凸显角本质的学习路径研究：初识角的概念.pdf

2024年第3期总第92期【课堂研究】凸显角本质的学习路径研究：初识角的概念巩子坤1，2，许佳敏3，张芳铭1，黄旭冉4（1.杭州师范大学经亨颐教育学院，浙江杭州311121；2.杭州师范大学中国教育现代化研究院，浙江杭州311121；3.杭州市第十五中学教育集团（总校），浙江杭州310013；4.永嘉县瓯北第一小学，浙江温州325102）【摘要】角是学生认识几何图形的起点，但教材与教学关注较多的是不同角的性质，而不是角的本质。文章提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，并展示第一课时“初识角的概念”。研究者通过教学实践与研讨，得到完善的学习路径：基于现实角，抽象出图形角；通过分类，探索角的特征，得到数学角；通过创造角，理解角的特征。由此提出教学建议：借助分类，初识角的概念；动手创造角，直观感知角的特征。【关键词】角；角的本质；角的概念；学习路径【作者简介】巩子坤，教授，博士生导师，主要研究方向为基础教育数学课程改革的理论与实践；许佳敏，中学数学教师，主要研究方向为数学课堂教学；张芳铭，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育；黄旭冉，小学数学教师，主要研究方向为数学教育。【基金项目】2023 年度浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（23NDJC265YB）；20212022年度浙江省高校重大人文社科攻关计划项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”（2023GH005）一、研究缘起角是组成几何图形的基本要素之一。人教版数学教材将角的认识分为两个阶段。第一阶段为二年级上册“角的初步认识”。首先，学生通过生活情境直观认识有“尖尖的顶点、直直的边”的图形是角。其次，学生从生活中抽象出“直直的角”是直角，并用直角比一比，知道比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。第二阶段为四年级上册“角的度量”。首先，学生在认识线段、射线、直线的基础上学习角的描述性定义，即从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。其次，学生通过比较角的大小的任务，引出度量角的单位度，以及度量角的工具量角器，学习如何度量角。最后，学生根据角的动态定义（角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形）学习平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。整个逻辑看似层层递进，实则忽视了非常重要的问题：什么是角的大小？怎样比较角的大小？是边更长，还是覆盖面积更大？量角器是在度量角的什么？为什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的？这些都是困扰学生但教材未解释的问题。究其原因，是教材未讲明角的本质是什么。何谓角的本质？欧几里得认为，平面角是一个平面上两条线之间的倾斜，它们相交且不在一条直线上。1我们对这个说法做了通俗的解释，认为角的本质是一条直线相对于另一条直线的倾斜度。2但倾斜度对于学生而言不易理解，要让学生在初次学习角时就理解角的本质，则需要找到一种能使倾斜度直观呈现的外显方式。江春莲提出，如果从角的本质来说，“张开度”则更为关键。研究角的目的不是研究它的62024年第3期总第92期边，而是研究张开度。2角的动态定义中虽然没有提及张开度，但暗含了“转动的多少”，而射线绕端点转动的动态过程，就是形成张开度的过程，也就是产生倾斜度的过程。相比于倾斜度和张开度，“转动的多少”不仅更加形象直观，而且与之后要学习的弧度制有异曲同工之处（弧度制本质上就是用转动生成的弧长来度量角的大小），贯穿了角学习的始终。因此，“转动的多少”可以尝试作为角本质外显的呈现方式。为初步了解学生对角本质的理解情况，笔者对6名二年级学生进行单元前测及访谈。学生需要判断正方形的四个角是否相等，以及沿折痕剪下来后，四个角是否仍然相等（如图1）。测试与访谈的结果显示：在未剪下角时，所有学生都认为四个角相等；沿折痕剪下角后，仅有1名学生坚持认为四个角相等，并能说出理由，其他学生因为角的“边长”、覆盖的“面积”发生变化而改变了答案。由此可以发现，学生对角本质的认识比较模糊，容易受边长的长短、覆盖面积的大小等非本质因素的影响，需要教师的引导。图1随后，教师让学生任意画一个角或几个角，发现有4名学生借助三角尺，把三角尺的角描了下来（如图2）。可以发现，学生对角的认识只停留在现实生活中的角，无法从中抽象出数学中的角，因此才会在利用三角尺画角时保留三角尺上因磨损而出现的“圆圆的顶点”。