称性的应用例1 (2 0 2 3年高考全国卷)若f(x)=(x-1)2+a x+s i nx+2 为偶函数,则a=。解:函数f(x)=x2+(a-2)x+1+c o sx为偶函数,其定义域为R。因为偶函数+偶函数=偶函数,余弦函数y=c o sx为偶函数,所以二次函数y=x2+(a-2)x+1为偶函数,所以a-2=0,可得a=2。体验:f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称,f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称。如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|)。既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集。聚焦2:三角函数在区间上的单调性和最值例2 (2 0 2 3年高考上海卷)已知aR,记y=s i nx在a,2a 上的最小值为sa,在2a,3a 上的最小值为ta,则下列情况不可能的是()。A.sa 0,ta 0 B.sa 0,ta 0,ta 0D.sa 0解:由给定区间,可知a0。作出函数y=s i nx的部分图像,如图1所示。图1区间a,2a 与区间2a,3a 相邻,且区间长度相同。取a=6,则 a,2a=6,3 ,区 间2a,3a=3,2 ,可知sa0,ta0,A可能成立。取a=5 1 2,则a,2a=5 1 2,5 6 ,区间2a,3a=5 6,5 4 ,可知sa0,ta0,C可能成立。取a=7 6,则a,2a=7 6,7 3 ,区间2a,3a=7 3,7 2 ,可知sa0,ta0,B可能成立。结合选项可得,不可能成立的是sa 0。应选D。体验:本题主要考查正弦函数在所给相邻区间上的单调性和值域。聚焦3:利用三角换元法和辅助角公式求最值例3(2 0 2 3年高考全国卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()。A.1+3 22 B.4C.1+3 2 D.7解:利用三角换元法和辅助角公式求最值。由x2+y2-4x-2y-4=0,整 理 得(x-2)2+(y-1)2=9。令x=3 c o s+2,y=3 s i n+1,其中0,2 ,则x-y=3 c o s-3 s i n+1=3 2 c o s+4 +1。因为0,2 ,所以+44,9 4 ,所以当+4=2,即=7 4时,x-y取得最大值3 2+1。应选C。体验:本题的实质是点在圆上运动求点的横、纵坐标的差的最值。上述解法是通过三角换元,结合余弦函数的有界性求解的。聚焦4:三角函数的探索性问题例4(2 0 2 3年高考北京卷)已知函数24 创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年1月f(x)=s i n xc o s+c o s xs i n 0,|0,所 以f(0)=s i n0 c o s+c o s0 s i n=s i n=-32。又因为|2,所以=-3。(2)因为f(x)=s i n xc o s+c o s xs i n,所以f(x)=s i n(x+),所以f(x)的最大值为1,最小值为-1。选择条件。因为f(x)=s i n(x+)的最大值为1,最小值为-1,所以f3 =2无解,条件不能使函数f(x)存在。选 择 条 件。因 为f(x)在-3,2 3 上单调递增,且f2 3 =1,f-3 =-1,所以T2=2 3-3 =,所以T=2,=2 T=1,所以f(x)=s i nx+。又因为f-3 =-1,所以s i n-3+=-1,所以-3+=-2+2k,kZ,所 以=-6+2k,kZ。因为|0,0 0,0,所 以 最 小 正 周 期T=2。因 为f T =c o s2+=c o s 2 +=c o s=32,又0 0,所以当k=0时,m i n=3。2.设当x=时,函数f(x)=s i nx-2 c o sx取得最大值,则c o s=。提示:函数f(x)=5 s i n(x+),其中由s i n=-2 55,c o s=55所确定。当x=2k+2-,kZ时,f(x)取最大值,所以=2k+2-,k Z,所 以c o s=c o s2k+2-=s i n=-2 55。作者单位:湖北省荆州市沙市第一中学(责任编辑 郭正华)34创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年1月