数学建模历年竞赛试题.pdf

目录目录.1一、什么是数学模型.42001年B题.公交车调度.52001年C题.基金使用计划.92002年A题车灯线光源的优化设计.102002年B题.彩票中的数学.112003 年 A题.SARS 的传播.142003年B题露天矿生产的车辆安排.212003年D题.抢渡长江.232004年C题饮酒驾车.252004年B题.电力市场的输电阻塞管理.26电力市场交易规则：.26输电阻塞管理原则：.27表1各机组出力方案（单位：兆瓦，记作M W）.29表2各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：M W）.31表3各机组的段容量（单位：M W）.32表4各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/M Wh）.32表5各机组的爬坡速率（单位：M W/分钟）.33表6各线路的潮流限值（单位：M W）和相对安全裕度.33数学与建模协会整理（昌大数模）2008年B题高等教育学费标准探讨.332008年D题NBA赛程的分析与评价.342009年A题制动器试验台的控制方法分析.352009年B题.眼科病床的合理安排.37【附录】2008-07-13到2008-09-11的病人信息.382009年D题.会议筹备.51附表110家备选宾馆的有关数据.51附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）.52附表3以往几届会议代表回执和与会情况.53附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）.54为什么要学习数学模型.551、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它.55例1买房贷款问题.56例2物体冷却过程的数学模型.562、是学好数学用好数学的必经之路.583、是数学教学改革的重要手段和有效路径.594、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现代大学生必须具备素质.615、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、发散式的形象思维方法，这有利于培养学生的创新意识。.616、数学建模可以培养学生创新意识和创造精神.637、数学建模是培养学生综合素质的好方法好途径.638、数学模型可以培养学生理论联系实际的能力.642数学与建模协会整理（昌大数模）三、怎样学习数学模型和怎样选写数学模型论文.64四、全国大学生数学建模竟赛简介.661、竟赛的 由来及现及尖.662、数学建模竞赛的特点.673、如何写作数学建模旁能论文.683数学与建模协会整理（昌大数模）大一、什么是数学模型现在我们就讲第一个问题，什么是数学模型。为此，我们先看几个全国大学 生数学建模竞赛题：4数学与建模协会整理（昌大数模）大2001年B题公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交 通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某 条公交线路的客流调查和运营资料。该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第34页给出的是典 型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路 同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均 速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早 高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%,一般也不要低于50%。试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的 公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方 案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方 法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。5数学与建模协会整理（昌大数模）大某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表.上行方向：A13为往A站名A13A12AllA10A9A8A7A6A5A4A3A2AlAO站间距（公里1.60.510.732.041.262.2911.20.411.030.535:00-6:00上3716052437690488385264545110下08913204845813218242585576:00-7:00上1990376333256589594315622510176308307680下099105164239 588542800 407208 3002889216157:00-8:00上3626 634528447948 868523958 904 259465454990下0205 227 272461 105 8109 71793801469 5606361871 14598:00-9:00上2064322305235477549271486 439157 275234600下010612316930063462197144024533940811327599:00-10:00上1186 205166147281 30417232426778143162360下0817512018140741155125013618723377448310:00-11:00上92315112010821521411921220175123112260下0525581136 299280 442178 10515316753238511:00-12:00上957181157133254 264135253 26074138117300下0545884131321291420196 119 159 15353434012:00-13:00上87314114010821520412923222165103112260下046497111126325638916411113414848833313:00-14:00上77914110384186 1851032111736610897230下03941701032211972971378511311638426314:00-15:00上6251041088216218090185170497585200下036394778189176339139809712038323915:00-16:00上635124988215218080185150498585200下03639578820919633912980107 11035322916:00-17:00上1493299240199396404210428390120 208197490下08085135194450441731 33515725525180055717:00-18:00上2011379311230497 479296586 508140 250259610下0110118171257694 573957 390253 293378122879318:00-19:00上69112410789167 165108201194539382220下0454880108237231 3901508913112542833619:00-20:00上3506455469185508889274847110下0222334631161081968348646620413920:00-21:00上304504336727540776022383790下01617243880841435934464716011721:00-22:00上209373226535529475216282760下014142133786312562304041128926数学与建模协会整理（昌大数模）大22:00-23:00上193325535513210下03358181727127993221某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表下行方向：A0开往A-13站名A0A2A3A4A5A6A7A8A9A10AllA12A13站间距（公里1.5610.441.20.972.291.320.7310.51.625:00-6:00上22342443331100下02116775342396:00-7:00上795143167841511881091371304553160下0704040184 20519514793109751082717:00-8:00上232 8380 427 224 420455272343331126138450下0294156157710780 8495453744442653739588:00-9:00上2706374492 224404532333345354120153460下0266158149 75682785652936742823737611679:00-10:00上155 62042741252353081622031987699270下01571008041051149833619927613621955610:00-11:00上90214718382155206 120 1501435059180下010359592463463201911471859615443811:00-12:00上84713013267127150 1081041074148150下09448481992382561751221436812834612:00-13:00上70690118661051449295883440120下0704040174 215205127103119659826113:00-14:00上7709712659102133971021043643130下0754343166210209136901276011530914:00-15:00上839133156691301651011181204249150下0844848219238 2461551121537811834615:00-16:00上111 017018979169194 1411521665464190下0110736325330734121513616710214442516:00-17:00上183 7260330146305404229277 25395122340下017596106459 61754940126630416226978417:00-18:00上302 0474587248 468 649388432452157 205560下0330 193194737 9341016606 416 494278448124918:00-19:00上19663503992043284712893353421221324007数学与建模协会整理（昌大数模）大下0223129150635787 690 505304423246320101019:00-20:00上939130 16588138187124 1431474856170下011359592663062902011471558615439820:00-21:00上6401071266911215387102943643130下075434318623021914690127709531921:00-22:00上636110128561051448295983440120下0734142190243192132 1071236710129022:00-23:00上2944351244658354142151750下0352020871089269476033491368数学与建模协会整理（昌大数模）大2001年C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当 前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时 间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额 大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计 划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1、只存款不购国库券；2、可存款也可购国库券；3、学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金 比其它年度多20%。