故学生在对角本质进行认识之前，需要先经历从现实世界到数学世界的过程，理解角的特征，初识角的概念。图2学生画的“角”综上，本研究提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，共分为“初识角的概念”“体验、认识角本质”“巩固、运用角本质”三个课时。本文研究第一课时“初识角的概念”，要解决的问题为：“初识角的概念”学习路径中的关键任务是什么？与原教材相比，该路径在帮助学生理解角的概念上的效果如何？二、研究设计（一）研究对象选取YH小学二年级的甲、乙两个班作为教学班，两个班各有30名学生，班级总体水平一致，由教师A按照本研究设计的学习路径进行备课、授课。（二）研究流程学习路径优化、完善的具体流程如图3所示。图3研究流程（三）问卷及数据处理后测题目一共有5道小题，要求学生判断给出的图形是否为角，并说明理由（如图4）。后测题目主要考查学生对角的概念中“两条边是否搭牢”“尖尖的顶点”“直直的边”等概念是否已经掌握。图4后测题目教师对学生的作答情况进行赋分，判断正确并能说出理由记2分，判断正确但不能说明理由记1分，判断错误记0分，最后统计总分。三、研究结果与分析（一）学习路径的设计与实施为探究得到完善的学习路径，本研究经历了三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨。由于篇幅有限，只呈现在乙班开展的优化的学习路径A2（如图5）。72024年第3期总第92期任务1：经历现实角到图形角的过渡教师先从生活中的角入手，询问学生现实生活中有哪些角，学生的回答只要满足角的特征即可。随后，教师呈现生活中角的图片，让学生找出其中的角，并描一描。由此，教师带领学生经历从现实角到图形角的过渡，为下一个环节角的分类做铺垫。任务2：通过分类，探索角的特征教师呈现任务1中学生描出来的“角”（如图6），让学生圈一圈、勾一勾，将“角”进行分类，并引导学生说明分类的依据。教师在呈现分类情况、归纳角的特征时，要兼顾“两边是否是直的”“两边是否搭牢”两个标准，归纳出角的特征：有一个尖尖的顶点和两条直直的边，从而帮助学生初步建立对角的认识。以下是部分课堂实录。图6师：我们把图形分成、三类，因为都是直的，都是弯的，虽然也是直的，但中间没有搭牢，单独分为一类。像这样的角，就是我们数学中要学习的角。你能说一说它们有什么共同点吗？生：它们的边都是直直的，而且都搭牢了。师：那么这个搭牢的地方，它有什么特点呢？生：它是尖尖的。师：这个尖尖的地方我们叫作顶点。像这样，有一个尖尖的顶点和两条直直的边的图形，就是数学中的角。任务3：通过创造角，理解角的特征在学生初识角的概念之后，教师提供毛线、小棒和圆纸片等材料，让学生任意选取材料创造角，并指出该角的顶点和边。学生通过动手操作，积累活动经验，加深了对角的概念的认识。在学生展示环节，教师首先引导学生回忆创造角的过程，然后根据学生选择的材料特点有针对性地进行提问，引导学生意识到毛线需要拉直才能创造出两条直直的边，而将两根毛线都拉直且一端要搭牢则需要借助三颗图钉。以下是部分课堂实录。师：请选择毛线的同学来说一说，你是怎么做的？用了几颗图钉？生：我先在泡沫板上钉一颗图钉，让毛线绕图5优化的学习路径A282024年第3期总第92期过这颗图钉，这样就变成了两条线，然后再用两颗图钉分别固定这两条线，一共用了三颗图钉（如图7）。师：这些图钉有什么作用？生：（指向固定一条边的图钉）如果没有图钉，那么这里的边就不直。师：还有什么作用吗？生：左边这个图钉可以作为角的顶点。师：你觉得这两根毛线做的都是角吗？生：（指向右边的角）这个不是，它的边要是再直一点就是了。师：怎么再直一点呢？生：使劲拉一下，让毛线绷紧。图7学生创造的角（二）学习路径的教学效果与分析在优化的学习路径A2实施后，对乙班进行后测，并将甲、乙两个班的后测结果进行比较，得分情况如图8所示。100806040200%T1T2T3T4T5?图8甲、乙两个班的后测得分率比较甲、乙两个班的成绩，发现T2和T5的正确率得到提升，特别是T5的提升幅度较大。对甲、乙两个班学生的后测得分进行独立样本t检验。通过分析整体得分情况，发现乙班学生的正确率优于甲班，他们对角的概念的认识更加深刻；通过分析T1、T3、T4的得分情况，发现甲、乙两个班的学生对角的概念已经具备了初步的认识有两条直直的边，并且两条边需要搭牢；通过比较T2的得分情况，发现甲、乙两个班并不存在显著差异，说明两个班的学生均能意识到角需要尖尖的顶点，而乙班的得分率高于甲班，说明乙班的学生对角的概念的认识更全面、更深刻；通过比较T5的得分情况，发现乙班的学生不仅能判断出该图形为角，还能准确说出该图形存在三个角（如图9）。以上说明优化的学习路径A2有利于加强学生对角的概念的认识。图9甲（上）、乙（下）两个班学生解答T5的情况结合以下访谈结果（F表示访谈者，S表示学生），发现大部分学生对角的概念已经具有初步的认识。