1、 正方形中常见辅助线例谈一、截长补短法例1:如图1,四边形ABCD是正方形,E,F是AD,DC上的点,且EBF=,则EF与CF+AE相等吗?说明理由.分析:可考虑将FC延长至P,使CP=AE,这样,只需说明EF=PF即可.解:延长FC到P,使CP=AE,连接BP,BCDEPFA图1四边形ABCD是正方形,AB=BC, A=BCD=BCP=,AE=CP, ABECBP.BE=BP, ABE=CBP,ABC=ABE+EBC=,CBP+EBC=,即EBP=.EBF=,PBF=EBP-EBF=-=.EBF=PBF =.BE=BP,BF=BF, EBFPBF,EF=PF.PF=PC+CF,CP=AE,E
2、F=CF+AE.说明:想说明一条线段等于两条线段的和,有两种方法:截取法和延长法.截取法是在长线段中截去一短线段,再说明剩余部分等于另一短线段;延长法是将一短线段延长,使整条线段等于两短线段的和,再说明整条线段等于长线段.通过全等说明两线段相等是常用方法.二、有以正方形一边中点为端点的线段时,常把这条线段延长构造全等三角形例2:如图2,在正方形ABCD中,Q在CD上,且DQ=QC,P在BC上,且AP=CD+CP.求证:AQ平分DAP.分析:由AP=CD+CP通常选用截长补短的方法.即在PC的延长线上截一条线段等于CD,但若延长AQ交BC的延长线于E,可达到同样效果,即也可得证CD=CE.1PD
3、CBAEQ2图1证明:延长AQ交BC的延长线于E.四边形ABCD为正方形,AD=CD,ADBC,DCBC, D=,D=DCE=.又1=2,DQ=CQ.ADQECQ.AD=EC, DAQ=E.AP=PC+CD,AP=PC+AD=PC+CE=PE.PAQ=E. DAQ=PAQ.AQ平分DAP.说明:有以正方形一边中点为端点的线段时,常把它延长构造全等三角形,为证题创造条件.三、有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形例3:已知:如图3,在正方形ABCD中,M为AB的中点,MNMD,BN平分CBE并交MN于N.求证:MD=MN.分析:要证MD=MN,可证它们所在的三角形全等,而它们所在AMD与MBN
4、不可能全等,而由M为AB中点,想到如取AD中点,则有DP=MB,再连接PM,这时可证DPM与MBN全等.EDCBA图3PMN12证明:取AD的中点P,连结PM,则DP=PA=AD.四边形ABCD为正方形,AD=AB,A=ABC=,1+AMD=,2+AMD=.1=2.M为AB中点,AM=MB=AB.DP=MB,AP=AM.APM=AMP=.DPM=.BN平分CBE, CBN=.MBN=MBC+CBN=+=.DPM=MBN. DPMMBN.MD=MN.思考:若把M为AB中点改为M为AB上任一点(不与A、B重合)其他条件不变,原结论是否成立呢?提示:(成立)在AD上取点P,使DP=BM.连结PM,可证DPMMBN即可.- 3 -