银行存款税后年利率（）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.149数学与建模协会整理(昌大数模)大2002年A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向 正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴 相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计 规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测 试屏，屏与F A垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相 平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的 光强度不小于某一额定值(可取为1个单位)，B点的光强度不小于该额定值的 两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题：(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮 区。(3)讨论该设计规范的合理性。10数学与建模协会整理（昌大数模）大2002年B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩 民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0-9号球中摇出6个基本号码,曼组摇出一个，然后从0-4号球中摇出一个特别号理，构成中奖号码。投注者从 0一9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0一4中选一个特别号码，构成 一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号 码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。表一中奖 等级10选6+1(6+1/10)基本号码.特别号码说明一等奖Abcdef.-g选7中(6+1)二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeX.Xbcdef选7中（5）四等奖abcdXX.,XbcdeX.XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX.,XbcdXX.XXcdeX.,XXXdef选7中（3）六等奖abXXXX.XXXXef.XbcXXX.XXcdXX.,XXXdeX选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案:先从01一33个号 码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号 码。投注者从01 33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与 中奖号码相符的个数多?确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选 6+1”的方案，先从0136个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的 30个号码球中摇出一个特别号码。从01 36个号码中任选7个组成一注（不可重 复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑 号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二11数学与建模协会整理(昌大数模)大中奖 等级33 选 7(7/33)36 选 6+1(6+1/36)基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖选7中(7).选7中(6+1)二等奖选7中(6+1)选7中(6)三等奖选7中(6)O 选7中(5+1)四等奖 O O.选7中(5+1)O选7中(5)五等奖 O O选7中(5)O O.选7中(4+1)六等奖 O O O.选7中(4+1)O O选7中(4)七等奖 O O O选7中(4)O O O 选7中(3+1)注：为选中的基本号码；为选中的特别号码；o为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元，单 注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖 金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额 固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为：(当期销售总额x总奖金比例)-低项奖总额x单项奖比例(1)根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出 建议。(3)给报纸写一篇短文，供彩民参考。表三*奖项一等 奖 比例二等 奖 比例三等 奖 比例四等 奖 金额五等 奖 金额六等 奖 金额七等 奖 金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010512数学与建模协会整理（昌大数模）大97/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%3003013数学与建模协会整理(昌大数模)大2003年A题.SARS的传播SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发 和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重 要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓 延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：(1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。(2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模 型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或 延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供 的数据供参考。(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行 预测。附件3提供的数据供参考。(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重栗性。附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地 区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京 SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限(由于被严格隔离、治愈、死亡等)，并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的 变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北 京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。1、模型与参数假定初始时刻的病例数为血，平均每病人每天可传染个人(一般为小 数)，平均每个病人可以直接感染他人的时间为1天。则在天之内，病例数目的 增长随时间(单位天)的关系是：N(t)=N0(l+K)，如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限 上的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计 算的办法，把至U达天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。参数和1具有比较明显的实际意义。/可理解为平均每个病人在被发现前后 可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格 14数学与建模协会整理（昌大数模）大隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病 人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分 析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的 控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放 在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上 的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。参数显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的 警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的雁（从 拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率 比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整碓到比较小，然后保持 不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之 后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则到直需要做更多的调整。2、计算结果2.1、对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以 报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月 17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用 上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前 我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将一逐步调到0.0273,然后 保持0.0273算出后面控制期的结果。短期内调整的幅度很大，反映社会的变 化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算 出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港 疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约 40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。2.2、对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下 旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反 映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现 在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40 天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到右值上。比较好的拟合结果是，在高峰期 之前（t 101天），K=0.0892;在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算 出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫 情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。