三角形结构中的一个证题系统.pdf

1三角形结构中的一个解题系统三角形结构中的一个解题系统 陶平生陶平生在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题，传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切”的方法以及这一系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统一、三角形中的一个运算系统以下常设，x=，y=，z=（或者 x=，y=，z=），cot Acot BcotCtan2Atan2Btan2C其中 A、B、C 为三角形的三个内角，则有：1.1）x，y，z 中至少有二个正数，并且 x+y、y+z、x+z 及 x+y+z 都是正数。事实上，当 x，y，z 表示半角的正切函数时，显然 x，y，z 都是正数。今考虑x，y，z 表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即 x，y，z 中至少有二个正数，并且 x+y=+=+=0。同理有 y+z0，x+z0。cot Acot BcossinAAcossinBBsin()sinsinABAB又将这三式相加得 x+y+z0。1.2）1xyyzxz这是由于，在三角形 ABC 中成立等式+=1，以cot A cot Bcot BcotCcot AcotC及+=1。tan2Atan2Btan2Btan2Ctan2Atan2C1.3），21()()xxy xz21()()yxyyz21()()zxzyz这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。1.4）；222(1)(1)(1)()()()xyzxyyz xz；222()(1)()(1)()(1)()()()xyzyzxxzyxyyz xz，。222(1)(1)1xyxyz222(1)(1)1yzyzx222(1)(1)1xzxzy这只要利用（1.3）式立即可得。1.5）（当）1111xyzxyz0 xyz 只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。21.6）。()()()xyyz xzxyzxyz事实上，2()()()()(1)()xyyz xzxyzxyxzyz z(1)xyxy zxyzxyz1.7）；2221112()111()()()xyzxyzxyyz xz；2222111()()()xyzxyzxyyz xz。22222221111()()()xyzxyzxyzxyyz xz 事实上，222111111111()()()()()()xyzxy xzxyyzxzyz，2()()()()xyzxyyz xz而222111()()()()()()xyzxyzxyzxy xzxyyzxzyz()()()2()()()()()()x yzy zxz xyxyyz xzxyyz xz又222222222111(1)(1)(1)111111xyzxyzxyz=2()2()233()()()()()()()()()xyzxyzxyzxyzxyyz xzxyyz xzxyyz xz=。21()()()xyzxyyz xz就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际需要，列出更多的等式.由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解证三角形中一类不等式时，显得十分有力。在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.3二、若干基本不等式二、若干基本不等式下面的一组不等式，对于 x，y，z 表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时，通常可化归为这些情形。2.1）2221xyz证：2221xyzxyyzzx2.2）3xyz证：由于，且为正数，故22222()3xyzxyzxyyzxz（）xyz。3xyz2.3）9xyzxyz证：如果 x，y，z 中只有二个正数，则，而，此时结论显然；90 xyz 0 xyz如 x，y，z 都是正数，则因，故，则有1xyyzxz1119xyyzxz9xyzxyz2.4）39xyz 证：如果 x，y，z 中只有二个正数，则结论显然；当 x，y，z 都为正数时，由于，所以2313()xyyzxzxyz13279xyz 2.5）8()()()()9xy xzyzxyz证：()()()xy xzyzxyzxyz818()(9)()999xyzxyzxyzxyz以上诸式中，等号成立的充要条件是，即为正三角形。33xyzABC三、三角形中一些常规不等式的证明三、三角形中一些常规不等式的证明在中，若记 x=，y=，z=，则有，ABCtan2Atan2Btan2C22sin1xAx，等等（若记 x=，y=，z=221cos1xAx2sin21Axx21cos21Axcot Acot B4，则，等等）。