切线方程与切点弦方程.doc

(word完整版)切线方程与切点弦方程
切线方程与切点弦方程
一、 圆的切线方程
一、圆的方程为:（x — a)² + （y - b)² = r²

1. 已知：圆的方程为:(x - a）² + (y - b)² = r², 圆上一点P（x0, y0）。
求过点P的切线方程

解： 圆心C(a, b）；直线CP的斜率：k1 = （ y0- b） / （ x0- a）
因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = —1/k1 = - (x0 - a） / （y0 — b）
根据点斜式, 求得切线方程：
y - y0 = k2 （x - x0）
y — y0 = ［— (x0 - a) / (y0 — b)] (x — x0）
整理得:(x — x0)(x0 - a） + （y - y0)（y0 - b) = 0 (切线方程公式）
展开后： x0x — ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 (1)
因为点P在圆上， 所以它的坐标满足方程：
（x0 — a）² + (y0 — b）² = r²
化简： x0² — 2ax0 + a² + y0² — 2by0 + b² = r²
移项: — x0² — y0² = —2ax0 — 2by0 + a² + b² — r² （2）

由（2)代入（1）, 得：x0x — ax + ax0 + y0y — by + by0 + （—2ax0 - 2by0 + a² + b² - r²) = 0
化简：（x0x - ax — ax0 + a²） + （y0y - yb— by0 + b²） = r²
整理： （x0 - a）(x - a) + (y0 - b）（y — b) = r²

变式-1 已知：圆的方程为:(x — a）² + (y — b)² = r² , 圆外一点P(x0， y0）

二、 对于圆的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0， 过圆上的点的切线方程。

2. 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0， 圆上一点P（x0, y0)

解： 圆心C( -D/2， -E/2 ）
直线CP的斜率:k1 = （y0 + E/2) / （x0 + D/2）
因为直线CP与切线垂直， 所以切线的斜率:k2 = —1/k1 = — （x0 + D/2） / (y0 + E/2)
根据点斜式, 求得切线方程：
y — y0 = k2 (x - x0)
y - y0 = ［- (x0 + D/2) / （y0 + E/2）］ （x — x0）
整理得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 — Dx0/2 — Ey0/2 —x0² - y0² = 0 （3）

因为点P在圆上， 所以它的坐标满足方程：
x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0
移项： - x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F （4）

由（4)代入（3)， 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 — Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0
整理, x0x + y0y + D(x + x0）/2 + E(y + y0)/2 + F = 0

变式—2 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ， 圆外一点P(x0, y0）

二、 圆的切点弦方程

三、 圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
设P（x0, y0)是圆锥曲线上(外)一点,过点P引曲线的两条切线，切点为A ， B两点,则A ， B两点所在的直线方程为切点弦方程.

标准方程
切点弦方程

圆

椭圆

双曲线

抛物线