Matlab重点笔记——层次分析法.doc

20. 层次分析法一、概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHD）是将要决策问题及其关于因素分解成目的、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析决策办法。它特性是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。层次分析法广泛地应用到解决复杂决策问题，而决策是基于该办法计算出权重，因此也惯用来拟定指标权重。 层次分析法基本思路与人们对一种决策问题思维、判断过程大体上是同样。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式笔记本电脑A、B、C供选取。咱们普通会依照价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等某些准则去重复比较这个三个候选。一方面，会拟定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同人这种比重会有很大差别（喜欢玩游戏人看重硬件性能和散热、预算有限人看重价格等）。另一方面，还会就每一种准则将A、B、C进行对比，例如A最便宜，B次之；C性能最佳，B次之；C品牌最知名等。最后，将这两个层次比较判断进行综合，在A、B、C中拟定一台作为最符合自己需求电脑。二、算法环节1. 将问题条理化、层次化，建立层次构造模型1）最高层（目的层）只有一种元素：决策目的；2）中间层（准则层）考虑因素，决策准则、子准则；3）最底层（方案层）决策时备选方案、办法。层次分析法要解决问题是，求出最底层对最高层相对权重，以此对最底层方案、办法进行排序，选取最优方案。注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配元素普通不要超过9个，否则应划分为若干子层；注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下支配作用，以为同一层次元素间互相独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP）。例如前文提到选购笔记本电脑决策模型，可以建立如下层次构造：2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵）构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i个元素与第j个元素相对于上一层某个因素重要性时，使用数量化相对权重aij来表达，假设共有n个元素参加比较，则矩阵称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。Saaty依照绝大多数人认知事物心理习惯，建议用19及其倒数作为标度来拟定aij值。其中，2，4，6，8分别介于1，3，5，7，9相应重要限度之间。显然，A中元素满足：i) aij 0； ii) aji = 1/aij； iii) aii =1称为正互反矩阵。例如，选购笔记本电脑模型中，可以依照实际三台电脑重量得到电脑对准则层B3判断矩阵（aij可以取笔记本电脑j与i重量之比，重量越轻越好）：3. 层次单排序及判断矩阵一致性检查通惯用特性根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权重。定义若n阶正互反矩阵 (aij)nn满足aikakj = aij（相应aij=wi/wj，故需要aikakj =(wi/wk)/(wk/wj) = aij），则称(aij)nn为一致性矩阵。特性根法基本思想是，当正互反矩阵 (aij)nn为一致性矩阵时，相应于判断矩阵最大特性根max特性向量，经归一化后（使向量中各元素之和等于1）即为排序权向量，记为w，w元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性排序权值，这一过程称为层次单排序。能否进行层次单排序，就看判断矩阵与否为一致性矩阵，有如下定理：定理n阶正互反矩阵A为一致性矩阵充要条件是，A最大特性值max = n.在实际操作中，由于客观事物复杂性以及人们对事物判断比较时模糊性，很难构造出完全一致判断矩阵。因而，Satty在构造层次分析法时，提出了一致性检查，所谓一致性检查是指判断矩阵容许有一定不一致范畴。一致性检查环节如下：1）计算判断矩阵A最大特性值max;2）求出一致性指标（Consistencey Index）：C.I.=0表达完全一致，C.I.越大越不一致；3）用随机模仿取平均办法，求相应平均随机一致性指标R.I.，或者直接用Satty模仿1000次得到R.I.表：4）计算一致性比率：5）判断，当C.R.0.1时，以为判断矩阵A有满意一致性；若C.R.0.1，应考虑修正判断矩阵A.4. 计算各元素对目的层合成权重（层次总排序）为了实现层次分析法最后目，需要从上而下逐级进行各层元素对目的合成权重计算。设已计算出第k-1层nk-1个元素相对于目的合成权重为：再设第k层nk个元素关于第k-1层第j个元素（j=1,nk-1）单一准则排序权重向量为：上式对k层nk个元素是完全，若某些元素不受k-1层第j个元素支配，相应位置用0补充，于是得到nknk-1阶矩阵：从而可以得到第k层nk个元素关于目的层合成权重向量：按递归展开得写成分量形式为各层元素对目的层合成排序权重向量与否可以满意接受，与单一准则下排序问题同样，需要进行综合一致性检查：当C.R.(k) 0.1时，则以为层次构造在第k层以上判断具备整体满意一致性。注：实际应用中，整体一致性检查常不予进行。