二倍角问题辅助线的添加规律.doc

(word完整版)二倍角问题辅助线的添加规律二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件,处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线,构成等腰三角形.如下图，在ABC中,ABC=2C，作ABC的角平分线交AC于点D，则DBC=C，DBC是等腰三角形。 （2)延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形,利用等腰三角形的性质证题。如下图,在ABC中，B=2C,可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则ABD、ADC都是等腰三角形. 【典例】已知,如下图所示，在ABC中,C=2A，AC=2BC,求证：B=90. 思路一：要证B=90，可设法证B等于某个直角。由C=2A，可联想作C的角平分线CE，则ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证B=CDE即可.【证法一】如下图,作C的平分线CE交AB于点E，过E作EDAC于D. 则ACE=A，AE=CE.EDAC，CD=1/2AC。 AC=2BC，CD=CB。 则可证得CDECBE.即B=CDE=90.思路二：作C的平分线CD，将CDA沿CD翻折过来,得CDE。要证ABC=90，需证CD=ED,BC=BE。【证法二】如下图，作C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，AC=BC+BE. AC=2BC,BC=BE.在ACD和ECD中，AC=EC，ACD=ECD,CD=CD，ACDECD。 A=E,又DCB=DCA=A，E=DCB. DC=DE. ABC=90. 思路三：延长AC到D,使CD=BC，连接BD，则CBD和ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则DBE=90。要证ABC=90，只需证ABE=DBC。【证法三】延长AC到D,使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图 则EC=CD=BC，DBE=90。 CD=CB， D=CBD ACB=2D ACB=2A, A=D AB=BD 又AE=DC ABEDBC. ABE=DBC ABC= EBD=90。【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形,然后利用它们的相关性质探求解题途径。【配套练习】1、已知：ABC中，ACB=2B。求证：2ACAB。2、已知:AD是ABC的中线，C=2B，AC=1/2BC. 求证：ADC是等边三角形.【答案】1、延长BC到D,使CD=AC，连接AD，则AD=AB,AC+CDAD 2ACAB。2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则ACE、ABE都是等腰三角形，可证得ABDAEC，则AD=AC. 又AC=DC AC=DC =AD.思路二:作C的平分线CF,连接FD，则FCB=1/2ACB，证ACFDCF可得.