2.3、对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天 在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰 期以前的=0.13913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程 度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成 了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低 于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是 15数学与建模协会整理（昌大数模）大比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止 到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。图1、对香港疫情的拟合n 3月11.起顺图2对北京疫情的分析图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点 是采用香港参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话,就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增 几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病 例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降 速度慢，需要有关方面作具体分析。16数学与建模协会整理（昌大数模）大图3、北京日增病例走势分析3、结论每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地 区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫 情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧 烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则 有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日 增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东 类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会 到3800左右。附件2：北京市疫情的数据（据:网络）日期已确诊病例累计现有疑似病例死亡 累计治愈出院累计4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日9881093487617数学与建模协会整理（昌大数模）大4月27日1114125556784月28日1199127559784月29日1347135866834月30日1440140875905月01日15531415821005月02日16361468911095月03日17411493961155月04日180315371001185月05日189715101031215月06日196015231071345月07日204915141101415月08日213614861121525月09日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月01日2522739181112418数学与建模协会整理（昌大数模）大6月02日252273418111576月03日252272418111896月04日252271818112636月05日252271618113216月06日252271318314036月07日252366818314466月08日252255018415436月09日252245118416536月10日252235118617476月11日252325718618216月12日252315518718766月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日25212191227719数学与建模协会整理（昌大数模）大附件3:北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年1月2月3月11月12月4月5月6月7月8月.9月.10月19979.4.11.3.16.8.19.4.18.6 19.8 20.3 18.8.20.9.24.9.24.7.24.319989.6.11.7.15.8.20.1.15.9.19.5.17.8.17.8.23.3.21.4.24.5.199910.1.12.9.17.723.6 16.5.21.0.21.0.20.4.21.9.25.8.29.3.-29.8.200011.426.0.19.632.8 18.525.9.27.6.24.323,0 27.827.3 28.5200111.5.26.4.20.422.2.20.7.26.1.28.9.28.0.25.2.30.8.28.7.28.1.200213.7.29.7.23.129.2.22.9.28.9.29.0.27.4.26.0.32.2.31.4.32.6.200315.4.17.1.23.5.11.6.1.78.2.618.8 16.220数学与建模协会整理（昌大数模）大2003年B题露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现 代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电 动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加 露天矿经济效益的首要任务。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预 先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿 石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品 位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称 倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国 家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含 量（假设要求都为29.5%1%,称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量 在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个 班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。所用卡车载重量为154吨，平均时速28成。卡车的耗油量很大，每个班 次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班 次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原 则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以 上卡车服务。卡车每次都是满载运输。每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60根的双向车道，不会出现堵车 现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位 上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装 卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数 及安排即可）。一个合格的计划栗在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情 况下，取总运量最小的解）。请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个 班次的产量栗求：矿石漏1.2万吨、倒装场I 1.3万吨、倒装场II 1.3万吨、岩石21数学与建模协会整理（昌大数模）漏1.9万吨、岩场1.3万吨。铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下 表：铲位 1铲位 2铲位 3铲位 4铲位 5铲位 6铲位 7铲位 8铲位 9铲位 10矿石漏5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.27倒装场I1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51岩场5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57岩石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒装场II4.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表:铲位 1铲位 2铲位 3铲位 4铲位 5铲位 6铲位 7铲位 8铲位 9铲位 10矿石0.91.01.01.01.11.21.01.31.31.2量5505055055岩石1.21.11.31.01.11.31.01.11.31.2量5055555555铁含 量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%0-1-1-1-1-0 2 4?6 8 10 12各个铲位和卸点位置的示意图-1O岩石漏1 1*6。矿石漏-*3-*1+4 吃最_-*2*7*10-1倒装场I1 1O倒装场II图中*表手铲位0表示卸点1 122数学与建模协会整理（昌大数模）大2003年D题抢渡长江“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体 育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门 码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终 点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉 国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性,这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8,江水的平均流速为1.89 米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终 点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错 误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160米，从武昌 汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况，并回答以下问题；1.假定在竞渡过程中游泳者 的速 度大小和方向不变，且竞渡 区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样 的路线前进的，求她游泳速度的 大小和方向。如何根据游泳者自己 的速度选择游泳方向，试为一个 速度能保持在1.5米/秒的人选择 游泳方向，并估计他的成绩。2.在（1）的假设下，如果游 泳者始终以和岸边垂直的方向游，1000m-A终点：汉阳南岸长江水流方起点：武昌汉阳他（她）们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别;给出能够成功到达终点的选手的条件。3.若流速沿离岸边距离的分布为（设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向）：23数学与建模协会整理（昌大数模）大147米/机0米4八200米炉）:21米做200米八960米L47米/机 960米041160米游泳者的速度大小（1