重要因素是，整体考虑十分困难；另一方面若每个单一准则下判断矩阵具备满意一致性，而整体达不到满意一致性时，调节起来非常困难。此外，整体一致性背景也不如单一准则下背景清晰，它必要性有待进一步研究。三、Matlab实现实现层次分析法Matlab函数：ahp.mfunction W,ahpResult = ahp(C)%层次分析法%C为n1元胞数组,存储整个层次模型构造：第2层对第1层、第3层对第2层、.第n+1层对第n层%假设第k层有m_k个元素，从左到右依次编号1,.,m_k%Ck也是元胞数组，k=1,.,n%Ck1,j存储受第j元素支配第k+1层各元素判断矩阵（j=1,2,.,m_k）%Ck2,j存储第k+1层各元素与否受第k层第j元素支配（m_k+1）*1逻辑数组,1表达支配,0表达不受支配%W返回方案层对目的层最后权重向量%ahpResult为n1元胞数组，存储层次分析过程各层成果信息，ahpResultk也是元胞数组%ahpResultk1,j返回第k+1层所有元素相对第k层j元素权重向量，第k+1层元素不受第k层j元素支配权重为0%ahpResultk2,j返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素判断矩阵最大特性值%ahpResultk3,j返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素判断矩阵一致性比率C.R.RI=0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51； % 平均随机一致性指标n = length(C)； %得到C长度n，于是懂得模型总层数为n+1ahpResult = cell(n,1)； % 存储各层成果信息for k = 1:nm_k = size(Ck,2)； % k层元素个数ahpResultk = cell(m_k,1)； forkk = 1:m_k%求第k+1层各元素对第k层kk元素成对比较矩阵特性值和特性向量 V,D = eig(Ck1,kk); maxD,ind = max(diag(D)； % 求最大特性值和其位置%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素权重预留出空间，长度应等于Ck2,kk长度ahpResultk1,kk = zeros(length(Ck2,kk),1);%将相应正互反矩阵属于最大特性值特性向量归一化后赋给ahpResultk1,kk中相应位置 %这些位置由逻辑数组Ck2,kk决定ahpResultk1,kk(Ck2,kk) = V(:,ind)/sum(V(:,ind);ahpResultk2,kk = maxD； % Ck1,kk正互反矩阵最大特性值nn = size(Ck1,kk,1)； % Ck1,kk阶数ahpResultk3,kk = (maxD-nn)/(nn-1)/RI(nn)； % 相应一致性比率C.R.endendW = ahpResult11,1;for k = 2:n% cat(2,ahpResultk1,:)把k+1层所有元素相对k层各个元素权重向量横向排在一起生成权重矩阵U(k) W = cat(2,ahpResultk1,:)*W；end用该函数实现层次分析法核心是，把整个层次构造存入嵌套元胞数组C中（见程序注释）：Ck存储第k+1层与第k层构造（k=1,n）；设第k层有mk个元素，其中第j元素与第k+1层构造关系存储到Ck，j中（j=1,mk），需要存储信息有： 受第j元素支配第k+1层各元素判断矩阵 第k+1层各元素与否受第k层第j元素支配（即有无连线）因此需要两个位置，即Ck1，j和Ck2，j.例1某工厂有一笔公司留成利润，需要决定如何分派使用。已经决定有三种用途：奖金、集体福利办法、引进技术设备。考察准则也有三个：与否能调动职工积极性、与否有助于提高技术水平、考虑改进职工生活条件。建立如下层次模型：通过工厂决策人员讨论，得到如下判断矩阵：1. 第2层对第1层三个元素C1，C2，C3都受A支配，判断矩阵C11,1为相应逻辑数组C12,1为true truetrue.2. 第3层对第2层(1) 第3层对第2层第1个元素C1受C1支配只有两个元素P1和P2，判断矩阵C21,1为相应逻辑数组C22,1为true truefalse.(2) 第3层对第2层第2个元素C2受C2支配只有两个元素P2和P3，判断矩阵C21,2为相应逻辑数组C22,2为false true true.(3) 第3层对第2层第3个元素C3受C3支配只有两个元素P1和P2，判断矩阵C21,3为相应逻辑数组C22,3为true truefalse.3. 有了上面分析，层次模型元胞数组表达C已经拟定，调用函数ahp.m即可C = cell(2,1);%共n+1=3层，故n=2C11,1 = 1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1;%第2层（C层）关于第1层（目的层A）判断矩阵C12,1 = true truetrue;%相应逻辑数组C21,1 = 1 1/3;3 1;%第3层（P层）关于第2层第1元素C1判断矩阵C22,1 = true truefalse;%相应逻辑数组C21,2 = 1 1/5;5 1;%第3层（P层）关于第2层第2元素C2判断矩阵C22,2 = false true true;%相应逻辑数组C21,3 = 1 2;1/2 1;%第3层（P层）关于第2层第3元素C3判断矩阵C22,3 = true truefalse;%相应逻辑数组W,ahpResult=ahp(C);%调用ahp求解W %输出总排序权重向量运营成果：W = 0.1984 0.2708 0.5308W就是方案层各个方案所占比重，可见引进技术设备所占比重最大，改进员工福利次之。