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正方形中常见辅助线例谈

一、截长补短法
例1：如图1，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且∠EBF=，则EF与CF+AE相等吗？说明理由.
分析：可考虑将FC延长至P，使CP=AE，这样，只需说明EF=PF即可.
解：延长FC到P，使CP=AE，连接BP，
B
C
D
E
P
F
A
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC， ∠A=∠BCD=∠BCP=，
∵AE=CP， ∴△ABE≌△CBP.
∴BE=BP， ∠ABE=∠CBP，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=，
∴∠CBP+∠EBC=，即∠EBP=.
∵∠EBF=，∠PBF=∠EBP-∠EBF=-=.
∴∠EBF=∠PBF =.
∵BE=BP，BF=BF， ∴△EBF≌△PBF，∴EF=PF.
∵PF=PC+CF，CP=AE，∴EF=CF+AE.
说明:想说明一条线段等于两条线段的和，有两种方法：截取法和延长法.截取法是在长线段中截去一短线段，再说明剩余部分等于另一短线段;延长法是将一短线段延长，使整条线段等于两短线段的和，再说明整条线段等于长线段.通过全等说明两线段相等是常用方法.
二、有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长构造全等三角形
例2：如图2，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP.
求证：AQ平分∠DAP.
分析：由AP=CD+CP通常选用截长补短的方法.即在PC的延长线上截一条线段等于CD，但若延长AQ交BC的延长线于E，可达到同样效果，即也可得证CD=CE.
1
P
D
C
B
A
E
Q
2
图1
证明：延长AQ交BC的延长线于E.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，AD∥BC，DC⊥BC， ∠D=，
∴∠D=∠DCE=.
又∵∠1=∠2，DQ=CQ.
∴△ADQ≌△ECQ.
∴AD=EC， ∠DAQ=∠E.
∵AP=PC+CD，∴AP=PC+AD=PC+CE=PE.
∴∠PAQ=∠E. ∴∠DAQ=∠PAQ.
∴AQ平分∠DAP.
说明：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，为证题创造条件.
三、有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形
例3：已知：如图3，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N.
求证：MD=MN.
分析：要证MD=MN，可证它们所在的三角形全等，而它们所在△AMD与△MBN不可能全等，而由M为AB中点，想到如取AD中点，则有DP=MB，再连接PM，这时可证△DPM与△MBN全等.
E
D
C
B
A
图3
P
M
N
1
2
证明：取AD的中点P，连结PM，则DP=PA=AD.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=，
∴∠1+∠AMD=，∠2+∠AMD=.
∴∠1=∠2.
∵M为AB中点，
∴AM=MB=AB.
∴DP=MB，AP=AM.
∴∠APM=∠AMP=.
∴∠DPM=.
∵BN平分∠CBE， ∴∠CBN=.
∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=+=.
∴∠DPM=∠MBN. ∴△DPM≌△MBN.∴MD=MN.
思考：若把M为AB中点改为M为AB上任一点（不与A、B重合）其他条件不变，原结论是否成立呢？
提示：(成立)
在AD上取点P，使DP=BM.连结PM，可证△DPM≌△MBN即可.

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