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最详定积分与微积分1定积分的概念定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念定积分的定义和相关概念如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上连续，上连续，用分点用分点ax0 x1xi1xixnb将区将区间间a，b等分成等分成n个小区间，在每个小区间个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点上任取一点i(i1,2，基础知识梳理基础知识梳理，n)，作和式，作和式 ，第二页，共47页。当当n时，上述和式无限接近时，上述和式无限接近 ，这个，这个 叫做函数叫做函数f(x)在区间在区间a，b上的定上的定基础知识梳理基础知识梳理某个常数某个常数常数常数积分，记作积分，记作 ，即，即baf(x)dx 第三页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理a与与ba，b函数函数f(x)x第四页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理第五页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理第六页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理第七页，共47页。(3)定积分的基本性质定积分的基本性质kf(x)dx f1(x)f2(x)dx .f(x)dx 基础知识梳理基础知识梳理第八页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理你能从定积分的几何意义解释性你能从定积分的几何意义解释性质质吗？吗？【思考思考提示提示】如图所示，设在区间如图所示，设在区间a，b上恒有上恒有f(x)0，c是区间是区间(a，b)内的一内的一点，那么从几何图形上看，直线点，那么从几何图形上看，直线xc把大的把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定积分表示就，用定积分表示就是性质是性质.第九页，共47页。基础知识梳理基础知识梳理F(b)F(a)第十页，共47页。答案答案：A三基能力强化三基能力强化第十一页，共47页。三基能力强化三基能力强化答案答案：B第十二页，共47页。三基能力强化三基能力强化答案答案：D第十三页，共47页。三基能力强化三基能力强化第十四页，共47页。答案答案：1三基能力强化三基能力强化第十五页，共47页。求函数求函数f(x)的定积分，关键是求出函的定积分，关键是求出函数数f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)，即满足，即满足F(x)f(x)正确运用求导运算与求原函数运正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系算互为逆运算的关系课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求已知函数的定积分求已知函数的定积分第十六页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1第十七页，共47页。【思路点拨思路点拨】(1)(2)先利用定积分的先利用定积分的性质将被积函数化简再求性质将被积函数化简再求(3)先化简，再先化简，再求定积分求定积分课堂互动讲练课堂互动讲练第十八页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第十九页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第二十页，共47页。【规律总结规律总结】计算简单定积分的步骤计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到分别用求导公式找到F(x)，使得，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积莱布尼兹公式求出各个定积分的值；分的值；(5)计算所求定积分的值计算所求定积分的值课堂互动讲练课堂互动讲练第二十一页，共47页。1分段函数的定积分分段函数的定积分(1)分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积分上的定积分可分成几段定积分的和的形式可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细分，无需分得过细课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二求分段函数的定积分求分段函数的定积分第二十二页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第二十三页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2第二十四页，共47页。【思路点拨思路点拨】(1)f(x)在在0,5上的定上的定积分，可按照积分，可按照f(x)的分段标准，分成的分段标准，分成0,1，(1,4，(4,5三段的定积分的和；三段的定积分的和；课堂互动讲练课堂互动讲练第二十五页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第二十六页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第二十七页，共47页。【名师点评名师点评】分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的和的形上的定积分可分成几段定积分的和的形式式.分段的标准只需依据已知函数的分分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可段标准即可课堂互动讲练课堂互动讲练第二十八页，共47页。利用定积分求平面图形面积的关利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值基本定理求出积分值课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三定积分的几何意义定积分的几何意义第二十九页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3利用定积分的性质和定义表示下列曲利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积线围成的平面区域的面积(2)yx2，xy2.【思路点拨思路点拨】先将区域面积表示成先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿若干个定积分的和或差，再运用牛顿莱莱布尼兹公式计算布尼兹公式计算第三十页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第三十一页，共47页。(2)曲线所围成的平面区域如图曲线所围成的平面区域如图(2)所示：所示：SA1A2.课堂互动讲练课堂互动讲练第三十二页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第三十三页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第三十四页，共47页。利用定积分解决变速运动问题和变利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求再利用微积分基本定理计算即得所求课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用第三十五页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4第三十六页，共47页。【思路点拨思路点拨】从图上可以看出从图上可以看出物体在物体在0t1时做加速运动，时做加速运动，1t3时做时做匀速运动，匀速运动，3t6时也做加速运动，但加时也做加速运动，但加速度不同，也就是说速度不同，也就是说0t6时，时，v(t)为一个为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积边梯形的面积课堂互动讲练课堂互动讲练第三十七页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第三十八页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第三十九页，共47页。(本题满分本题满分10分分)物体物体A以初速度为以初速度为2(速度速度v的单位：的单位：m/s)、加速度为、加速度为a(t)6t(t的单位：的单位：s)在一直线上运动在此直线上与物体在一直线上运动在此直线上与物体A出发的出发的同时，物体同时，物体B在物体在物体A的正前方的正前方5 m处以处以v10t1(t的单位：的单位：s，v的单位：的单位：m/s)的速度运动的速度运动(1)求物体求物体A的速度；的速度；(2)两物体何时相遇？相遇地与物体两物体何时相遇？相遇地与物体A的的出发地的距离是多少？出发地的距离是多少？课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅第四十页，共47页。解解：(1)设物体设物体A在时刻在时刻t的速度为的速度为v(t)，依题意有依题意有v(0)2，2分分课堂互动讲练课堂互动讲练第四十一页，共47页。课堂互动讲练课堂互动讲练第四十二页，共47页。规律方法总结规律方法总结第四十三页，共47页。规律方法总结规律方法总结第四十四页，共47页。2求定积分的常用技巧求定积分的常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求对被积函数，要先化简，再求积分积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分依据定积分“对区间的可加性对区间的可加性”，分段积分，分段积分再求和再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分要先去掉绝对值号才能积分规律方法总结规律方法总结第四十五页，共47页。随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入第四十六页，共47页。课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入第四十七页，共47页。汇报结束谢谢大家!请各位批评指正