体当前奖金分派上，即用所有留成利润53.08%引进技术设备，27.08%改进员工福利，19.84%发奖金。例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选：肉、面包、蔬菜。这三类食品所含营养成分及单价如下表所示：假设该人体重为55kg，每天对各类营养最小需求为维生素A 7500IU维生素B2 1.6338mg热量Q 8548.5kJ问题是：应如何制定食谱使得在保证营养前提下支出最小？单纯考虑问题条件，容易建立如下线性规划模型：设选取肉x1，面包x2，蔬菜x3，则有用Matlab求解线性规划问题函数linprog，可以求出最优解：f = 0.0275;0.006;0.007;A = -0.3527 0.0005 25;0.0021 0.0006 0.002;11.93 11.51 1.04;b = -7500;1.6338;8548.5;options = optimset(LargeScale，off，Simplex，on);x,fval,flag = linprog(f,A,b,0;0;0,infinfinf,options)运营成果：x = 0 687.5267 610.6420fval= 8.3997flag = 1 %表达算法成功求解出成果是，每天不吃肉，吃面包687.5267g，蔬菜610.642g，最低支出为8.40元。但实际考虑话，这个方案是难以让人接受，只考虑了营养够、价格低，没有考虑到营养均衡（需要吃一定量肉）。为此，咱们先用层次分析法拟定每天需要肉、面包、蔬菜比重，再重新线性规划。建立如下层次模型：注意：由于第2层支出因素D2直接支配第4层，需要在第3层补上一种因素“补项B”（仍当作“支出”看待），它只受D2支配，并且支配D2每个支配因素（第4层肉Me，面包Br，蔬菜Ve）。有了上面层次构造，再依照偏好建立判断矩阵（固然偏好因人而异）：1. 第2层对第1层判断矩阵：逻辑数组：C12,1=true true.2. 第3层对第2层(1) 第3层对第2层第1元素D1判断矩阵：逻辑数组：C22,1=true truetrue false.(2) 第3层对第2层第2元素D2判断矩阵：C21,2=1逻辑数组：C22,2=false falsefalseture.3. 第4层对第3层(1) 第4层对第3层第1元素A判断矩阵（用数据直接做比得到）：逻辑数组：C32,1=true true true.(2) 第4层对第3层第2元素B2判断矩阵（用数据直接做比得到）：逻辑数组：C32,2=true true true.(3) 第4层对第3层第3元素Q判断矩阵（用数据直接做比得到）：逻辑数组：C32,3=true true true.(4) 第4层对第3层第4元素B判断矩阵（用单价比倒数，由于单价越高越不重要）：逻辑数组：C32,4=true true true.4. 有了上面分析，层次模型元胞数组表达C已经拟定，调用函数ahp.m即可C = cell(3,1);C11,1 = 1 1/3;3 1;C12,1 = true(2,1);C21,1 = 1 1 2;1 1 2；1/2 1/2 1;C22,1=true truetrue false;C21,2=1;C22,2 = false,false,false,true;C31,1 = 1,0.3527/0.0005,0.3527/25;0.0005/0.3527,1,0.0005/25;25/0.3527,25/0.0005,1 ;C32,1=true(3,1);C31,2 = 1,0.0021/0.0006,0.0021/0.002;0.0006/0.0021,1,0.0006/0.002;0.002/0.0021,0.002/0.0006,1 ;C32,2=true(3,1);C31,3 = 1,11.93/11.51,11.93/1.04;11.51/11.93,1,11.51/1.04;1.04/11.93,1.04/11.51,1 ;C32,3=true(3,1);C31,4 = 1,0.006/0.0275,0.007/0.0275;0.0275/0.006,1,0.007/0.006;0.0275/0.007,0.006/0.007,1 ;C32,4=true(3,1);W,ahpResult=ahp(C);W运营成果：W = 0.2376 0.2293 0.5331该成果表白，按这个人状况，肉、面包、蔬菜比例取0.2376，0.2293，0.5331比较适当。引入参变量k，令x1=0.2376k，x2=0.2293k，x3=0.5331k，将其代入前文线性规划模型，得到用linprog求解：f = 0.0116;A = -13.4116;0.0017;6.0282;b = -7500;1.6338;8548.5;W = 0.23760.22930.5331;options = optimset(LargeScale，off，Simplex，on);k,fval,flag = linprog(f,A,b,0,inf,options)x = k*W运营成果：k = 1.4181e+03fval = 16.4498flag = 1x = 336.9370 325.1669 755.9811故k=1418.1，x1=336.94， x2=325.17， x3=755.98. 每天食品支出16.45元。注：对于不同人可以有不同判断矩阵C11,1，即营养与支出相对重要限度，例如，修改为1 1/3；3 1，可以得到x1=188.88，x2=497.82，x3=567.04. 每天食品支出12.14元。重要参照文献：吴鹏，Matlab高效编程技巧与应用：25个案例分析第11章。