北师大版二次函数经典总结及典型题.pdf

二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次2yaxbxcabc何何0a 函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为0a bc何零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc何何abc二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：2yaxc上加下减。3.的性质：2ya xh左加右减。4.的性质：2ya xhk的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00何轴y时，随的增大而增大；时，随0 x yx0 x y的增大而减小；时，有最小值x0 x y00a 向下00何轴y时，随的增大而减小；时，随0 x yx0 x y的增大而增大；时，有最大值x0 x y0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时，随的增大而增大；时，随0 x yx0 x y的增大而减小；时，有最小值x0 x yc0a 向下0c何轴y时，随的增大而减小；时，随0 x yx0 x y的增大而增大；时，有最大值x0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时，随的增大而增大；时，随xhyxxhy的增大而减小；时，有最小值xxhy00a 向下0h何X=h时，随的增大而减小；时，随xhyxxhy的增大而增大；时，有最大值xxhy0三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk何 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk何 (h0)(h0)(k0)(h0)(h0)(k0)(k0)|k|y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右hk减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2四、二次函数与的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配2ya xhk2yaxbxc方可以得到前者，即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa 何五、二次函数图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定2yaxbxc2()ya xhk其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk何X=h时，随的增大而增大；时，随xhyxxhy的增大而减小；时，有最小值xxhyk0a 向下hk何X=h时，随的增大而减小；时，随xhyxxhy的增大而增大；时，有最大值xxhyk取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与y0c何0c何2hc，轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x10 x 何20 x 何x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy六、二次函数的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa何当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2bxa yx2bxa yx时，有最小值2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当0a 2bxa 2424bacbaa何时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有2bxa yx2bxa yx2bxa y最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交x240bac点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大0a aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定aaa开口的大小2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ababx2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc何何二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 2.关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5.关于点对称 mn何关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn何222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合a适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的240bac x1200A xB x，12()xx是一元二次方程的两根这两点间的距离12xx，200axbxca.2214bacABxxa 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，2yaxbxcabca，的符号判断图象的位置，要数形结合；bc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母2(0)axbxc a的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内x0a 在联系：十一、函数的应用二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。一、二次函数的定义例 1、已知函数 y=(m1)xm2+1+5x3 是二次函数，求 m 的值。练习、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。二、五点作图法的应用 例 2.已知抛物线，yxx123522（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长1、（2009 泰安）抛物线的顶点坐标为1822xxy（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）2、(2009 年南充)抛物线的对称轴是直线（）(1)(3)(0)ya xxaABCD1x 1x 3x 3x 3、（2009 年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式 3412xxykhxay2三、及的符号确定abc，bac24例 3.已知抛物线如图，试确定：yaxbxc2 （1）及的符号；（2）与的符号。abc，bac24abcabc0 抛物线与轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与轴只x有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与轴无x交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.1、（2009 年南宁市）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结2yaxbxc0a 论：，其中正确的个数有（）20040bcbac0abcA1 个B2 个C3 个D4 个2、（2009 年黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：2yaxbxc；其中所有正确0abc1abc0abc 420abc1ca结论的序号是（）AB CD111Oxy3、（2009 年枣庄市）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）Aa0Bc0Cacb420Dcba04、（2009 年甘肃庆阳）图 12 为二次函数2yaxbxc的图象，给出下列说法：0ab；方程20axbxc的根为1213xx，；0abc；当1x 时，y 随 x 值的增大而增大；当0y 时，13x 其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）yxO115、(2009 年鄂州)已知=次函数 yax+bx+c 的图象如图则下列 5 个代数式：2ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab 中，其值大于 0 的个数为（）A2 B 3 C、4 D、5四、二次函数解析式的确定例 4.