题库-元微积分数学函数题库有答案全集.doc

一元微积分学数学（1） 函数
一、 填空题：
1． 函数 y=arcsin 定义域是:
2.设y=(x)的定义域是[0，1]，则复合函数(sinx)的定义域是:.
3．函数的值域是 0£y £+µ .
4．函数的反函数是:.
5．函数在区间 内是单调增加的.在区间内是单调减少.
6．设，（x>o）,则=.
7．设,则=, = x .
8．函数的反函数y=
.
二．选择题：
1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）
(A) 关于y轴对称; (B) 关于x轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x对称.
2.下列几对函数中，与相同的是（C）.
（A）与 （B）与
（C）与 （D）与
3．已知的定义域为则的定义域是（C）
（A）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a}
4．如果，那么的表达式是（B）
(A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是
三．设函数是线性函数，已知求此函数.
解：设f(x)=ax+b,
则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.
四．证明函数在它的整个定义域内是有界.
证明：f(x)的定义域为R.

因为
所以： 函数在它的整个定义域内是有界
五．试讨论函数的奇偶性.
解：

所以 偶函数.
一元微积分学题库（2） 数列的极限
一．判断题：
1．如果数列{}以A为极限，那么在数列｛｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数
列｛｝仍以阿A为极限． ( T )
2．如果　，则有　或 ( F )
3．如果，且存在自然数N，当n>N时恒有＜０，则必有a<０． ( F )
4．如果，均不存在，则有必不存在． ( F )

一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小
一． 选择题：
下列题中其条件对其结论来说是
（Ａ）充分但非必要条件；　（Ｂ）必要但非充分条件；
（Ｃ）充分必要条件：　　（Ｄ）既非充分又非必要条件；
１．条件，.
结论　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A）
２．条件和都存在.　　　　
结论存在　　　　　　　　　　 （B）　
３．条件和都存在.
结论　存在.　　　　　　　　　　 （A）　
４．条件f(x)在a的某个邻域内单调有界．
结论存在．　　　　　　　　　　 （D）
三．求时的左右极限，并说明它们在x0时的极限是否
存在？
解：=1，所以.
所以 ，
显然，故不存在.
五．证明：函数　在区间（０，１］上无界，但当x＋０时，这函数不是
无穷大．
证明：1. 取时，=
所以 在区间（０，１］上无界.
2.取，
==0
即在0的任何邻域都不可能有（M>0）成立.
所以当x＋０时，这函数不是无穷大．

一元微积分学题库（4） 极限的求法
一． 判断题：
下列运算是否正确：
　　　　 (F)
　　　　　 　　　　　　　　　　　 (F)
　　　　 （F）

二．计算下列极限：　
１．
解：
=
=
２．
解：
=
=2
３．
解：设，则
因为=0，
所以
即：
４．
解：
=
=
=
=
５．
解：因为 所以arctgx为有界函数.
而 =0，
由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.
=0
６．
解：
=
=
=
=
=
７．
解：
=
=
=
三．已知
解：==0，
==3+a,
存在，即：=
所以. .

一元微积分学题库（5）
极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较
一、 判断题：
1． 因为时，tgx~x,sinx~x,所以 （F）
2． (T)
3． (F)
二、计算下列极限
1.
解：===
2.
解：====1
3.
解：====2
4.
解：===1.
5.
解：===
6.
解：===
==.
二、 证明：当x0时，下列各对无穷小量是等价的
1.
证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当时，.
==1
2.1-cosx ~
证明：====1.
四、证明：
用两边夹法则：（解法一）
设F(n)= >0
则

设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).
显然，；
由极限存在准则I知：.证毕.
（解法二）：设F(n)= >0
因为 （n为自然数），
所以有F(n)<
=
设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).
显然，；
由极限存在准则I知：.证毕.
另解：
设F(n)= ( 0<F(n)<1 )，
则F(n+1)= ，有F(n+1)<F(n).
所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II知F(n)有极限.
设.则有=
=
A=A , A=0. 即.证毕.
五、设，证明数列的极限存在，并求其极限.
证明：

=......