cotC21sin1Ax2cos1xAx我们注意到，采用“易弦为切”后，上述各式的分母均具有形如的结构，而给21x出的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。下面通过一组例子，来说明采用上述系统解证不等式的一般方法。例 1 在中，证明下列不等式：ABC1）1sinsinsin2228ABC2）3sinsinsin2222ABC3）3 3sinsinsin2ABC4）1112 3sinsinsinABC证：设 x=，y=，z=，则tan2Atan2Btan2C1）222sinsinsin222(1)(1)(1)ABCxyzxyz=1()()()8222xyzxyzxy xzyzxyyzzx2）222sinsinsin222111ABCxyzxyz=xxyyzzxyxzxyyzxzyz13()()()22xxyyzzxyxzxyyzxzyz3）2222224sinsinsin111()()()xyzABCxyzxyyz xz443 3882()399xyz4）2221111111 111()sinsinsin2222xyzxyzABCxyzxyz5=1119()(3)2 3223xyzxyz例 2 在中，证明：ABC1）2 3cotcotcot3cotcotcot3ABCABC2）3 3sinsinsin8ABC 3）2229sinsinsin4ABC证：设 x=，y=，z=，则：cot Acot BcotC1）cotcotcot3cotcotcot3ABCABCxyzxyz=2122 3()(9)()3333xyzxyzxyzxyz2）22211sinsinsin()()()(1(1(1ABCxyyz xzxyz）113 3888()399xyz3）2222221112()sinsinsin111()()()xyzABCxyzxyyz xz2()984()9xyzxyz例 3 在中，证明：ABC1tantantan(secsecsec)2222222ABCABC证：令 x=，y=，z=，即要证：tan2Atan2Btan2C，而2221(111)2xyzxyz2221(111)2xyz1()()()()()()2xy xzxyyzxzyz61()()()()()()4xyxzxyyzxzyz，故得证。xyz例 4的外接圆半径为 R，面积为，证明ABC29tantantan2224ABCR证：由于，即要证22sinsinsinRABC 9tantantan2228sinsinsinABCABC令 x=，y=，z=，即要证，tan2Atan2Btan2C2229 1118222xyzxyzxyz也即264()()()()9xyyz xzxyz xyz因为，()()()8xyyz xzxyz8()()()()9xyyz xzxyz相乘得式成立，从而命题得证。例 5.（Weitzenbck 不等式）的边长为 a，b，c，面积为，证明ABC2224 3abc证：由于，2 sinaRA2 sinbRB2 sincRC22sinsinsinRABC 即要证。令 x=，y=，z=222sinsinsin2 3sinsinsinABCABCcot Acot B，即要证，cotC2222221112 3111111xyzxyz也即，因此只要证，此为显2()2 3()()()()()()xyzxyyz xzxyyz xz3xyz然。例 6设为正数，满足：,试求函zyxcba,caybxbcxazabzcy,数的最小值。（2005 年全国联赛试题）zzyyxxzyxf111,222解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb即：同理得，bcacbxcbabcx2,02222222acbcay22227因为正数，据以上三式知，222,2abczabzyxcba,，故以为边长，可构成一个锐角222acb222bca222cbacba,，因此，ABC问题化为，在锐角中，求函数CzByAxcos,cos,cosABC的最小值。令222coscoscoscos,cos,cos1 cos1 cos1 cosABCfABCABC，则，且CwBvAucot,cot,cot1,wuvwuvRwvu，)()(12wuvuu)()(12wvvuv)()(12wvwuwwuvuuuwuvuuuuuuuuuuuuuuuuuuAA112)()(11)1(11111cos1cos32322322222222222同理，wvvuvvBB112cos1cos322wvwuwwCC112cos1cos322 21)(212121222222222333333222uwvwuvwuwuwvwvvuvuwvuwuwuwvwvvuvuwvuf（取等号当且仅当此时，）,wvu21,zyxcba四、典型方法与技巧四、典型方法与技巧下面介绍处理一些较难问题的方法，所列例题，大都取自各杂志的“问题栏”或有关论文中，但按本文给出的方法重新解证，借以说明运用本论证系统解证问题的基本技巧。1齐次化原则齐次化原则此法要点是，利用将所证式的各项化为齐次。