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(完整word版)概率论公式总结
第1章 随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…………。
独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有

②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C）
全概公式

。
贝叶斯公式
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
， 则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面性质： 。
离散与连续型随机变量的关系
。积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. ；2。 是单调不减的函数，即时，有 ；3。，；4。 ，即是右连续的；5. 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。

（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布
在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。
， 其中，
则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量的分布律为
，，，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（）内的概率为

设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即

a≤x≤b
其他

指数分布
,

0, ,

其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。
X的分布函数为
记住积分公式

,

x<0。

正态分布
设随机变量的密度函数为

其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。
具有如下性质：
1° 的图形是关于对称的；
2° 当时，为最大值；
若，则的分布函数为

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，则

。

函数分布

离散型
已知的分布列为
 ，
的分布列（互不相等）如下：
，
若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布

连续型
对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
（2）
离散型与连续型的关系

边缘分布

离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。

连续型
X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

离散型

有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形

随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

函数分布

Z=X+Y
根据定义计算：
态分布的和仍为正态分布（）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，

Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布
设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
W～
我们称随机变量W服从自由度为n的分布记为

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设则

t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布
设，且X与Y独立，可以证明我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

第四章 随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征

离散型
连续型

期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

（要求绝对收敛）

函数的期望
Y=g(X)

Y=g(X)

方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差
，

（2）期望的性质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。

（3）方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

期望
方差
0-1分布
p

二项分布
np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n
2n
t分布
0
(n>2)

二维随机变量

数字特征

期望

函数的期望
＝

＝

方差

协方差
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即

与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。

相关系数
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。
||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：完全相关
而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差的性质
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
独立和不相关
若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。

（2）中心极限定理

列维－林德伯格定理
设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有

第六章 样本及抽样分布

常见统计量及其性质
样本均值
样本方差
样本标准差
样本k阶原点矩

样本k阶中心矩
，，
其中，为二阶中心矩

（2）正态总体下的四大分布

正态分布

设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

t分布
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

设为来自正态总体的一个样本，则
表示自由度为n-1的分布分布

F分布
设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中

表示自由度为，
当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为Ln.
当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则为样本的似然函数。若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估.

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