F：你怎么判断一个图形是角呢？S1：看它有没有尖尖的顶点把两条直直的边连起来。S2：有两条直直的边，它们需要搭牢，还有一个尖尖的顶点。结合后测得分率与学生访谈结果，发现优化的学习路径A2能有效帮助学生更好地建立对角的概念的认识。当然，优化的学习路径A2也存在可完善之处，即在任务3中，学生还可以使用小棒来创造角。用小棒来创造角的特点是，两根小棒代表角的两条直直的边，并且两根小棒一定要搭牢才能形成尖尖的顶点。因此，这是带领学生直观感知角的特征的一个良好载体。但由于时间限制，教师没有让学生展示用小棒创造的角，因此也没有让学生体会其中的思想。由于实施优化的学习路径A2在很大程度上满足了预期的学习目标，且最终完善的学习路径A3与A2相差不大，故不再详述。四、结论与建议本研究通过三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨，最终得到了完善的“初识角的概念”学习路径A3，即先基于现实角，抽象出图形（下转第36页）92024年第3期总第92期显工具属性，二者紧密关联。在情境的铺垫下，以古代工匠制作规矩镜的场景引入，自然生成古代工匠如何作三等分角的疑问。同时，以开放、创造、有趣的话题，激发学生兴趣，提高学生的参与欲望，为师生深度情感交互提供可能。第三，把握文化脉络，以问题链构建任务群。中华优秀传统文化融入数学课堂需要深刻挖掘其中蕴含的数学知识与数学思想，形成数学文化脉络，避免内容的碎片化呈现，包括基于知识发展的文化脉络与基于学生理解的文化脉络等。数学问题链是有序的主干问题序列，以其关联性、整体性为学生提供数学思考的基本脉络。5项目式学习是落实数学文化的一种重要教学形式，问题链则为数学文化项目式学习的设计与实施提供了载体。6本课例将三角形全等、等分角的知识以及由已知到未知、从特殊到一般、从局部到整体的认识思路与各个问题相融，展现了制作三等分角工具的思考脉络，一步步推动新任务生成，最终完成项目成果。综上所述，项目式学习中学生内隐成果的塑造值得广大教师关注，中华优秀传统文化以其独特的文化价值成为推进学生内隐成果塑造的重要载体。融中华优秀传统文化于项目式学习的设计需要关注文化体验，以明暗双线结构组织教学；创设文化情境，营造浸润式文化氛围；把握文化脉络，以问题链构建任务群，带领学生在生动的文化体验中感悟思想、深化理解。参考文献：1叶依丛，顾建辛，马婉琴.基于项目学习的高中化学教学设计与实践：佩挂式除菌卡有效性研究 J.化学教学，2022（9）：51-56.2 杨豫晖，吴姣，宋乃庆.中国数学文化研究述评J.数学教育学报，2015（1）：87-90.3 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.4 郑蓉蓉，蒋逸卿，唐恒钧.基于数学史的科学精神培养：以二项式定理为例 J.中学教研（数学版），2023（9）：28-32.5 唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的内涵与特征J.教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：8-12.6唐恒钧，陶慧婵.基于问题链的数学文化项目式学习活动设计：以“杆秤中的数学”为例J.中小学课堂教学研究，2022（9）：7-10.（责任编辑：罗小荧）角，再通过分类，探索角的特征，得到数学角，最后通过创造角，理解角的特征。其中的关键学习任务是对角的分类与描述，学生通过该任务得到角的特征。研究表明，与教材中的学习路径相比，本研究设计的学习路径能更好地帮助学生初识角的概念，为理解角的本质打好基础。因此，笔者对教学提出如下建议。（一）借助分类，初识角的概念史宁中指出，学习图形要经历分类的过程。通过分类，找到本质；基于本质，分辨角。分类的过程就是观察的过程，对于二年级学生来说，通过直接观察进行分类是容易的，但阐述分类依据比较困难，这是因为学生的分类标准更多依靠“直观感觉”，而不是数学特征。因此，教师要引导学生用自己的语言概括分类标准，描述图形的特征，这是学生用数学的语言表达世界的过程。如“搭牢”“直直的”等词，就是学生从具体到抽象、从现实世界走向数学世界较好的脚手架与固着点。（二）动手创造角，直观感知角的特征为学生提供毛线、小棒等材料，让学生动手创造角，这个过程是学生将自己所理解的角的特征进行具体呈现。其中，毛线还含有数学思想，用它来创造角的过程渗透了两个知识点：一是两点确定一条直线，因此需要用三颗图钉来固定两条直线（一点重合，作为顶点，另两点固定，线拉直）；二是绷紧了才是直直的。这些看似基础的概念性知识，事实上都是学生认知发展中根本的、具有生长性的知识，更需要让学生去深刻体会。参考文献：1欧几里得.几何原本M.张卜天，译.北京：商务印书馆，2020.2巩子坤，江春莲，张奠宙.把握线、角的本质，沟通线、角的联系J.教育视界，2018（12）：4-7.（责任编辑：罗小荧）（上接第9页）36