运用上述系统解题，齐1xyyzxz次化思想是非常重要的，这是由于，在解证不等式，特别是较强的不等式时，须尽量避免作不等价变形（即尽量少用其它不等式过渡）。因为每作一次不等价变形，结论就可能减8弱一次。而齐次化之后，有利于把各项重新组凑，使其内在的关系得以充分显现。例 7试证，在中，ABC1cotcotcot(cotcotcot)3222ABCABC证：令 x=，y=，z=，即要证tan2Atan2Btan2C2221111 111()2223xyzxyzxyz也就是，即。故只要证1 1111()()62xyzxyz13()xyzxyz13()xyz xyz由于，因此只要证21()xyyzxz，即222()()()222333xyyzxzxy yzxy xzxz yzxy yzxy xzxz yz，此为显然。222()()()xyyzxzxy yzxy xzxz yz例 8在锐角三角形 ABC 中，求证：tantantan2(sinsinsin)ABCABC证：令 x=，y=，z=，则 x1，y1，z1，只要证：tan2Atan2Btan2C。注意为正值，2288(1)(1)()()()xyzxyxyyz xz21-z)22(1)(1)(xy21-z)即要证：22()()()(1)(1)(xyz xyyz xzxy21-z)即22(1)(1)(xy2xyz(x+y+z-xyz)1-z)也即22222222)()yzx yy zx z2xyz(x+y+z)1-(x再将此式各项齐次化，因为22222221()2()xyyzxzx yy zx zxyz xyz222222333()()()()()()xyzxyzxyyzxzxyzyxzzxyxyz xyz代入，只要证222222333()2()()()()()xyz xyzx yy zx zxyzyxzzxyxyz xyz即，333222222()()()2()0 xyzyxzzxyx yy zx z9也即。此为显然，故命题得证。222()()()0 xy xyyz yzxz xz2系统转换法系统转换法本文给出的代换系统分为二种类型，一类是“余切系统”，它由代换 x=，y=cot A，z=及其运算组成；另一类是“正切系统”，它由代换cot BcotCx=，y=，z=及其运算组成。tan2Atan2Btan2C所谓系统转换法就是：为证三角不等式 P，可先按一个系统转换，化归为三角不等式Q，再对不等式 Q 采用另一转换系统。这样做，通常可降低变元的次数，避开复杂的运算。这一方法，是本文论证系统的特有方法。例 9（Finsler-Hadwiger 不等式）的边长为 a，b，c，面积为，证明：ABC2222224 3()()()abcabbcacV证：整理后，即要证2222()4 3abacbcabcV由于，及，即要证：2 sinaRA2 sinbRB2 sincRC22sinsinsinRABCV2222(sinsinsinsinsinsin)sinsinsin2 3sinsinsinABBCACABCABC令 x=，y=，z=，即要证：cot Acot BcotC2222221112()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyyzxz2222221112 3111(1)(1)(1)xyzxyz即2222(111)2()2 3()()()()()()()()()zxyxyzxyyz xzxyyz xzxyyz xz因此即要证，2221113xyzxyz此即；111cotcotcot3sinsinsinABCABC再令=，=，=，即要证tan2Atan2Btan2C2222221111113222222移项得，此为显然，故命题得证。3在本例中，如果一开始就选取第二种代换，则不仅运算复杂，且难于达到目标。可见10两种代换皆不可少。例 10（Garfunkel-Bankoff 不等式）在中，证明ABC222tantantan28sinsinsin222222ABCABC证：令 x=，y=，z=，即要证tan2Atan2Btan2C，22222282(1)(1)(1)xyzxyzxyz而22288()()()(1)(1)(1)xyzxyzxyyz xzxyz=8()8()()()()()()()xyzxyzxyzxyyz xzxyyz xz2221114()8111xyz所以2222228(1)(1)(1)xyzxyzxyz2222221114()8111xyzxyz222222444(3)(3)(3)1111xyzxyz 222222222(1)(1)(1)1111xyzxyz故等价于222222222(1)(1)(1)1111xyzxyz即222222coscoscos1coscoscos222ABCABC再证式。当是钝角三角形或直角三角形时，结论是明显的。（事实上，设ABC，则，此时90C o90ABo22222222coscoscoscoscos1 sincoscos22ABABABAB 11），1 cos()cos()1ABAB今考虑为锐角三角形的情形。