求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点 M（-1，2），且过 N（2，1）；（3）已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解析式。练习：根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式1 当 x=3 时，y最小值=1，且图象过（0，7）2 图象过点（0，2）（1，2）且对称轴为直线 x=323 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）五、二次函数与 x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）5已知抛物线 yx2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。1、二次函数 yx2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 2 如图所示，二次函数 yx24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则ABC 的面积为()A.6 B.4 C.3 D.13、若二次函数 y(m+5)x2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是 六、直线与二次函数的问题例 6 已知：二次函数为 y=x2x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在 x 轴上方，（3）若抛物线与 y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛物线于另一点 B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式1、抛物线 y=x2+7x+3 与直线 y=2x+9 的交点坐标为 。2、直线 y=7x+1 与抛物线 y=x2+3x+5 的图象有 个交点。例 7 （2006，山东枣庄）已知关于 x 的二次函数 y=x2mx+212m 与y=x2mx222m，这两个二次函数的图像中的一条与 x 轴交于 A，B 两个不同的点 （1）试判断哪个二次函数的图像经过 A，B 两点；（2）若 A 点坐标为（1，0），试求 B 点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过 A，B 两点的二次函数，当 x 取何值时，y 的值随 x值的增大而减小？练习(2009 年陕西省)如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且 OB2OA，点 A 的坐标是(1，2)（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式；（3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 SABPSABO 例 8 （2006，重庆市）已知：m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n），如图所示 （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标 【分析】（1）解方程求出 m，n 的值 用待定系数法求出 b，c 的值 （2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M，可求出DMC，梯形 BDBO，BOC 的面积，用割补法可求出BCD 的面积 （3）PH 与 BC 的交点设为 E 点，则点 E 有两种可能：EH=32EP，EH=23EP 【解答】（1）解方程 x26x+5=0，得 x1=5，x2=1 由 mn，有 m=1，n=5 所以点 A，B 的坐标分别为 A（1，0），B（0，5）将 A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=x2+bx+c，得10,5bcc 解这个方程组，得4,5bc 所以抛物线的解析式为 y=x24x+5 （2）由 y=x24x+5，令 y=0，得x24x+5=0 解这个方程，得 x1=5，x2=1 所以点 C 的坐标为（5，0），由顶点坐标公式计算，得点 D（2，9）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，如图所示 则 SDMC=129（52）=272 S梯形 MDBO=122（9+5）=14，SBDC=1255=252 所以 SBCD=S梯形 MDBO+SDMC SBOC=14+272252=15 （3）设 P 点的坐标为（a，0）因为线段 BC 过 B，C 两点，所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5 那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5），PH 与抛物线 y=x2+4x+5的交点坐标为 H（a，a24a+5）由题意，得EH=32EP，即 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=32或 a=5（舍去）EH=23EP，得 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=23或 a=5（舍去）P 点的坐标为（32，0）或（23，0）七、用二次函数解决最值问题例 9 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一1525,220kbkb次函数表达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B八、二次函数应用(一）经济策略性1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数y(件）是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。（1）设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X 的函数关系式。（2）如果放养 X 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元，写出 Q 关于 X的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用），最大利润是多少？自我检测（30 分钟）一.选择题。1.用配方法将化成的形式（）12322xxa xbc2 A.B.123522x 1232542x C.D.12322x 12372x 2.对于函数，下面说法正确的是（）yaxa20()A.在定义域内，y 随 x 增大而增大 B.在定义域内，y 随 x 增大而减小 C.在内，y 随 x 增大而增大，0 D.在内，y 随 x 增大而增大0，3.已知，那么的图象（）abc000，yaxbxc2 4.已知点（-1，3）（3，3）在抛物线上，则抛物线的对称轴是（）yaxbxc2 A.B.C.D.xab x 2x 3x 1 5.一次函数和二次函数在同一坐标系内的图象（）yaxbyaxbxc2 6.函数的最大值为（）yxx33322 A.B.C.D.不存在943232二.填空题。7.是二次函数，则_。ymxmxm11321m 8.抛物线的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是yxx52222_。9.抛物线的顶点是（2，3），且过点（3，1），则yaxbxc2_，_，_。a b c 10.函数图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，再沿 x 轴向右平移 3 个单yxx 123522位，得到函数_的图象。三.解答题。12.抛物线，m 为非负整数，它的图象与 x 轴交于yxmxmm 222243A 和 B，A 在原点左边，B 在原点右边。