导数部分(题目及答案).doc

导数部分强化训练
姓名： 组别：
1.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的
图象大致形状是 (　　)

2.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象
如图所示，则f(x)的图象可能是 (　　)

3.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　)

4.(设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 (　　)

5. 函数f(x)在定义域内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)
A.∪[1,2) B.∪
C.∪[2,3) D.∪∪
6.已知曲线y＝x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 (　　)
A．4 B．3 C．2 D.
7.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 (　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．0
8.曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为 (　　)
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
9.若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则 (　　)
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝4x3－5 D．f(x)＝x4＋2
10.若曲线y＝x2的一条切线l的斜率是4，则切线l的方程为 (　　)
A．4x－y－4＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y＋4＝0 D．2x－y＋3＝0
11.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 (　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
12.已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为 (　　)
A．3 B．－3 C．5 D．－5
13.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是 (　　)
A．－ B．－ C．－4 D．－
14.函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0,3) B. C．(0，＋∞) D．(－∞，3)
15.已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为 (　　)
A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2)<f(－1) C．f(－a2)≥f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
16.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则 (　　)
A．a＝－11，b＝4 B．a＝－4，b＝11 C．a＝11，b＝－4 D．a＝4，b＝－11
17.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为 (　　)
A．16 B．12 C．32 D．6
18.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(　　) A．充分不必要条 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
19.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
20.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 (　　)
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
21.对于R上可导的任意函数f(x)，满足(x－1)f′(x)≥0，则必有 (　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
22.已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时有 (　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
23.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是(　　)
A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0 C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
24.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有 (　　)
A．f(x)>g(x) B．f(x)<g(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
25.三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1
26.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于 (　　)
A. B. C. D.
27. 已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为________．
28.曲线y＝2x2在点(－1,2)处的切线方程为____________．
29.已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
30.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为______．
31.曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为________________．
32.若f(x)＝x3＋kx2在[0,2]上是减函数，则k的取值范围为__________．
33.已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围_____．
34.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围__ __．
35.函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
36.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围___．
37.若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是____．
38.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．
39.已知函数f(x)＝x4＋ax3－a2x2＋a4 (a>0)．
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，求a的取值范围．