式等价于：ABC1 cos21 cos21 cos211 cos1 cos1 cosABCABC据例 6，对于锐角三角形 ABC,有，即222coscoscos11 cos1 cos1 cos2ABCABC 从而命题得证。1 cos21 cos21 cos211 cos1 cos1 cosABCABC3 3排序、主元法排序、主元法对于一些较强的不等式，当引进代换，并将各项齐次化以后，有时会出现次数较高，且项数很多的情况，给配凑编组造成困难。这是可以从对称性入手（三角不等式通常都具有某种对称性），设定变元的大小顺序，并选择某一量为主元，将各项整理为该变元的多项式，则项数相对减少，配凑起来就比较容易。例 11试用直接证法，再证 Garfunkel-Bankoff 不等式（题目参见例 10）证：仍取代换 x=，y=，z=，tan2Atan2Btan2C即要证 22282()()()xyzxyzxyyz xz即222()()()()2()()()8xyzxyyz xzxyyz xzxyz据对称性，可设，并以 x 为主元，则可写成min,xx y z222222()()()2()2()2()xyzxx yzyzyzxyzx yzyz yz式左边=43222222222()()()()()()()()xyzxyzxyzyzyzx yzyzyz yzyz为使式两边齐次，将右边乘入因子，且按 x 降幂排列，得式右边=1()x yzyz322222222()2()()4()2()()xyzxyzyzyzx yz yzyzyz式左边-式右边=432222222()()()()()()()()xyzxyzxyzyzyzx yzyzyz yzyz=222222()()()()()()xyzxx yzyzyzxyzx yzyz yz=22222()()()()()()()0 xyz xy xzyzyzyzxx yz12因此式成立，命题得证。例 12在非钝角三角形 ABC 中，求证：333cotcotcot6cotcotcotcotcotcotABCABCABC证：令 x=，y=，z=，即要证，不妨cot Acot BcotC3336xyzxyzxyz设，则xyz3336()xyzxyzxyz=3336()()xyzxyzxyz xyyzxz=3332223()()()xyzxyzxyzyxzzxy=323232()()()xxyzxyzyyxzxyzzzxyxyz=()()()()()()x xy xzy yxyzz zx zy=22()()()xyxxzyyzz xyyz=，故命题得证。2()()()()0 xyxyzz xzyz4 4局部放缩法局部放缩法在利用上述系统解证不等式时，常常会遇到形如的结构，它可以分解为21x，并可借助均值不等式放缩，根据所证问题的不等号方向，并照顾放缩后()()xy xz有关项的对称性（便于利用系统），通常可采用如下四种放缩手段：1）21()()22xyxzxxy xz2）2111111()21xyxzxyxzx3）222223331124421212222xxxxxxxyxzxxyzx134）22222222111()1()1()2441212222yzxxyzxyzyzxyzxyxzyzxx最后一式当在的条件下方为有效（通常用于非钝角三角形，因为此时212yzx取正切系统后，由得，则）。,(0,2 224A B C,(0,1x y z20112yzx 同时，为使结果不致减弱太多，这种放缩应在利用系统变型化简后，对其中的部分项使用。例 13在中，求证ABC222(sinsin)(sinsin)(sinsin)3222222BCCAAB证：令 x=，y=，z=，即要证tan2Atan2Btan2C222222222()()()3111111yzzxxyyzzxxy两端通乘，即要证()()()xyyz xz222()()()3()()()y xzz xyz xyxyzxyzy xzxyyz xz因为222()()()2()()y xzz xyyxzzxyyzxy xz()()()()y xyyzz xzyzyzxyxz(1)(1)2()yxzzxyxyzyz yz22yzy zyz同理得，222()z xyxyzxzx zxz222()xyzy xzxyx yxy三式相加得：式左边222()(1)()(1)()(1)3()()()xyzyzxxzyxyyz xz故式成立，命题得证。例 14的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，证明：ABC5sinsinsinsinsinsin22222284ABBCCArR14证：令 x=，y=，z=，则由tan2Atan2Btan2C2sinsinsinsinsinsinrABCRABC故22222216222()(1)(1)(1)111rxyzxyzRxyzxyz2164()()()()()()xyzxyyz xzxyyz xz4()()()xyzxyyz xz因此式等价于22222258()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyyzxzxyzxyyz xzxyyzxz注意，故式等价222()()()(1)(1)(1)xyyz xzxyzxyzxyz于2228181815()3xyzyzxxzyxyzxyz因为28142()()4()()4()4xyzxyxzyzxy xzyzxy xyzxyz同理有，2814()4yzxyz xyzxyz2814()4xzyxz xyzxyz三式相加，得：222818181xyzyzxxzy4()125()3(9)xyzxyzxyzxyzxyzxyz5()3xyzxyz即成立，故命题得证。