热传导方程求解.doc

(完整word版)热传导方程求解

应用物理软件训练

前 言   
MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 
 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。  

题目：热传导方程的求解
目录
一、参数说明……………………………………………………………………..1
二、基本原理……………………………………………………………………..1
三、MATLAB程序流程图………………………………………………………3
四、源程序………………………………………………………………………….3
五、程序调试情况…………………………………………………………………6
六、仿真中遇到的问题……………………………………………………………9
七、结束语…………………………………………………………………………9
八、参考文献………………………………………………………………………10

一、 参数说明
U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵
x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量
meshz(u)绘制矩阵打的三维图
axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1
eps是MATLAB默认的最小浮点数精度
[X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同
waterfall(RR,TT,wn)瀑布图
二、 基本原理
1、 一维热传导问题
（1）无限长细杆的热传导定解问题

利用傅里叶变换求得问题的解是：

取得初始温度分布如下

这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得

（2）有限长细杆的热传导定解问题

其中，即L=20，取a=10且

得的解是

（3）非齐次方程定解问题是

解析解是

其中

2、二维热传导问题 定解问题
Ut=k^2(Uxx+Uyy) ()
U(x=0,y,t)=0, u(x=a,y,t)=
U（x,y=0,t）=0, u(x,y=b,t)=
U（x,y,t=0）=0
3、三维热传导问题
球体内的热传导
令u=w+Uo,则w的定解问题是
Wt=w
W（r=ro）=0
W(t=to)=uo-Uo
解为

r为空间变量，并用x，y表示。
三、 MATLAB程序流程图
开始

初始化定义

预设矩阵

初始条件

用for语言
绘制动态图
四、 源程序
1、一维有限长细杆的热传导
x=0:20;t=0:0.01:1;a2=10;
r=a2*0.01;
u=zeros(21,101);
u(10:11,1)=1; 是把上述矩阵中的第10行，11行的第一列全部设成1
for j=1:100
u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j));
plot(u(:,j));
axis([0 21 0 1]);横坐标0到21，纵坐标0到1
pause(0.1)暂停0.1秒
end
meshz(u)
2、非齐次方程的定解问题
a2=50;b=5;L=1;
[x,t]=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);
Anfun=inline('2/L*(x-L/2).^2.*exp(-b*x/2/a2).*sin(n*pi*x/L)','x','n','L','b','a2');%定义内联函数
u=0;
for n=1:30
An=quad(Anfun,0,1,[],[],n,L,b,a2);%inline函数中定义x为向量，其它为标量
un=An*exp(-(n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).*sin(n*pi*x/L);
u=u+un;
size(u);
mesh(x,t,u);%x,t，u都为501行101列的矩阵
figure
subplot(2,1,1)
plot(u(1,:))
subplot(2,1,2)
plot(u(end,:))
end
差分法
dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx;
x=linspace(0,1,100);%将变量设成列向量
uu(1:100,1)=(x-0.5).^2;%初温度为零
figure
subplot(1,2,1)%初始状态
plot(x,uu(:,1),'linewidth',1);
axis([0,1,0,0.25]);
subplot(1,2,2)%演化图
h=plot(x,uu(:,1),'linewidth',1);
set(h,'EraseMode','xor')
for j=2:200
uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(1:98,1)+ uu(3:100,1))-...
b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1));
uu(1,2)==0;uu(100,2)==0;%边界条件
uu(:,1)=uu(:,2);
uu(:,1)
set(h,'YData',uu(:,1));
drawnow;
pause(0.01)
end
三维热传导问题
U0=2; u0=0; a2=2; N=10;
r=eps:0.05:1; theta=linspace(0,2*pi,100);
t=0.1:0.001:0.2;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
figure(1)
[R,TH]=meshgrid(theta,r);
[X,Y]=pol2cart(R,TH);
for tt=1:100
un=0;
for k=1:N
unn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*(X.^2+Y.^2).^0.5).*...
exp(-k^2*pi^2*a2*t(tt))./(pi.*(X.^2+Y.^2).^0.5);
un=unn+un;
end
mesh(X,Y,un);
axis([-1 1 -1 1 -0.4 0]);
pause(0.1)
end
figure(2)
wn=0;
for k=1:N
wnn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*RR).*...
exp(-k^2*pi^2*a2*TT)./(pi*k.*RR);
wn=wnn+wn;
end
waterfall(RR,TT,wn)
xlabel('r')
ylabel('t')
五、 程序调试情况
1、有限长细杆的热传导

开始时

一段时间后
2、（1）非齐次方程的解析解

（2）非齐次方程的数值解（差分法）

3、二维热传导问题

4、三维热传导问题

解析解的动画图

解析解的瀑布图
六、仿真中遇到的问题
几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB，大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。但是，存在的问题也不少。首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。这
是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权
宜之计。其次，MATLAB虽然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使得MATLAB不能广泛的普及。再者，要合理的使用MATLAB来解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB的使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB的普及带来了挑战。最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立，这就给使用MATLAB解决导热问题增加了难度。
七、结束语
在这短短的一周内从开始的一头雾水，到自己看书学习，到同学讨论，再进行整个题目的理论分析和计算，参考课程上的代码，写出自己的代码。 
我们也明白了学无止尽的道理，在我们所查的很多参考书中，很多知识是我们从没有接触过的，我们对它的了解还仅限于皮毛，对它的很多功能以及函数还不是很了解，所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中，一点一点吸取着它的知识。在MATLAB编程中需要很多的参考书，要尽量多的熟悉matlab自带的函数及其作用，因为matlab的自带函数特别多，基本上能够满足一般的数据和矩阵的计算，所以基本上不用你自己编函数。这一点对程序非常有帮助，可以使程序简单，运行效率高，可以节省很多时间。本次课设中用了很多MATLAB自带的函数，使程序变得很简单。
把基本的知识看过之后，就需要找一个实际的程序来动手编一下，不要等所有的知识都学好之后再去编程，你要在编程的过程中学习，程序需要什么知识再去补充，编程是一点一点积累的，所以你要需做一些随手笔记什么的。
在编写程序代码时，需要什么函数，需要什么模块就应该去着重看那个知识点，不要一步登天，一步一步学，如果太急于把所有东西都学到，也是不好的，更是实现不了的。所以那时一天一天积累的，慢慢地学通这个软件。

八、参考文献
《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》 彭芳麟著 清华大学出版社
《量子物理学中的常用算法与程序》 井孝功 赵永芳 蒿凤有 编著 哈尔滨工业大学出版社
《计算物理基础》 彭芳麟著 高等教育出版社
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