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(word完整版)07-第七节 小数的概念与性质

第四章 小数与百分数

主要内容
小数的概念（小数点、纯小数、带小数)；小数的四则运算(小数加法减法、小数乘法除法)；近似数；小数与分数的互化（循环小数、纯循环小数、混循环小数、循环节、循环周期）；百分数的概念;近似计算.
本章教学内容，关于小数的定义，可能会带给人们一些困惑，即用小数的定义来判断，无限小数是不是小数的问题，似乎产生了（习惯上无限小数是小数，然而，按十进分数改写成不分母形式的数叫小数）矛盾.关于小数与分数互化的定理，人们可能会感到有些困难,因为，定理的证明采用了具有难度的数学方法——构造法，这种方法充分反映了在数学研究过程中的主观能动作用。
因此，我们的教学重点在这两个内容上下功夫，主要采用问题思考与分析讲解，以及自我理解与辅导。
第一节 小数的概念和性质

教学进程
一、小数的概念
1．定义
⑴十进分数
分母是（为自然数）的分数，叫做十进分数。十进分数是分数的集的子集。十进分数的分数单位：.
十进制整数的计数单位与十进分数的计数单位合一起,就构成了一个完整的十进制计数单位：

⑵十进分数的科学计数法
设:十进分数的分子为，十进分数的分母为，则十进分数:

⑶十进分数刻画方式的改进
将十进分数改写成不带分母形式的数，即：

⑷小数的定义
根据十进位制原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。小数中的标记点（小圆点)叫做小数点。小数点左边部分是小数的整数部分,小数点右边部分是小数的小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。整数可以看作小数部分是零的小数。
⑸小数的数位名称与计数单位

整数部分

小数部分
数位名称
……
千位
百位
十位
个位
·
十分位
百分位
千分位
……
计数单位
……
千
百
十
一

十分之一
百分之一
千分之一
……
⑹小数的语言刻画方式
小数的语言刻画方式有两种:一是整数部分按整数刻画方式，小数部分依次读出每一数位上的数字；二是把小数看作分数，按分数的刻画方式。
⑺小数的本质特征
数是刻画事物数量的一种标记，显然，小数也应该是刻画事物数量的标记,那么，小数是刻画什么事物数量的标记呢？
自然数刻画的是自然单位为计数单位的数量，整数刻画的是经过整合的计数单位的数量，因此，小数刻画的是经过切分的计数单位的数量，它含有小于自然单位“1”的计数单位.
由此可见，小数的本质特征是含有小于自然单位的计数单位的数。
二、小数的性质与大小
1．小数的性质
⑴小数末尾的零
在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。
⑵小数点的移动
把小数点往左移动位,小数就缩小倍;把小数点往右移动位，小数就扩大倍。
2．小数的大小
比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数就大；如果整数部分相同,那么依次看小数的十分位、百分位、千分位、……上的数，当出现第一个数的大小不相同的数位时，数大的小数就大，数小的小数就小。