5含有约束条件的问题的处理方法含有约束条件的问题的处理方法对于这类问题，只需将约束条件转化为系统中的关系式便可。例 15证明：在非钝角三角形 ABC 中，。sinsinsin2ABC证：令 x=，y=，z=，即要证tan2Atan2Btan2C2222222111xyzxyz即，也即42()()()xyyz xz()()()2xyyz xz15即2xyzxyz而因，故，所以,(0,2 224A B C,(0,1x y z(1)(1)(1)0 xyz即1()()0 xyzxyyzxzxyz此式即为2xyzxyz由立知式成立（式强于式），因此命题得证。例 16已知的三边 a，b，c 满足条件：ABC；，222abcbc222bacac222cabab求证：4tantantan2223ABC证：由条件知，的每一内角均小于，令ABC120ox=，y=，z=，则因，故，所以tan2Atan2Btan2C,(0,)2 223A B C,(0,3)x y z，(3)(3)(3)0 xyz即3 33()3()0 xyzxyyzxzxyz也即3()4 3xyzxyz故，即，命题得证。43xyz4tantantan2223ABC此外，如果我们设定一个最大角，例如 C 为最大角，此时 A，B 为锐角，则约束条件可变为，所得的等式便可加强。(1)(1)(3)0 xyz五、几点说明五、几点说明1前面所列举的命题，都是以三角形的边角为变元的不等式，其实，对于含有其它变元的三角不等式、对称的代数条件不等式、齐次对称不等式，往往也能借此运算系统来解证。例 17设 A，B，C 为的内角，证明：对任何实数 u，v，w，成立不等式：ABC2222sin2sin2sin222CBAuvwuvuwvw16证：令 x=，y=，z=，即要证tan2Atan2Btan2C222222222111zyxuvwuvuwvwzyx因为，同理有22222()1zvuvuuvzzxzyzxzyzz，。三式相加，式右2222()1ywuuwyxyyzy2222()1xwvvwxxyxzx边，故式成立，命题得证。222222222xwywyuzuxvzvwuvxyyzxz例 18设为锐角，且，证明：，222coscoscos13cotcotcotcotcotcot2证：令，则，且2cosyz2cosxz2cosxy1xyyzxz，而sin1yzxyxzsinxyyzsinxzyzcoscoscotcotsinsinyzxzxyxzxyyz1()2()()zzzyzxzyz xz同理，。1cotcot()2xxxyxz1cotcot()2yyxyyz三式相加，得结论成立。例 19设，且0,2 222coscoscos2coscoscos1求证：2223coscoscoscoscoscossinsinsin2证：先考虑边界情况。若中有一个为 0，不妨设，则化为,0，故，这时式成为，显2(coscos)0coscos02322然结论成立。若皆大于 0，则式化为,17222coscossin2coscoscos0即2coscos()cos()coscos()cos()0将其看成关于的一元二次方程，有两个根、，因此coscos()cos()可分解为，由于coscos()coscos()0，故。于是，即coscos()0coscos()0180o，从而可构成一个非钝角三角形的三个内角。180o,将的两边同加，化为222coscoscos222(coscos)(coscos)(coscos)3令，即要证cotxcotycotz222222222()()()3111111xyyzxzxyyzxz两端通乘，化为()()()xyyz zx222()()()xyzy xzy xzz xyz xyxyz3()()()xyyz zx因为，所以222()()2xyyzxzxy yzxzx yxyxyz22222()()()(2)xyzy xzxyzyxzx yxyxyz22()()2x xyxzy yxyzx yxyxyz22(1)(1)2xyzyxzx yxyxyz22xyx yxy同理，有，222()y xzz xyyzy zyz，因此，222()z xyxyzzxz xzx222()()()xyzy xzy xzz xyz xyxyz2222()()()()xyzxyzyxzzxy182()(1)(1)(1)xyzxyzyxzzxy3()xyzxyz3()()()xyyz zx故成立，命题得证。2关系式蕴含了三角形中的全部信息，因而有关三角形的一切关系（包1xyyzxz括恒等关系与不等关系）都可借该系统推出。