因为 所以
因为
所以>0 即：
所以为单调有界数列，由极限存在准则II知有极限.
， 则有 ，
A=2A--，解得：A=1 或A=0（舍去，因为为递增数列且.）
所以
一元微积分学题库（6） 函数的连续性
一． 判断题
1． （ T ）
2.设在点连续，则 （ T ）
3．如果函数在上有定义，在上连续，且0，则在内至少存在一点，使得= 0 （ T ）
4．若 连续，则必连续. （ T ）
5．若函数在上连续且恒为正，则在上必连续. （ T ）
6．若,且，则在的某一邻域内恒有. （ F ）
7．是函数的振荡间断点. （ F ）
二． 填空题：
1．()
2. ( 0 )
3. ( )
4. 是的第（二）类间断点.
三． 求
解：=
四． 求函数在内的间断点，并判断其类型.
解：在内的间断点有：，，，
因为 不存在，
所以，是的第一类（可去）间断点;
，是的第二类间断点.
五． 设，（1）求；（2）当连续时，求的值.
解：(1)

(2) 连续

.
一元微积分学题库（7） 连续函数的性质
一．计算下列极限：
1． 解：原式= ==
2． 解：原式===
3． 解：原式==
4．
解：原式===
5．
解：原式===
6．
解：令，得，当
原式====
二．证明方程至少有一个不超过的正根（其中）.
证明：设，则在上连续.
又，.
若，则结论成立.
若，则由零点定理.
三．设在上连续，且，证明：至少存在一点，使得 .
证明：设，则在上连续.
又,
若，则结论成立.
若，则由零点定理.
四．设在上连续，且，又存在使
.证明在上有最大值.
证明：取
, 当时, .
即 当时，.
, 当时, .
即 当时，.
若,为最大值.
若,在上连续,必有最大值.
, .
在上取得最大值.
一元微积分学题库（8） 导数的概念
一． 选择题：
1． 设f′ (x)存在，a为常数，则等于（C）.
(A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) ; (D) .
2. 在抛物线上，与抛物线上横坐标和的两点连线平行的切线方程
是（B）.
(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0;
(C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.
3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t秒后，物体上升的高度为，则物体
在3秒时的瞬时速度为（B）.
(A) ; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) .
4. 若函数在x=0处 (B).
(A) 连续且可导； （B）连续，不可导；
（C）不连续； （D）都不是.
二．设函数在处x=1可导，求a和b.
解：在x=1处可导在x=1处连续，可得
即 (1)
又在x=1处可导, 可得
即
(2)
由(1),(2)得 , .
三．设，求.
解: , 由幂函数的导数公式可得
.
四．已知，求.（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）
解: 当x=0时, 令, ;
.
所以

五．设f(x)在上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.
证明: 对于 则有 依题意 令有
;
;
为偶函数

一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导
一． 填空题：
1． 曲线与x轴交点的切线方程是.
2． 曲线在横坐标x=0点处的切线方程是,法线方程是.
3． 设，则.
4． 设，则.
5． 设，则.
二． 求下列函数的导数.
1. .
解: .
2. .
解: .
3. .
解: .
4. .
解:

.
5. .
解:
.
三.求导数:
1. ,求.
解:
.
2. ,求.
解: .
3. ,求.
解:

.
四.已知,,求.
解: 令 ,则
.

一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数
一. 求下列函数的导数:
1. .
解：.

2．.
解：
.
3．.
解：
.
4．.
解：

.
5．.
解：
.
二. 求下列函数的二阶导数:
1. .
解： , .
2. .
解： ,
.
3. .
解： , .
三. 求函数的n阶导数.
解： ，，，，
一般地，可得
.
四. 设,其中在点a的邻域内连续,求.
解： .

