热传导方程求解.doc

(完整word版)热传导方程求解应用物理软件训练 前 言MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 题目：热传导方程的求解 目录一、参数说明.1二、基本原理.1三、MATLAB程序流程图3四、源程序.3五、程序调试情况6六、仿真中遇到的问题9七、结束语9八、参考文献10 一、 参数说明U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量meshz(u)绘制矩阵打的三维图axis(0 21 0 1);横坐标从0到21，纵坐标从0到1eps是MATLAB默认的最小浮点数精度X,Y=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同waterfall(RR,TT,wn)瀑布图二、 基本原理1、 一维热传导问题（1）无限长细杆的热传导定解问题利用傅里叶变换求得问题的解是：取得初始温度分布如下这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题其中，即L=20，取a=10且得的解是 （3）非齐次方程定解问题是解析解是其中2、二维热传导问题 定解问题Ut=k2(Uxx+Uyy) ()U(x=0,y,t)=0, u(x=a,y,t)=U（x,y=0,t）=0, u(x,y=b,t)=U（x,y,t=0）=03、三维热传导问题球体内的热传导令u=w+Uo,则w的定解问题是 Wt=w W（r=ro）=0 W(t=to)=uo-Uo解为r为空间变量，并用x，y表示。三、 MATLAB程序流程图 开始 初始化定义 预设矩阵 初始条件 用for语言 绘制动态图四、 源程序1、一维有限长细杆的热传导x=0:20;t=0:0.01:1;a2=10;r=a2*0.01;u=zeros(21,101);u(10:11,1)=1; 是把上述矩阵中的第10行，11行的第一列全部设成1for j=1:100 u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j); plot(u(:,j); axis(0 21 0 1);横坐标0到21，纵坐标0到1 pause(0.1)暂停0.1秒endmeshz(u)2、非齐次方程的定解问题a2=50;b=5;L=1;x,t=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);Anfun=inline(2/L*(x-L/2).2.*exp(-b*x/2/a2).*sin(n*pi*x/L),x,n,L,b,a2);%定义内联函数u=0;for n=1:30An=quad(Anfun,0,1,n,L,b,a2);%inline函数中定义x为向量，其它为标量un=An*exp(-(n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).*sin(n*pi*x/L);u=u+un;size(u);mesh(x,t,u);%x,t，u都为501行101列的矩阵figuresubplot(2,1,1)plot(u(1,:)subplot(2,1,2)plot(u(end,:)end差分法dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx; x=linspace(0,1,100);%将变量设成列向量 uu(1:100,1)=(x-0.5).2;%初温度为零 figure subplot(1,2,1)%初始状态 plot(x,uu(:,1),linewidth,1); axis(0,1,0,0.25); subplot(1,2,2)%演化图 h=plot(x,uu(:,1),linewidth,1); set(h,EraseMode,xor) for j=2:200 uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(1:98,1)+ uu(3:100,1)-. b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1); uu(1,2)=0;uu(100,2)=0;%边界条件 uu(:,1)=uu(:,2); uu(:,1) set(h,YData,uu(:,1); drawnow; pause(0.01) end三维热传导问题U0=2; u0=0; a2=2; N=10;r=eps:0.05:1; theta=linspace(0,2*pi,100);t=0.1:0.001:0.2;RR,TT=meshgrid(r,t);figure(1)R,TH=meshgrid(theta,r);X,Y=pol2cart(R,TH);for tt=1:100 un=0; for k=1:Nunn=2*(U0-u0)*(-1)k.*sin(k.*pi.*(X.2+Y.2).0.5).*. exp(-k2*pi2*a2*t(tt)./(pi.*(X.2+Y.2).0.5); un=unn+un; end mesh(X,Y,un); axis(-1 1 -1 1 -0.4 0); pause(0.1)endfigure(2)wn=0;for k=1:N wnn=2*(U0-u0)*(-1)k.*sin(k.*pi.*RR).*. exp(-k2*pi2*a2*TT)./(pi*k.*RR); wn=wnn+wn;endwaterfall(RR,TT,wn)xlabel(r)ylabel(t)五、 程序调试情况1、有限长细杆的热传导开始时一段时间后2、（1）非齐次方程的解析解（2）非齐次方程的数值解（差分法）3、二维热传导问题4、三维热传导问题解析解的动画图解析解的瀑布图六、仿真中遇到的问题 几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB，大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。但是，存在的问题也不少。首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权宜之计。其次，MATLAB虽然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使得MATLAB不能广泛的普及。再者，要合理的使用MATLAB来解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB的使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB的普及带来了挑战。最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立，这就给使用MATLAB解决导热问题增加了难度。七、结束语在这短短的一周内从开始的一头雾水，到自己看书学习，到同学讨论，再进行整个题目的理论分析和计算，参考课程上的代码，写出自己的代码。我们也明白了学无止尽的道理，在我们所查的很多参考书中，很多知识是我们从没有接触过的，我们对它的了解还仅限于皮毛，对它的很多功能以及函数还不是很了解，所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中，一点一点吸取着它的知识。在MATLAB编程中需要很多的参考书，要尽量多的熟悉matlab自带的函数及其作用，因为matlab的自带函数特别多，基本上能够满足一般的数据和矩阵的计算，所以基本上不用你自己编函数。这一点对程序非常有帮助，可以使程序简单，运行效率高，可以节省很多时间。本次课设中用了很多MATLAB自带的函数，使程序变得很简单。把基本的知识看过之后，就需要找一个实际的程序来动手编一下，不要等所有的知识都学好之后再去编程，你要在编程的过程中学习，程序需要什么知识再去补充，编程是一点一点积累的，所以你要需做一些随手笔记什么的。在编写程序代码时，需要什么函数，需要什么模块就应该去着重看那个知识点，不要一步登天，一步一步学，如果太急于把所有东西都学到，也是不好的，更是实现不了的。所以那时一天一天积累的，慢慢地学通这个软件。八、参考文献数学物理方程的MATLAB解法与可视化 彭芳麟著 清华大学出版社量子物理学中的常用算法与程序 井孝功 赵永芳 蒿凤有 编著 哈尔滨工业大学出版社计算物理基础 彭芳麟著 高等教育出版社10