2023年高考之计数原理考点解读.pdf

许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 计数问题是重要的数学问题,通过对计数基本原理、排列与组合、二项式定理及其应用的学习,我们能够了解计数与现实生活的联系,能够初步解决简单的计数问题。两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律,也是进一步研究排列、组合问题的基础。排列、组合与两个计数原理的综合是高考命题的热点,试题难度较小,多以选择、填空题形式出现,考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学素养。排列与组合常与概率、离散型随机变量的分布列等知识综合,多在解答题中综合命题,考查同学们的逻辑推理、数学抽象等数学素养。二项式定理也是高考命题热点之一,多出现在选择、填空题中,难度中等,主要考查二项展开式中的特定项、二项式系数的性质、二项式定理的应用等,也考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学素养。下面我们结合2 0 2 3年高考真题,对计数原理高考考点进行解读。考点1 对计数原理综合应用的考查例1(1)【2 0 2 3年全国甲卷理数第9题】现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()种。A.1 2 0 B.6 0 C.3 0 D.2 0(2)【2 0 2 3年全国乙卷理数第7题】甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()。A.3 0种 B.6 0种C.1 2 0种 D.2 4 0种(3)【2 0 2 3年全国新课标卷第1 3题】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答)。命题意图:本题主要考查两个基本计数原理与排列、组合知识的综合,考查同学们逻辑推理及数学运算等数学素养。解题思路:(1)利用分类加法原理,分类讨论5名志愿者连续参加两天公益活动的情况,可求解。(2)首先选相同的读物有6种情况,然后在剩余的读物中再选择2种读物进行排列,最后根据分步计数原理进行解答。(3)先分类讨论选修2门或3门课,当选修3门时,再讨论具体选修课的分配方法,结合组合数运算进行解答。解析:(1)不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加了两天公益活动,从剩余的4人中抽取2人分别参加星期六与星期日的公益活动,共有A24=1 2(种)方法。同理b,c,d,e连续参加了两天公益活动,也各有1 2种方法。所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数为5 1 2=6 0。选B。(2)首先确定相同的读物,共有C16种情况,然后两人各自选另外一种读物,相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列,共有A25种方法。根据分步乘法原理知共有C16A25=1 2 0(种)选法。选C。(3)()当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有C14C14=1 6(种)。()当从8门课中选修3门,若体育类选 修 课 有1门,则 不 同 的 选 课 方 案 共 有C14C24=2 4(种);若体育类选修课有2门,则不同的选课方案共有C24C14=2 4(种)。5知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年3月 综上,不同的选课方案共有1 6+2 4+2 4=6 4(种)。考点解读:运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”,分类就是能“一步到位”任何一类中任何一种方法都能完成整个事件,分类的关键在于要做到“不重不漏”;而分步则只能“局部到位”任何一步中任一种方法只能完成事件的某一部分,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步。考点2 对排列组合的考查例2【2 0 2 3年全国新课标卷第3题】某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取6 0名学生,已知该校初中部和高中部分别有4 0 0名学生和2 0 0名学生,则不同的抽样结果共有()。A.C4 54 0 0C1 52 0 0种 B.C2 04 0 0C4 02 0 0种C.C3 04 0 0C3 02 0 0种 D.C4 04 0 0C2 02 0 0种命题意图:本题是考查抽样方法及组合的知识,考查同学们的逻辑推理及数学运算等数学素养。解题思路:利用分层抽样的原理和组合数公式进行解答。解析:根据分层抽样的定义知初中部共抽取6 0 4 0 06 0 0=4 0(人),高中部共抽取6 02 0 06 0 0=2 0(人)。根据组合公式和分步计数原理,可得不同的抽样结果共有C4 04 0 0C2 02 0 0种。选D。考点解读:排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用。解答排列、组合问题,首先要根据题意明确是排列问题还是组合问题,或者是排列与组合的混合问题;其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行解答。解答排列与组合问题时要注意一些策略和方法技巧的应用,如特殊元素优先安排、相邻问题捆绑处理、不相邻问题插空处理、定序问题倍缩法处理等。考点3 排列组合与概率的综合考查例3【2 0 2 3年全国甲卷文数第4题】某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名。从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()。A.16 B.13 C.12 D.23命题意图:本题综合考查排列组合与古典概型,也考查同学们的逻辑推理及数学运算等数学素养。解题思路:利用古典概型的概率公式,结合组合的知识进行解答。解析:依题意知,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有C24=6(个),其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C12C12=4(个)。所以这2名学生来自不同年级的概率为46=23。选D。考点解读:由于概率与排列组合联系紧密,有承上启下的作用,故二者经常交汇构造一些等可能事件的概率问题,是高考命题的热点。(责任编辑 徐利杰)(上接第4页)草头1可以与草头3,4,2n-1,2n打结,共2n-2种方法;不妨设草头1与草头3打结,此时可将问题转化为“n-1根草打结后所有草构成一个圆环的问题”,故共有an-1种方 法,根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 得an=(2n-2)an-1(n 2),其中a1=1。容易得到a3=8,即为本题所求的答案。评析:结草成环问题是一个古老的游戏问题,是典型的an=f(n)an-1型递推公式的应用,通过累乘法可以得到an=2n-1(n-1)!。通过对上述六种题型的研究可以发现,有些排列组合问题通过合理分步、恰当分类,巧妙地运用递推数列的思想方法,不仅可以化繁为简,轻松破解,还能将问题拓展和推广,从而达到“做一题、会一类、通一片”的效果。(责任编辑 徐利杰)6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年3月