在点a的邻域内连续
.
.
一元微积分学题库(11) 隐函数求导法
一. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数.
1. .
解： , 即
其中y是由方程所确定的隐函数.
2. .
解： , 即 .
其中y是由方程所确定的隐函数.
3. .
解： , 即 .
其中y是由方程所确定的隐函数.
二. 用对数函数求导法求下列函数的导数:
1. .
解： 先两边取对数(假定 . ) 得
. 则
.
.
当时,用同样的方法可得与上面相同的结果.
2. .
解： 先两边取对数(假定) 得
.
对上式两边对求导，得
.
即 .
当时,用同样的方法可得与上面相同的结果.
三. 求下列函数的二阶导数.
1. .
解： ,
.
2. 已知 这里存在且不为零.
解： 存在且不为零 ,
.
四. 设,证明y=y(x)在t=0时存在,并求其值.
证明： 原方程可化为 . 当时,

一元微积分学题库(12) 微分
一. 选择题:
1. 已知,则dy等于(C).
(A) 2tgxdx ; (B) ; (C) ; (D) .
2． 一元函数连续是可导的（A）；一元函数可导是可微的（C）.
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非充分条件又非必要条件.
2. 函数不可微点的个数是（B）.
（A） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0.
二．填空题：
1． 已知函数在点x处的自变量的增量，对应的函数增量的线性主部是，那末自变量的始值为.
2． ，则.
3. ; ;
; .
三． 利用微分求近似值：.
解： . 这里较小应用(p150)(2)式,得

.
四． 已知测量球的直径D时有1%的相对误差，问用公式计算球的体积时，相对误差有多少？
解： 我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量，那么，利用公式来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量.当很小时，可以利用微分近似地代替增量，即
.
其相对误差 .
五． 求由方程所确定的隐函数s在t=0处的微分.
解： 对方程两边关于t求导，得
.
当 t=0时, 得 .
又对原方程, 当 t=0时, 得 即 s=1.

一元微积分学题库（13）中值定理
一．选择题：
1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B）.
(A)
(B)
(C)
(D)
2.对于函数，在区间上满足拉格朗日中值定理的点是(A).
(A); (B); (C); (D)1.
二. 应用导数证明恒等式：.（注意：对
处的讨论）
证：令
当时，
（C为常数）.
特别地，取,则求得
当时，
当时，
当时，
三. 设，证明：.
证：设，在上利用拉格朗日中值定理，有：

.
四. 证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根.
证：反证法.设，且在区间上有两个以上实根，其中两个分别记为，不妨设，则，由罗尔定理，在内至少有一点，使.
而在内恒小于0，矛盾.命题成立.
五. 构造辅助函数，证明不等式.
证：设，则在区间上，，
根据拉格朗日中值定理，在内至少存在一点使

即
又

即
六. 设函数和在上存在二阶导数，且
，证明
（1） 在(a,b)内；
（2） 在(a,b)内至少存在一点，使.
证：（1）反证法.设（a,b）内存在一点使，则在上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使(ξ1)=0.
同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使(ξ2)=0.
∵(ξ1)=(ξ2)=0
∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点使,这与矛盾，故在内.
（3） 令
由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在使得即
由于，故.
一元微积分学题库（14）罗必塔法则
一. 求下列极限：
1.
解：原式=
2.
解：原式=
==
3．
解：原式==1
4．
解：令，则

∴y=e0=1
5．
解：原式=
一元微积分学题库（15）函数的单调性
一． 填空题：
1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间内单调减少，在区间内单调增加.
2．函数 （a>0）在区间内单调增加，在区间内单
调减少.
3．函数在区间内单调增加，在区间（-1，
3）内单调减少.
4. 函数在区间（0.5，1）内单调增加，在区间内单调减少.
二. 证明下列不等式：
1. 当时，.
证：令，则.
，
，显然，当时，
在区间内单调增加.
又
在区间内恒大于零.
又
在区间内大于零.
即当时，即.
2. 当时，.
证：令

显然，当时，
在内单调增加.又=0
在内大于零.
在内单调增加.而=0
在内恒大于零.
即当时，
即
3. 当时，
证：令，则.
令，则.
在此区间内单调减少.
在此区间内也单调减少.
而
在内小于0.
在内单调减少.
∴在区间的两端取得极大极小值.
即

三. 证明方程sinx=x只有一个根.
证：令，则.
在内单调减少.
∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0,
有且只有一个根.
即方程sinx=x只有一个根.

