高中数学数列易错题剖析.pdf

河南省许昌实验中学 朱嬿源 河南省许昌高级中学 温 馨 数列是高中数学的重点,也是高考的热点。在平时的练习和考试中同学们时常会出现思路受阻、会而不对、对而不全的现象,很多同学对此感到困惑。而分析题目的易错点是解决同学们困惑的一种有效途径,本文结合实践,现将数列中经常出现的易错点整理如下,希望对同学们的学习能有所帮助。易错点一、已知Sn求an时,首项错误导致全盘皆输例1 设数列an 的前n项和为Sn,且an0,n2+n+1Sn=n2+n+4-Sn3,求数列an 的通项公式。错解:由n2+n+1Sn=n2+n+4-Sn3,得S2n-(n2+n+4)Sn+3(n2+n+1)=0,即(Sn-3)Sn-(n2+n+1)=0,解得Sn=3(舍去)或Sn=n2+n+1。因为an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n,所以an=2n。错因分析:思路受阻,不能对已知条件进行等价转化,先求出Sn;an=Sn-Sn-1成立的条件是n 2,当n=1时要单独检验。正解:由n2+n+1Sn=n2+n+4-Sn3,得S2n-(n2+n+4)Sn+3(n2+n+1)=0,即(Sn-3)Sn-(n2+n+1)=0,解得Sn=3(舍去)或Sn=n2+n+1。当n=1时,a1=S1=3;当n 2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n。综上可得,an=3,n=1,2n,n 2。易错点二、忽视数列的定义域导致错误例2 已知数列an 的通项公式为an=n+2 0n-2 0,则an的最小值为()。A.4 5-2 0 B.-1 1C.1 2 D.1 错解:由 基 本 不 等 式 知n+2 0n-2 02n2 0n-2 0=4 5-2 0。错因分析:数列是特殊的函数,但数列的定义域为正整数集。正解:由 条 件 知an+1-an=(n+1)+2 0n+1-2 0-n+2 0n-2 0 =1+2 0n+1-2 0n。设an+1-an 0,即1+2 0n+1-2 0n0,即(n+1)n+2 0n-2 0(n+1)0,化简得n2+n-2 0 0。设y=x2+x-2 0,因为=1+8 0=8 1 0,所以x=-1 92。因为nN*,所以当n 4时,an+1an,所以a1a2a3a4=a5a6 8,数 列 an 满 足an=f(n),nN*,且数列an 是递增数列,则实数a的取值范围是()。A.1 34,4 B.1 34,4 C.(1,4)D.(3,4)错解:由于数列an 是递增数列,所以4-a 0,a 1,(4-a)8-5 a8-8,解得1 34a 0,a 1,(4-a)8-5 a9-8,解得3 a 4。故选D。易错点三、利用等比数列的前n项和公式时忽略q=1导致错误例4 求数列an=an(a0)的前n项和Sn。错解:代入等比数列的前n项和公式得Sn=a(1-an)1-a。错因分析:利用等比数列的前n项和公式时忽略对q=1的讨论出现错误。正解:当a=1时,Sn=n a;当a1时,Sn=a(1-an)1-a。易错点四、不会利用数列的周期性导致思路受阻例5 已知数列an 中,a1=-2,an+1=1+an1-an,则a2 0 2 3=()。A.-2 B.-13 C.12 D.3错解:由已知转化为an+1-an+1an=1+an,因转化不当使条件的结构更加复杂,导致思维受阻,无法进行下去。错因分析:忽略数列的周期性而导致思维受阻,出现错误。正解:由a2=1+a11-a1=-13,a3=1+a21-a2=12,a4=1+a31-a3=3,a5=1+a41-a4=-2,a6=1+a51-a5=-13,可得数列an 的周期T=4。因为2 0 2 3=4 5 0 5+3,所以a2 0 2 3=12。故选C。易错点五、忽略等比数列中各项的符号导致错误例6 已知1,a,4,-8成等比数列,则a的值为()。A.2 B.2 C.-2 D.1错 解:因 为1,a,4成 等 比 数 列,所 以a2=1 4,所以a=2,错选A。错因分析:在等比数列中,奇数项符号是相同的,偶数项符号是相同的。正解:因为1,a,4,-8成等比数列,所以a2=1 4,所以a=2。又因为公比q=-84=-2,所以a=-2。故选C。易错点六、裂项相消求和时找不出规律,因思维定式而出现错误例7 设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,。现有三个条件:a2,a4,a8成等比数列;S4=5a2;(n+1)an=n an+1。从上述三个条件中,任选一个补充在横线上,并解答。(1)求数列an 的通项公式;(2)若bn=1anan+2,数列bn 的前n项和为Kn,求证:Kn34。错解:(2)由(1)得an=1+n-1=n,所以bn=1anan+2=121n-1n+2 。所以Kn=121-13+1n+1n+2 =121-1n+2 1234。错因分析:裂项相消求和时找不出规律,因思维定式而胡乱猜测出现错误答案。正解:(1)an=n。(过程略)(2)由(1)得an=1+n-1=n,所以bn=1anan+2=121n-1n+2 。所以Kn=1211-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2=1211+12-1n+1-1n+2 =1232-2n+3(n+1)(n+2)34。同学们在数列的学习过程中,及时找出错误点,针对错误点快速查找到自身知识的盲点和薄弱点,从而进行有效的归纳整理,提高学习效率。因此,在数列学习中学会错题反思,减少题海战术,从而取得事半功倍的学习效果。(责任编辑 王福华)23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2 0 2 4年1月