这由下面的三个命题即可得到说明。命题 1设 x，y，z 为正数，且，则必存在三角形 ABC，使1xyyzxzx=y=，z=。tan2Atan2Btan2C 命题 2设 x，y，z 中至少有二个正数，且，则必存在三角形 ABC，1xyyzxz使 x=，y=，z=。cot Acot BcotC命题 3设 x，y，z 为正数，且，则必存在锐角三角形 ABC，使 x=1xyyzxz，y=，z=。cot Acot BcotC证：（此处仅证命题 1）由条件得，因 x，y 为正数，故有锐角，使 x=1xy 2A2B，y=，由此，而，tan2Atan2B02ABtantan22tan0211tantan22ABABxyABxy故为锐角。命，则为锐角，且2AB222CAB2C，1cottan()tan22221CCABxyxyz所以，而。tan2Cz ABC命题 2 与命题 3 的证明与此类似。借助运算系统，我们还可以简洁地导出三角形中的一系列恒等关系。例 20试用系统法证明余弦定理，即：在中，有ABC2222cosabcbcA证：由于，即要证：2 sinaRA2 sinbRB2 sincRC 222sinsinsin2sinsincosABCBCA令 x=，y=，z=，则有cot Acot BcotC222sinsinsin2sinsincosABCBCA19222222111112111111xxyzyzx2()2()()()()()()xyzxxyyz xzxyyz xz22222sin()()1Axy xzx故成立，命题得证。3关于三角形的对偶命题由于，等均可通过，来表示，则任一个以tancotseccscsincos内角三角函数为变元的函数关系式均可表达为ABC。式中也可含有与无关的其它参变量。(sin,sin,sin,cos,cos,cos)fABCABCABC再设 P 为任一确定的度量性质（例如 P 可表示“”，“”，“”，“”，“0000”等等）。0利用本论证系统，可以深刻地揭示三角关系式中的一系列同构特征。对偶命题：对任何锐角三角形 ABC，关系式：都成立的充要条件是，对任何三角形(sin,sin,sin,cos,cos,cos)fABCABCP，关系式成立。A B C (cos,cos,cos,sin,sin,sin)222222ABCABCfP证：只需利用命题 1、3 并结合关系式立即可得。事实上，我们仍可1xyyzxz取代换 x=，y=，z=及，则cot Acot BcotCtan2Atan2Btan2C对一切锐角三角形 ABC，(cos,cos,cos,sin,sin,sin)222222ABCABCfP对一切满足的正数 x，y，z，有1xyyzxz222222111(,)111111xyzfPxyzxyz对一切满足的正数，有1,222222111(,)111111fP20对一切三角形，有A B C (cos,cos,cos,sin,sin,sin)222222ABCABCfP4拓广上面介绍的论证系统，并不局限于解证三角形中的有关问题，对于许多代数不等式与恒等式问题，通过适当变形后，同样可以借助本系统来解证。例如，设是三变元 x，y，z 的零次齐次函数，P 是任一指定的度量性质，欲(,)f x y z证，只要证对任何，有，而对这组(,)f x y zP000,xyzR000(,)f xyzP，若，可令，则有000,xyz2000000 x yy zx zt01xxt01yyt01zzt。又因是零次齐次函数，则=111 11 11x yy zx z(,)f x y z000(,)f xyz000(,)xyzfttt，因此只要证，其中满足。根111(,)f x y z111(,)f x y zP111,x y z111 11 11x yy zx z据命题 1，这一关系便可借助本系统来解证。例 21设 x，y，z 为非负实数，且，求证：1xyz70227xyyzxzxyz证：记=，当 x，y，z 中有一为 0 时结论显然。今考虑(,)f x y z2xyyzxzxyzx，y，z 皆为正数的情形。此时：(,)f x y z()()2xyyzxz xyzxyz222()()()xyzyxzzxyxyz0再证右端的不等式。将写作=，它是三变元 x，y，z 的零次f(,)f x y z3()()2()xyyzxz xyzxyzxyz齐次函数，故可将其限定在上讨论。此时，1xyyzxz32222()()()()(2)xyzxyz xyzxyz xyz222()()3()xyz xyzxyyzxzxyz33333()xyzxyzxyz因此=，其中 x，y，z 为正数，且(,)f x y z333233()xyzxyzxyzxyzxyz。1xyyzxz21欲证，即要证(,)f x y z727，即3337()2121()27()54xyzxyzxyzxyzxyz，也即3337()336()0 xyzxyzxyz333333(3)66()0 xyzxyzxyzxyzxyz因 x，y，z 为正数，显然有，以及3333xyzxyz（参见例 12），因此成立，命题得证。3336xyzxyzxyz