一元微积分学题库（16）函数的极值
一. 填空题：
1. 函数在处取得极小值.
2. 已知函数当-1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=为极大值.
3．已知在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；
极小值为-2.
二. 求下列函数的极值：
1.
解：

令得三驻点：.
当时，，当时，.
处为非极值点.
当时，取得极大值，其值为0.
当时，，取得极小值，其值为-13.5.
2.
解：，令，得驻点（k为整数）.

∴当时，x在该处取得极大值，其值为
当时，x在该处取得极小值，其值为
三. 试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极
大值还是极小值？并求出此极值.
解：，令，则
即
时取得极值.

在处取得极大值，其值为.
四. 设，为实数，且
(1) 求函数的极值.
(2) 求方程有三个实根的条件.
解：(1) ，令得，而
处取得极小值，其值为
处取得极大值，其值为
(2)由上述的讨论我们可以看出，仅有
三个单调区间，由介值定理及区间
单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各
有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大
于或等于0（等于0时含重根）.即
即当时，方程有三个实根.
五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆
柱的底半径及高应是多少？
解：设圆柱的底半径为R,高为h，则
,
则

六. 设在上二阶可微，，且.证明存在
，使得.
证：将在x取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时）
，
，
，两式相加得：

令，则

一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点
一、求下列函数的最大值和最小值：
1.

函数在所给区间内可导，因此可令

解得
而
所以函数在区间上的最大值、最小值分别为104和-5.
2.

函数在所给区间内可导，因此可令

解得
而
所以函数在区间上的最大值、最小值分别为-47和-15.

二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长
方形才能使这间小屋的面积最大？
解：

设宽为米，则长为米，因此，面积为

显然，当时，面积取最大值50.

三、求数项 中的最大项.
解：

令
则
解得唯一驻点， ，并且在区间上单调递增，在区间上单
调递减，而

所以数项 中的最大项为.
四、求下列函数的凹凸区间与拐点：
1.
解：

函数在定义域内阶导数存在，并且

因此，当时，，曲线为凸的，当时，，曲
线为凹的，点是曲线的拐点.
2.
解：

函数在定义域内阶导数存在，并且

因此，当时，，曲线为凸的，当时，，曲线
为凹的，当时，，曲线为凸的，点是曲线的拐点.

五、证明有三个拐点位于同一直线上.
证明：

函数在定义域内二阶导数存在，并且

令，解得，
因此，当时，，曲线为凸的，当时，，
曲线为凹的，当时，，曲线为凸的，当
时，，曲线为凹的，所以曲线有三个拐点
.
并且

所以三个拐点在同一条直线上.

一元微积分学题库 (18) 函数图形的描绘
一、作下列函数的图形（要求列表之后再画图）：
1.
解：函数在定义域内二阶导数存在，并且

令，解得，

0

1

-
-
-
0
+
+
+
0
-
-
-

-
0
+
+
+
0
-
-
-
0
+
图形
↘
拐点
Ø
极大
Ú
拐点
↗
极小
↘
拐点
Ø

2.
解：函数在定义域内二阶导数存在，并且

令，解得，

1

-
0
+
+
+
0
+

+
+
+
0
-
0
+
图形
Ø
极小
Ú
拐点
↗
拐点，不是极值点
Ú

四、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小.
解：

设切点的坐标为，则切线的斜率为，所以切线方程为

当时，
当时，，
所以，三角形的面积为

令
解得
即当时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线及直线所围成的
平面图形的面积最小，此时切线方程为：

