黄金分割法求极小值.doc

(完整版)黄金分割法求极小值
黄金分割法
02008202罗 黎
一 黄金分割法基本思路
黄金分割法适用于［a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a,b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解.
二 黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x）在给定初始区间[a,b]内搜索极小点xmin的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数,即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间［a，b］内取点：a1 ，a2 把［a,b]分为三段。如果f（a1)〉f（a2），令a=a1，a1=a2,a2=a+0。618＊（b-a)；如果f（a1)〈f（a2） ,令b=a2，a2=a1，a1=b-0.618＊（b—a），如果｜（b-a）/b｜和|(y1-y2）/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。因为[a，b]为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0。618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去，将使搜索区［a，b］逐步缩小,直到满足预先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。插入点原理图如下：

三 实验程序框图

四 matlab程序代码
主程序：
syms x a b a3 e h；
a=input(’搜索区间的第一点\a='）;
b=input（'搜索区间的第二点\b=’）；
e=input(’搜索精度\ne=’);
disp(’需求的优化函数f=f(x)，调用xmin=golden（f，a,b,e)’）;
m文件:
function xmin=golden(f,a,b，e)
k=0;
a1 =b-0。618*（b-a）; %插入点的值
a2 =a+0。618＊(b—a)；
while b—a>e ％循环条件
y1=subs（f，a1）;
y2=subs（f,a2)；
if y1〉y2 ％比较插入点的函数值的大小
a=a1; ％进行换名
a1=a2;
y1=y2；
a2=a+0.618*(b-a);
else
b=a2;
a2=a1;
y2=y1；
a1=b-0。618*(b-a）;
end
k=k+1;
end %迭代到满足条件为止就停止迭代
xmin=（a+b）/2;
fmin=subs(f，xmin) %输出函数的最优值
fprintf（’k=\n’)；
disp（k）;
五 程序运行结果
例如：f=x^2+2＊x,给定搜索区间［—3,5]，求此函数的极小点。
1. 首先运行主程序:
2。会提示你输入各个变量的值：

2. 输完各个变量的值，以及所求函数后，再运行 ：xmin=golden(f，a,b，e）
系统调用m文件的内容，这时候matlab就会输出函数的最优值.

即该函数的最小值点在x=—1，最小点的函数值fmin=—1，一共经过了29次迭代。
六 实验心得
通过此次实验对黄金分割法的基本思想有了一个全面的理解，原理比较简单，稍微复杂一点的就是缩小区间的时候怎么进行换名,另外一个难点就是如何用matlab来实现，此次实验通过自学相应的操作以及编程语言，最后完成了此次实验。