1.答案　B
解析　设二次函数为y＝ax2＋b (a<0，b>0)，
则y′＝2ax，又∵a<0，故选B.
2.答案　D
解析　当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．
3.答案　A
解析　由y＝f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y＝f′(x)的函数值依次为正负正负．由此可排除B、C、D.
4.答案　C
解析　利用导函数与原函数的图象关系求解．
∵f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x<－2时，f(x)单调递减，
即f′(x)<0；当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.
∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x>0时，y＝xf′(x)>0.
结合选项中图象知选C.
5.答案　C
解析　不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图象中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3)，答案C.
6.答案　C
解析　y＝x2，得y′＝x＝，∴x＝2.
7.答案　B
解析　由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，可知f′(x)为奇函数，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2.
点评　注意到f(x)的导函数是一个奇函数．f′(－1)＝－f′(1).
8.答案　A
解析　∵点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，∴过点(1,0)的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1×(x－1)，即y＝x－1.
9.答案　B
解析　设f(x)＝x4＋b，∵f(1)＝1＋b＝－1，∴b＝－2.
∴f(x)＝x4－2.
10.答案　A
解析　设切点为P(x0，y0)．
y′＝(x2)′＝2x，∵切线l的斜率是4，
∴2x0＝4.∴x0＝2，y0＝4，则l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
11.答案　A
解析　∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝2x＋a，∴在点(0，b)处的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
12.答案　A
解析　∵点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
∴2＝f′(1)＝3×12＋a，∴a＝－1.∴y＝x3－x＋b.
又∵点(1,3)在曲线上，∴b＝3.
点评　曲线与直线切于点(1,3)，(1,3)即为切点，既在曲线上，又在直线上．
13.答案　A
解析　f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.
比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－.
可知最小值为－.
14.答案　B
解析　令y′＝3x2－2a＝0，得x＝± (a>0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则 <1，∴0<a<.
15.答案　A
解析　由题意可得f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.
当x<－1时，f(x)为增函数；
当－1<x<时，f(x)为减函数．
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，
又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．
16.答案　D
解析　由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
根据已知条件即
解得或(经检验应舍去)
17.答案　C
解析　令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，
比较f(－3)，f(－2)，f(2)，f(3)的大小可知：
M＝f(－2)＝24，m＝f(2)＝－8.∴M－m＝32.
18.答案　C
解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.
由f(x)为增函数⇔f′(x)≥0在R上恒成立⇔Δ≤0⇔16－12m≤0⇔m≥.故p是q的充分必要条件．
19.答案　B
解析　∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2.
∵y′|x＝1＝3×1－2＝1，
∴y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率为1，
即其倾斜角为45°.
20.答案　B
解析　设截去小正方形的边长为x，则铁盒容积为V＝(48－2x)2x (0<x<24)，V′＝(48－2x)(48－6x)．令V′＝0，则x1＝24(舍去)，x2＝8，当0<x<8时，V′>0.当8<x<24时，V′<0.可知x＝8时，容积最大，故选B.
21.答案　C
解析　由(x－1)f′(x)≥0，得或
①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)>f(1)，∴f(0)＋f(2)>2f(1)．②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．
22.答案　B
解析　由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
又x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
23.答案　A
解析　设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，
则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，
可得切线的斜率为－3，
又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，
解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.
24.答案　C
解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
25.答案　A
解析　f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.
26.答案　C
解析　由图可知f(1)＝0，f(2)＝0，
∴解得
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.
由图可知x1，x2为f(x)的极值点，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
27.答案　3
解析　f′(x)＝－8＋2x，f′(x0)＝－8＋2x0＝4，
∴x0＝3.
28.答案　4x＋y＋2＝0
解析　∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝－1＝－4.
故在点(－1,2)处的切线方程为y－2＝－4(x＋1)，.
29.答案　－2
解析　由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，
∴f′(2)＝－2.
30.答案　
解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
31.答案　3x－y－2＝0
解析　∵y′＝3x2，k＝y′|x＝1＝3.
∴y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
则y′＝2ax，又∵a<0，故选B.
32.答案　(－∞，－3]
解析　f′(x)＝3x2＋2kx＝x(3x＋2k)，
由题意知是函数的单调减区间，
因此－≥2，即k≤－3.
33.答案　a≥3
34.答案　a<－3或a>6
解析　本题考查函数的极值概念及二次函数的图象应用，数形结合解答可减少错误；
若函数有极值需f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6的取值有负有正，故由二次函数图象可知只需Δ＝(2a)2－12(a＋6)>0即可，解得a<－3或a>6.
35.答案　(－1,11)
解析　∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0得－1<x<11，∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为(－1,11)．
36.答案　(－2,2)
解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，
得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．
37.答案　k≤
解析　f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意，知或解得k≤.
38.答案　2∶1
解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，
V′＝(x－2)(x－6)．
当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.
39.思维启迪：(1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调区间；(2)根据单调性→求f(x)的极大、极小值→用数形结合．
解　(1)因为f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a)，
令f′(x)＝0得x1＝－2a，x2＝0，x3＝a，
由a>0，可知f′(x)在f′(x)＝0处根的左右的符号如下表所示：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，0)
0
(0，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以f(x)的递增区间为(－2a,0)与(a，＋∞)；
f(x)的递减区间为(－∞，－2a)与(0，a)．
(2)由(1)得到f(x)极小值＝f(－2a)＝－a4，
f(x)极小值＝f(a)＝a4，f(x)极大值＝f(0)＝a4.
要使f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，
只要－a4<1<a4或a4<1，即a> 或0<a<1.
探究提高　解本题若采用研究初等函数的方法来讨论函数的单调性、最值是十分繁杂的，而采用导数来求函数的单调区间，通过“求导”、“解不等式”、“写单调区间”这三步，简明有效．