第二节 小数的四则运算

一、小数的加法与减法
小数加法与减法的意义与整数加法与减法的意义一样;
小数加法与减法的运算法则与整数加法与减法法则也基本相同，即相同计数单位的数相加减。也就是说，利用位值原则，先把小数转化为若干个不同计数单位的数的和的形式，然后，利用若干个数的和与若干个数的和的性质,分别把不同计数单位的数相加（当计数单位满十时做好数的进位转化工作），最后，再利用位值原则写出加减运算的结果。
在小数的竖式计算中，相同计数单位的数相加减就是数位对齐,也就是小数点对齐！
问题思考：小学生在计算小数加法时,出现末尾对齐的错误,其原因是什么？
二、小数的乘法与除法
1．小数乘法的原理与法则
⑴小数乘法的原理
设两个小数，且小数位数分别为位与位.
则两个小数分别可以写成十进分数，即:
，。
因此,两个小数相乘,=
⑵小数乘法的法则
两个小数相乘,先把小数看作整数相乘,再把两个因数的小数位数的和,作为积的小数位数。
问题思考：基于小数乘法的原理与法则，小学数学教学中，如何教学:?小数乘法教学的重点与难点是什么？它的教学基础是什么？或者说：学生会算小数乘法的前提条件是什么?教学过程设计可以有两种:一种是生活化教学过程（利用生活常识获得计算结果）,一种是数学化教学过程（利用数学知识获得计算结果）。
2．小数除法的原理与法则
⑴小数除以整数的原理
设小数为，整数为，且小数的小数位数位。
则小数可以写成十进分数,即:。
因此，小数除以整数，==
问题思考:学生能够计算小数除以整数的运算式题，至少要掌握哪些知识？
⑵小数除以整数的法则
一个小数除以整数，可以把小数看作整数除以整数求出“商"，然后，把“商”的小数点往左移动位。
⑶小数除以小数的原理
设两个小数，且小数位数分别为位与位。
则两个小数分别可以写成十进分数，即：
，。
因此，小数除以小数，==
⑷小数除以小数的法则
一个小数除以小数，首先，利用转化思想，找到运算的基本策略，即把除数的小数转化成整数；其次，利用除法运算性质(商的不变性），“被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数商的大小不变”,把小数除以小数的被除数与除数同时扩大倍，把除数的小数转化成整数,即可按照小数除以整数的法则进行运算。
问题思考：教学小数除以小数，教学重点是什么？
三、有限小数与无限小数
1．有限小数与无限小数的概念
⑴有限小数
小数部分的位数有限的小数,叫做有限小数.
⑵无限小数
小数部分的位数无限的小数，叫做无限小数。
2．问题思考
⑴从定义出发来看，有限小数与无限小数的区别是什么？
⑵无限小数是不是小数?
四、近似数与准确数
1．近似数与准确数的概念
⑴什么叫准确数？
在计数与计算过程中,获得的结果与实际情况完全符合的数，叫做准确数;
⑵什么叫近似数?
在计数与计算过程中，获得的结果与实际情况不完全符合的数，叫做近似数。一个数的近似数，可以记作：
2．截取近似数的方法
⑴四舍五入法
如果去掉部分的首位数字大于等于5,就给保留部分的最后一位数加上1（称五入）；如果去掉部分的首位数字小于5,保留部分的最后一位数保持不变(称四舍)。
⑵进一法
去掉多余部分的数字后，保留部分的最后一位数加上1。
⑶去尾法
去掉多余部分的数字后,保留部分的最后一位数保持不变。

第三节 小数与分数

一、化分数为小数
1．化分数为有限小数
⑴化分数为有限小数的定理
定理1 一个既约真分数能化为有限小数的充要条件是,分母只含有质因数2与5(只有2，或只有5，或既有2也有5），而且，有限小数的位数与分母中2或5的较大指数相同。
定理的简化表征：（既约真分数）能化成有限小数只含有质因数2、5
定理的证明：
充分性：只含有质因数2、5能化成有限小数
证明：∵只含有质因数2、5，∴==,显然，这是一个十进分数，因此，能化成有限小数。
必要性：能化成有限小数只含有质因数2、5
证明：∵能化成有限小数，∴是一个十进分数，即：=。
根据分数相等的定义有： 。
又∵是既约真分数，∴ ，即只含有质因数2、5。
⑵化分数为有限小数的方法
第一种方法:十进分数法.
把分数化成十进分数，再把十进分数写成不带分母形式的数。
第二种方法：除法运算法。
根据分数与除法的关系，用分子除以分母,商就是小数。
2．化分数为循环小数
⑴循环小数的概念
一个无限小数,如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或者几个数字,依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数
小数部分依次重复出现的一个或几个数字，叫做循环节.
小数点后第一位开始循环的小数，叫做纯循环小数。
小点后面有一位或几位不循环的循环小数，叫做混循环小数。
⑵循环小数的性质
循环节的位数增加到原循环节的2倍、3倍……循环小数的值不变。
纯循环小数可以写成混循环小数的形式，值不变。
有限小数也可以写作以0为循环节的循环小数。
⑶化分数为循环小数的定理
定理2 如果一个既约真分数的分母只含有2和5以外的质因数，那么，①这个分数所化成的小数是纯循环小数,而且,②这个循环小数的循环节的最少位数，与分母能整除时9的最少个数相同。
定理的证明:第一部分.
因为，既约真分数的分母只含有2和5以外的质因数，所以，。
，且取最小值 ,即

