2023年高考数学天津卷压轴题的另证.pdf

时，则直线的方程为（），直线 的方程为 ，（，），（，），（，），（，），联立直线与椭圆方程，（），整理得（）（），（）由韦达定理得 ，（），则 槡（）（）槡 （），在（）式中，令 得 ，所以 （）（）当圆锥曲线 为双曲线时，证明过程与 为椭圆时类似，此处不再赘述性质 设点，为有心圆锥曲线 的左、右焦点，的离心率为 ，抛物线 的顶点是 的中心，焦点为，过 不垂直于 对称轴的直线 被 截得弦为 ，被截得弦为 ，记弦 的中点为，弦 的中点为 ，则 证明：（）当圆锥曲线 为椭圆时，设椭圆方程为（），记，则抛物线的方程为 ，设直线 的方程为 （），（，），（，），（，），（，），当直线 与直线 都不存在斜率时，可得 ，显然 当直线 与直线 都 存 在 斜 率 时，联 立，整理得（），由韦达定理得 ，从而，所以 槡槡，槡（）联立 ，得 ，则 ，所以 ，槡槡 ，槡槡（）槡 （）所 以 （）槡 （）槡 （）当为双曲线时，证明过程与为椭圆时类似，此处不再赘述性质 已知椭圆：（），双曲线：（，），设，的左、右焦点均为点，的离心率分别为，过不垂直于对称轴的直线 被截得弦为 ，被 截得弦为 ，记弦 的中点为，弦 的中点为 ，则 证明过程与性质 类似，本文从略檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 年高考数学天津卷压轴题的另证浙江省衢州第二中学（）万祺 年高考天津卷的导数题一如既往的独具风格，耐人寻味 针对此题最后一问，本文将另辟蹊径，探寻他解试题呈现 已知 （）（）（）（）求曲线 （）在 处切线的斜率；（）当 时，证明：（）；（）证明：（！）（），年第 期中学数学研究解析：（）略；（）因为 （）（），令 （）（），由 （）（）（），故 （）在（，）单调递增，（）（），故原不等式成立（）先证右边：记 （！）（），注意到 ，下证 因为 （）（），结合第（）小题结论，取可知（）（），故 ，即 递减，从而对，成立再证左边：即证 （！）（）成立图 考 虑 函 数（）的图象，如 图 取（，），（，），（，），分别过 ，作 轴垂线交函数 图 象 于 ，过 作 轴平行线交 ，于，以 为切点，作曲线的切线交 ，于 ，两点，则有 ，从而 梯形 矩形 ，曲边梯形 的面积 曲边 ，注意到 （），故函数（）图象上凸递增，从而梯形 曲边 ，即 ()，故 (（）（）（)）(（）（）（)）（该不等式亦可通过求导证明）进一步对上式求和得 （）（）（）（()），即 （！）（）（）欲证 （！）（），只需（）（）（）即可，即证（）（）注意到 （），故 （），故（）（）另一方面，在第（）小题结论中取 知 ，从而（）（）得证至此，我们发现通过积分放缩，以及对 的粗糙估计，恰好可以得到 的下界，或许这也是命题者的意图之一 事实上，本题 递减，为了求 下界，需考虑 的情况，而由 公式可知 时，有 ！槡()，取对数得 （！）槡（()），即 （！）（）()槡 由此可见，此处的只是一个粗略的下界，为了得到更精细的下界，可构造一些精度较高的不等式加以证明，此处不再赘述参考文献 波利亚 怎样解题 徐泓，冯承天译 上海：上海科技教育出版社，单墫 解题研究 上海：上海教育出版社，中学数学研究 年第 期