MS11洛必达法则与恒成立问题训练.doc

(word完整版)MS11洛必达法则与恒成立问题训练洛必达法则与恒成立问题训练1.（06全国卷2）设函数若对所有的0,都有ax成立。求实数a的取值范围.2.(2014新课标II)已知函数f（x）=exex2x（)讨论f(x）的单调性；（）设g（x）=f(2x）4bf（x),当x0时，g(x）0,求b的最大值；（）已知1。41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001)3。（2014陕西）设函数f(x）=ln（1+x）,g（x）=xf（x)，x0，其中f(x)是f（x）的导函数（）令g1（x)=g（x）,gn+1（x）=g（gn（x），nN+，求gn（x）的表达式；（）若f（x）ag(x)恒成立,求实数a的取值范围；(）设nN+,比较g（1)+g(2）+g（n)与nf（n）的大小，并加以证明4.（2013辽宁）已知函数f（x)=(1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx,当x0，1时，（I）求证：；(II）若f（x）g（x)恒成立，求实数a的取值范围5.（2012天津）已知函数f（x）=xln（x+a）的最小值为0，其中a0（1)求a的值；(2）若对任意的x0,+)，有f(x）kx2成立，求实数k的最小值；（3)证明：（nN）6.(2010新课标）设函数f（x）=x(ex1)ax2（）若a=，求f（x）的单调区间；（)若当x0时f(x)0，求a的取值范围7。（2010湖北)已知函数f（x）=ax+c(a0）的图象在点(1，f(1）处的切线方程为y=x1(1）用a表示出b，c;（2)若f（x）lnx在1，+）上恒成立，求a的取值范围8。(2016中山市模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2在点（2，f（2）处的切线方程为6x+3y10=0，且对任意的x0，+）f（x）kln（x+1）恒成立（I)求a，b的值；（）求实数k的最小值；()证明：9。（2016吉林三模）设，曲线y=f(x）在点（1，f（1）)处的切线与直线2x+y+1=0垂直（1)求a的值；(2）若x1，+），f(x)m（x1）恒成立，求m的范围（3）求证:10。（2016红桥区一模)设函数f（x）=ax2lnx（aR）（1）若f（x）在点（e,f（e）处的切线斜率为，求a的值；（2)当a0时，求f（x)的单调区间；(3)若g(x）=axex，求证:在x0时，f(x）g（x）11. （2016渭南一模）已知函数f（x）=ax2x+2ln（x+1）（）求函数f（x）的图象在点（0，f(0）)的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）ln（x+1），当x0,+）时，h（x）x恒成立，求实数a的取值范围12。（2016广州一模）已知函数,（）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；(）当时，证明：。13。(2016广州二模） 已知函数R. () 当时，求函数的最小值；(） 若时,，求实数的取值范围;（）求证：。14.设函数，曲线恒与轴相切于坐标原点。（1）求常数的值；（2)当时,恒成立，求实数的取值范围；(3）求证：恒成立。1. 分析：根据不等式，即可得，故当时，不等式恒成立，当仅当时等号成立.2。分析：（）由f（x）得f(x)=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0,函数f（x）在R上为增函数（）分离变量得，可知当时，属于类型,故可以用洛必达法则，故,由于,故；（）1。41421.4143,根据(）中g（x）=e2xe2x4b（exex)+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值,故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而;所以ln2的近似值为0。6933.分析：（)由已知,可得用数学归纳法加以证明;（)利用不等式,可知。由已知得到ln(1+x）恒成立构造函数(x）=ln（1+x）（x0），利用导数求出函数的最小值即可；（）在（）中取a=1，可得，令则，n依次取1,2，3，然后各式相加即得到不等式4。分析：(I)只需，根据不等式，可得，令，,故，命题即可得证。（II）,当时，属于类型，可以用洛必达法则，由于，故。5。分析：（1）函数的定义域为（a，+)，求导可得令f（x）=0，可得x=1aa令f（x）0，xa可得x1a;令f（x）0，xa可得ax1ax=1a时，函数取得极小值且为最小值函数f（x）=xln（x+a）的最小值为0，f(1a）=1a0，解得a=1（2） ，时,属于类型，故可用洛必达法则,（3） 当n=1时，不等式左边=2ln32=右边，不等式成立；当n2时，在（2）中，取k=，得f（x）x2,从而可得,由此可证结论6.分析：（I）a=时，f（x)=x(ex1)x2,=（ex1）(x+1）令f（x)0，可得x1或x0；令f（x）0,可得1x0；函数的单调增区间是（，1），（0，+)；单调减区间为（1,0）;（II）f(x）=x(ex1ax）令g(x)=ex1ax，则g（x)=exa若a1,则当x(0，+）时，g（x）0，g（x)为增函数，而g（0)=0,从而当x0时g（x）0，即f（x）0若a1，则当x（0,lna)时，g（x）0,g(x）为减函数，而g(0)=0，从而当x（0，lna）时，g(x）0,即f（x）0综合得a的取值范围为（，17。分析：（），则有，解得（)由（)知，当时,属于型，利用洛必达法则8.分析:（I）利用导数的几何意义即可得到f（2）=2，即12a+4b=2；切点满足切线方程可得62+3y10=0,即f(2）=，联立即可解出;解得（II）由(）得，f（x）=x2+x,可得x2+xkln（x+1)在x0,+）上恒成立；即x2x+kln（x+1）0在x0，+）恒成立;设g(x)=x2x+kln（x+1)，g（0）=0，只需证对于任意的x0,+）有g(x)g（0）,通过分类讨论利用导数得到函数g（x）的单调性即可得到最值;(）利用（II）的结论:令k=1，有x2+xln（x+1），即xx2+ln（x+1）在x0，+）恒成立再令，得，利用累加求和和裂项求和即可证明9。分析：（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x)在点（1，f（1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；a=0（2） 先将原来的恒成立问题转化为，设,即x（1,+)，g(x）0，属于类型，（3） （3)由（2）知，当x1时，时，成立不妨令，得出,再分别令k=1,2,，n得到n个不等式，最后累加可得10.分析:（1)通过f（x）在点(e，f(e）)处的切线斜率,可得f（e)=，解得，（2）由（1）知：f（x）=(x0）,结合导数分a0、a0两种情况讨论即可；（3）通过变形，只需证明h（x）=exlnx20即可，利用不等式，故。11。分析：（)根据导数的几何意义即可求出所求切线方程为y=x,（）若对任意的x0，+），h(x）x恒成立,则恒成立， ，利用洛必达法则，综合讨论结果可得实数a的取值范围为（，012.分析：（)因为，所以。因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.（)因为,，所以等价于根据不等式,即证。13。分析：(）解:当时，则。 令,得.当时， ; 当时， .函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。当时，函数取得最小值,其值为. （）若时，,即.，利用洛必达法则求出实数的取值范围是.()由(）知,当时, 在上单调递增.则，即。 . ，即. 14. 分析：（1)；（2）分离变量可得：，先令,，根据不等式,故对恒成立，为单调增函数，故只需证明即可，当时，属于类型，用洛必达法则（3） 要证,故只需证,只需证，只需证令，则，构造函数即可。第 8 页 共 8 页