一元微积分学题库（19）不定积分
一.是非题：
1． ( F )
2. ( F )
3. 已知则 ( F )
4. 是同一个函数的原函数 ( T ).
二.填空：
1. .
2. .
3. .
4.
5. .
6. 设，则.
7. 已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，则曲线方程为.
三.求下列不定积分
1.
解:

2. .
解：.
3. .
解：

4．.
解：
5．
解：．
四．已知且f(0)=0求f(x).
解：
又由于在x=0可导,则f(x)在x=0连续，
所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得：

一元微积分学题库（20）换元积分
一.填空:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
二.计算不定积分:
1. .
解：.
2.
解：

6．
解：.

7.
解:
8.
解:.

一元微积分学题库（21） 分部积分法
一.填空题：
1．设则 .
2． .
3．若的原函数为，则 .
二．求下列不定积分：
1．
解：
=]
= .所以，
原式= .
2．.
解：=.
3．.
解：=

=
= .
4． .
解：=
=
=
=
5． .
解：=
=
= .
6． .
解：=
=
=.

一元微积分学题库(22) 几种特殊类型函数的积分

一． 求下列有理函数的不定积分：
1． .
解：=
= .
2． .
解： , 比较系数得：
=
=
=
= .
二.求下列三角有理式的不定积分：
1． .
解：令 则
=
= .
2． .
解：===
= .
3． .
解：===
==
=
所以，2==
即：=
三.求下列无理函数的不定积分：
1． .
解：=
令 ， 则；. 于是

=
故=
=
= .
2． .
解：令 则：
=
=
四.计算积分 .
解法一：=
=
=
=
= .
解法二：=
=
=
=
=
注：解法二中积分亦可用万能代换法（令：求取.
五．计算积分 .
解： =+
=
=
=
=
或：=
=
所以：=
一元微积分学题库（23）定积分
一． 判断题：
1． 若在上可积，则在上必连续. （F）
2． 若在连续，则必定存在. （F）
3． 若包含于，则必有≥ （F）
二．填空：（用≥号或≤号）
1. ≥ .
2． ≤ .
3． ≤ .
4． ≤ .
三．估计下列定积分的值：
1．
解：≤≤
≤≤.
2．
解：设
显然在 单调减，≤≤，
因此≤≤.
四．利用定积分的几何意义及其性质，求定积分的值（要说明理由）.
解：上述定积分表示曲线，两直线，与轴所围曲边梯形的面
积,而曲边梯形的以原点为圆心，半径为2 的圆在第一象限的部分，其面积
故定积分的值等于
五．已知求].
解：≤≤
由于
同理
六．已知在[上连续，且.求
解：设
由条件知 存在
所以 原式
一元微积分学题库（24）广义积分
一． 填空题：
1． 0
2．
3．
4．已知>，则
5．
6．
7．
二． 计算题：
1． 求
解：原式
2． 设 求
解：
三． 求
解：时≥0， 0≤≤
≤≤
由于 故
注：利用介值定理或定积分中值定理也可求得结果.
四． 设在上连续，且单调增加，证明 ≥
证：令

由于单调增，当<<时，>
>0， 在单调增，故>
即 ≥
一元微积分学题库（25）定积分的换元法
一．下列定积分所使用的变量代换是否正确？
1． （no）
2． （no）
3． （yes）
二．下列等式是否正确？
1． （yes）
2． （yes）
3． （yes）
三．计算下列定积分：
1．.
解：原式= ()
令

2．.
解：令 则 且
当 时 当 时
于是

3．.

4．
解：设 且
当 时 当 时
于是

四．证明：设是以为周期的连续函数，则的值与无关

五．设)连续.求
一元微积分学题库（26）定积分的分部积分法
一．填空题：
1．设则
2．已知则
二．计算下列定积分：
1．
解：设 则

由分部积分公式，得

2．
解：设 则

由分部积分公式，得

3．
解：设 则

由分部积分公式，得

4． 解：原式=
5.

三．设在上连续，且对一切有 求
解：由题设：

则

又

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