显然,
设，,即。
则有：与的小数部分相同。
令
则
且有：
，,……，；
，，……
，（是循环节的位数）。
因此。分母只含有2和5以外的质因数的既约真分数化成的小数是纯循环小数。
定理的证明：第二部分。
由第一部分可知，是的最少的“9”个数,也是既约真分数能化成纯循环小数的循环节位数。
假设不是循环节的最少位数,则，

∵是整数，是既约真分数
∴
能整除的个数比小,与能整除的最少个数矛循。
由此可见，是既约真分数化成纯循环小数,循环节的最少位数是，也就是分母能整除中9的最少个数。
⑷化分数为混循环小数的定理
定理3 如果一个既约真分数的分母里,既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么，①这个分数所化成的小数是混循环小数；②小数部分不循环的位数等于分母里因数2和5的指数中较大的一个数；③这个循环小数的循环节的最少位数,与分母里2和5以外的质因数的积能整除时9的最少个数相同。
定理证明：第一部分.
因为，既约真分数的分母里，既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，所以有：
设，为分母里2、5以外的质因数的积。

，且（）=1
，且（，为整数）,

显然,是一个既约真分数，且只有2、5以外的质因数，因此,可以化成纯循环小数。
也是一个纯循环小数。
是一个混循环小数.
设，则，因此，不循环部分的倍数与分母2、5中较大的一个指数相同.而且，当小数点向左移动位后，小数的循环节没有发生变化,的循环节与的循环节的最少位数相同。
3．化分数为小数的小结
既约真分数
有限小数
无限小数
循环小数

纯循环小数
混循环小数

图4—1 小数与分数的互化关系
二、化小数为分数
1．化有限小数为分数
方法：将有限小数改写成十进分数,然后，将十进分数化简。
2．化循环小数为分数
⑴化纯循环小数为分数
定理4 一个纯循环小数化成分数，如果纯循环小数的循环节是,那么,纯循环小数化成的分数的分母是，分子是由一个循环节组成的整数。

⑵化混循环小数为分数
定理5 一个混循环小数化成分数,如果混循环小数的循环节是，不循环部分的位数是,那么，混循环小数化成的分数的分母是，分子是由不循环数字与一个循环节组成的整数与循环节组成的整数的差。

三、百分数
1．百分数的概念
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.也叫百分比或百分率

第四节 近似计算
一、误差、精确度与有效数字
1．误差
设准确数为，近似数为,则—叫做近似数误差.—〉0,叫做不足误差；—<0，叫做过剩误差。
2．绝对误差
一个量的准确数与近似数的差的绝对值,叫做这个近似数的绝对误差。记作：.
3．精确度
近似数接近准确数的程度，通常称为精确度。
4．相对误差
近似数的绝对误差除以准确数的商,叫做相对误差。记作：
5．有效数字
一个近似数，如果绝对误差不超过它的最末一位的半个单位，那么从左面第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.
二、近似数的四则计算
1．近似数的加减法
近似数相加或相减时，先把小数位数较多的近似数四舍五入，使其比小数位数最少的近似数多一位小数;然后，按照通常的加减法法则进行计算；最后，把计算结果中多保留的那一位数四舍五入。
2．近似数的乘除法
近似数相乘或相除时，先把有效数字较多的近似数四舍五入，使其比有效数字较少的近似数多保留一个有效数字;然后按照通常的乘除法法则进行计算；最后使计算结果中有效数字的个数和原来较少的那个近似数中的有效数字的个数相同。
3．近似数的混合运算
计算前必须分清哪些是近似数，哪些是准确数，准确数的小数位数和有效数字个数可根据需要取定；计算时，中间步骤的计算结果所保留的数字要比按照前面的计算法则规定保留的数字多一个；计算时,可能的话，应从有效数字较多的近似数开始算，以保证下一步计算时有足够的有效数字的个数；两个很相近的近似数相减容易减少有效数字的个数，应尽量避免这种运算；由于采取的运算顺序不同，会导致最后计算结果的尾数不完全相同，只要都是按法则逐步计算出来的，这些不同的结果都是正确的。
4．预定结果精确度的计算
预定结果精确度的计算， 在计算过程中，需要根据精确度要求,对计算的原始数据确定其精确度，即取有效数字或相应的精确度。特别是在乘除法运算中,还需要根据精确度要求，对计算结果进行估算，从而确定计算的原始数据的有效数字或相应的精确度.

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