函数恒成立问题(端点效应).doc

(word完整版)函数恒成立问题(端点效应)
函数恒成立
专题01:可求最值型
基础知识：(1）不等式在定义域内恒成立，等价于；
（2)不等式在定义域内恒成立，等价于。
【例1】【重庆文】若对任意的，恒成立，求的取值范围。

【例2】函数在区间上恒有，求可以取到的最大整数。

【变式1】函数，若恒成立，求的取值范围.

【变式2】【2012新课标文】设函数
Ⅰ 求的单调区间；
Ⅱ 若,为整数,且当时，,求的最大值.

【变式3】【2012新课标理】已知函数满足
Ⅰ 求的解析式及单调区间；
Ⅱ 若，求的值。

专题02：分离变量型
基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题,希望同学通过以下例子有所感悟

【例1】【2010天津】函数，对任意 恒成立，求实数的取值范围。

【变式1】【2010安徽】若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

【例2】若函数在上单调递增，求的取值范围.

【变式2】【2012湖北】若在上是减函数，求的取值范围.

【变式3】【2014江西】已知函数，若在区间上单调递增，求的取值范围。

专题03：端点与一次函数、二次函数
基础知识：（1）研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。
（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化.
【例1】【2009北京】若在上单调递增，求的取值范围。

引申:我们的习惯思维都是默认字母为函数的自变量，而像这样的字母代表参数，但其实这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对,若题目需要求解参数的取值范围,在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法"。
【例2】【2009福建】已知函数的导函数为若对满足的一切的值,都有，求实数的取值范围.

【例3】【2008天津】已知函数，若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。

【变式】【2008安徽】设函数，其中为实数。
Ⅰ 已知函数在处取得极值，求的值；
Ⅱ 已知对任意恒成立，求实数的取值范围。

（3）对于一次函数或任何单调函数而言,最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设在上不单调且恒大于零，那么在上递减,在上递增,故的最大值也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数而言,若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下:
①在上非正，等价于
②在上非负，等价于
【例1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____。

【例2】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____。

专题04：端点效应
基础知识：从前面的例子可以看出,将函数恒正(恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负)即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了.
【例1】已知函数，当时，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.

【例2】【2008江苏】设函数,若对于总有恒成立，则=____.

说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例1通过端点可以不必考虑单增情形，例2通过端点可以缩小的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。

函数在端点处的取值有以下三种情形:
（1） 在区间的端点和处均有定义且
（2） 在区间的端点或处无定义或区间是无限区间；
（3） 在区间的端点或处有或。
一、 端点处的取值有意义且不为0
【例1】【2008天津】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立,则的取值范围是（ )
A.
B.
C.
D.
【例2】若在上恒成立，则实数的取值范围是________
【变式1】【2013全国卷】已知函数,当时,,求的取值范围.

【变式2】【2012江西】已知函数在上单调递减，求的取值范围。

【变式3】【2010天津】已知函数，若在区间上恒成立，求的取值范围。

二、 端点处的取值没有意义且趋于无穷
的定义域是,且当趋于0时，趋于负无穷,当趋于时，趋于正无穷，为了后面方便表述，记。然后不管函数在区间的端点处有没有意义，也不管是否为无穷，我们均记为当趋于时的值。这样的记法为了后面的叙述。
【例1】【2012新课标】当时,,则的取值范围是（ ）
A. B. C。 D。
【例2】函数，若对定义域内任意恒成立,求实数的取值范围.

【例3】【2012天津】函数恒成立，则实数的取值范围是_______。
【例4】【2013新课标】设函数，若时，，求的取值范围.

【例5】【2009江西】已知函数，若对于任一实数,与的值至少有一个为正，则的取值范围是______.

【变式1】不等式恒成立,则实数的取值范围是（ )
A。 B。 C. D。
【变式2】【2011北京】设函数，若对于任意的，都有，求实数的取值范围。

【变式3】【2014江苏】已知函数，其中是自然对数的底数,若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

【变式4】【2012北京文】已知,若或,则的取值范围是______。

【变式5】【2012北京理】已知,若同时满足（1） 或；（2），则的取值范围是______.

三、 端点处的取值为0
(1）若多项式函数满足，则一定可以分解成这种形式,其中也为多项式函数。
【例1】【2009全国卷】已知在上是增函数，求的取值范围。

【例2】【2012浙江理】设，若时均有，则______.

【例3】【2009天津】已知有三个不同的实根，分别为若对任意的恒成立,求的取值范围。

【变式1】【2008全国卷】设函数，若在处取得最大值，求的取值范围。

【变式2】【2011湖北】已知有三个不同的实根，分别为,且对任意的，恒成立,求实数的取值范围。

注意：若多项式函数有明显的根,分解因式能够将函数降次，特别是形如的多项式函数，是高考中的常见情形,它可以分解成，需掌握此多项式.

（2） 若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式，这些函数虽然在端点处的值为零，但不能将它们分解，对此需用以下知识点:
①在上恒成立,若，则;若，则
②在上恒成立，若，则；若，则
特别提醒:这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。
【例1】【2007全国Ⅰ理】 已知函数
Ⅰ 证明：的导数；
Ⅱ 若对所有都有，求的取值范围.
【例2】【2008全国Ⅱ文】 已知函数
Ⅰ 若，求的单调区间；
Ⅱ 若时，，求的取值范围。
【例3】【2008全国Ⅱ理】 已知函数
Ⅰ 求的单调区间;
Ⅱ 如果对任何时，都有，求的取值范围.
【例4】【2010新课标理】 已知函数
Ⅰ 若,求的单调区间;
Ⅱ 若时，，求的取值范围。

【例5】【2013全国理】 已知函数
Ⅰ 若时，，求的最小值；
Ⅱ 设数列的通项，证明：.

【例6】【2014全国Ⅱ理】已知函数。
Ⅰ 讨论的单调性；
Ⅱ 设，当时，，求的最大值；
Ⅲ 已知,估计ln2的近似值(精确到0。001).

【例7】【2012大纲理】设函数。
Ⅰ 讨论的单调性；
Ⅱ 设，求的取值范围。

总结：对于无法求最值的恒成立问题,解题的基本步骤如下
（1） 首先由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；
（2） 然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负；
（3） 如果导数不变号,则由端点得到的范围就是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性（若函数先增后减，则最小值在端点处取得,若函数先减后增，则最大值在端点处取得）。
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