（1）求这个抛物线解析式。（2）一次函数的图象过 A 点与这个抛物线交于 C，且，求一次函ykxbSABC 10数解析式。参考答案一.选择题。1.A2.C3.C4.D5.C6.C二.填空题。7.1 8.下；9.10.大，x 58583932，285，333，11.yx 122三.解答题。12.（1）02m Q mmm24307272 又m 为非负整数 m0 抛物线为yxx 223 （2）又 A（-1，0），B（3，0）AB4 设 C 点纵坐标为 a 12410a a5 当时，方程无解a 5xx2220 当时，方程a 5xx2280 CAyxCAyx451012510552，强化训练一、填空题1（2006，大连）右图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，观察图像写出 y2y1时，x 的取值范围_2（2005，山东省）已知抛物线 y=a2+bx+c 经过点 A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是_3已知二次函数 y=x2+2x+c2的对称轴和 x 轴相交于点（m，0），则 m 的值为_4（2005，温州市）若二次函数 y=x24x+c 的图像与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则c=_（只要求写出一个）5（2005，黑龙江省）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，2）与（1，4），则 a+c的值是_6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为 P，羽毛球飞行的水平距离 s（m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h=112s2+23s+32如下左图所示，已知球网 AB 距原点 5m，乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点 C 的横坐标为 m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m的取值范围是_ 7（2005，甘肃省）二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_8（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/m2）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则 6 楼房子的价格为_元/m2二、选择题9（2008，长沙）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（）Aa0 Ca+b+c0 (第 9 题)(第 12 题)(第 15 题)10（2008，威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能判断四边形 ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，当APD=ACP 时，求抛物线的解析式18（2006，重庆）如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点 H，若直线 BC把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出点 P 的坐标19（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形 ACB，而且能通过最宽 3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC20（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点 （1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y=254，抛物线与 x 轴交于A，B 两点在抛物线的对称轴上找点 P，使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离求点 P的坐标21（2005，吉林省）如图 576 所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 x轴交于 A，B两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积22（2005，长春市）如图所示，过 y 轴上一点 A（0，1）作 AC 平行于 x 轴，交抛物线y=x2（x0）于点 B，交抛物线 y=12x2（x0）于点 C；过点 C 作 CD 平行于 y 轴，交抛物线y=x2于点 D；过点 D 作 DE 平行于 x 轴，交抛物线 y=14x2于点 E （1）求 AB：BC；（2）判断 O，B，E 三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由答案12x1 2（1，8）31 4答案不唯一（略）5365m4+7 74 82080 9C 10B 11B 12D 13D14B 15B 16D17（1）对称轴是直线 x=2，A 点坐标为（3，0）（2）四边形 ABCP 是平行四边形 （3）ADECDP，PEPD=12 ADEPAE，12=3tt，t=3 将 B（1，0）代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a，a=33 抛物线解析式为 y=33x2+4 33x+2318（1）y=x24x+5 （2）C（5，0），D（2，9）SBCD=15 （3）设 P（a，0），BC 所在直线方程为 y=x+5 PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5）PH 与抛物线 y=x24x+5 的交点坐标为 H（a，a24a+5）若 EH=32EP则（a24a+5）（a+5）=32（a+5），则 a=32或 a=5（舍）若 EH=23EP，则（a24a+5）（a+5）=23（a+5），则 a=23或 a=5（舍）P（32，0）或（23，0）19如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为 M（32，4），N（2，72），设抛物线的表达式为 y=ax2+c，则94,474.2acac 解这个方程组，得2,76514ac y=27x2+6514，当 x=0 时，y=6514，C（0，6514），OC=6514 当 y=0 时，27x2+6514=0，解得 x=652 A（652，0），B（652，0），AB=65 所以，抛物线拱形的表达式为 y=27x2+6514隧道的跨度 AB 为65m，拱高 OC 为6514m20（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c 根据题意，得321645cabcabc ，解得163abc 即 y=x2+6x3=（x3）2+6 抛物线的对称轴为直线 x=3 （2）解得点 B（3+6，0）设点 P 的坐标为（3，y），如图，由勾股定理，得 BP2=BC2+PC2，即 BP2=（3+63）2+y2=y2+6 L 与 x 轴的距离是254，y2+6=（254）2，解 y=234 所求点 P 为（3，234）或（3，234）21（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得058abccabc，解得145abc 所求抛物线的解析式为 y=x2+4x+5 （2）C 点坐标为（0，5），OC=5，令 y=0 则x2+4x+5=0，解得 x1=1，x2=5 B 点坐标为（5，0），OB=5 y=x2+4x+5=（x2）2+9，顶点 M 的坐标为（2，9）过点 M 作 MNAB 于点 N，则 ON=2，MN=9 SMCB=S梯形 OCMN+SBNM SOBC=12（5+9）2+129（52）1255=1522（1）A（0，1）B 点纵坐标为 1，1=x2，x0，x=1，B（1，1），AB=1 C 点纵坐标为 1，1=14x2，x2=4，x0，x=2 C（2，1），BC=1，AB：BC=1：1 （2）D 点的横坐标为 2，D 在 y=x2上，则 D（2，4）E 点的纵坐标为 4，E 在 y=14x2，则 E（4，4）过 O（0，0），B（1，1）的直线解析式为 y=x E（4，4）在这条直线上，所以 O，B，E 三点在同一条直线上，并且直线解析式为 y=x