数学“微探究”活动的设计与实施——以“辅助角公式”的探究为例.pdf

2024年第3期总第92期【课堂聚焦教学设计】数学“微探究”活动的设计与实施以“辅助角公式”的探究为例吴国文，黄晖明（厦门市集美区灌口中学，福建厦门361023）【摘要】数学探究活动在提高学生发现、提出、分析、解决数学问题的能力，孕育自主探究精神，培养创新人才中发挥着重要作用。“微探究”是数学探究活动的“袖珍体”，重心置于探究方法的梳理和探究过程的开展上，有效解决了数学探究活动中活动时间长、思维跨度大、学生参与度低等问题。本文通过对微探究活动中探究问题的育人价值体现（为什么要探究）、探究内容的合理重组（探究什么）、探究过程的自然开展（怎么探究）等要素进行分析，尝试设计并开展微探究活动。微探究活动过程中积累的探究经验和方法，可以为数学探究活动的有序开展提供参考。【关键词】中学数学；微探究；探究活动【作者简介】吴国文，高级教师，厦门市骨干教师；黄晖明，一级教师，厦门市骨干教师。【基金项目】中国教育学会2021年度教育科研一般规划课题“深度学习下的高中数学原理课教学情境与问题创设的实践探究”（202135020304B）数学探究活动是高中课程主题之一，它是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，在必修课程和选择性必修课程中都有涉及。受课堂容量、教学进度、是否为高考要求的内容等因素影响，不同教师在引导学生完成数学探究活动时的安排各不相同。在实际教学中，教师若缺乏指导经验，则容易出现过度干预，探究问题不能启迪学生深度思考，探究过程流于形式等问题，学生无法从活动中汲取经验。对数学探究活动内涵、活动设计要素与活动开展过程进行研究，可以帮助教师深入理解这一活动的意义，体会它的核心要义进而指导教学，实现教育价值。一、数学探究活动的内涵及分类数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。1数学探究活动主要包括提出探究问题、制订探究方案、开展探究过程、得出探究结果、形成探究反思等五个要素，各要素相互关联构成探究链，可具体划分为初始期（弄清问题）、规划期（制订方案）、困难期（解决问题）、突破期（得出结论）、创新期（验证结论）、反思期（交流评价）。2学生经历探究过程中的调查研究、实验确认、分析研讨、表达交流并论证等学习活动，数学知识得以延伸与拓展，在领悟数学知识、掌握研究方法的同时，自主探索、合作交流和动手实践的能力得以提升。人教A版高中数学教科书中数学探究活动内容包含知识发现与拓展、数学实验、数学史、知识应用、思想方法等，根据探究方法的不同，主要可分为推理型探究（注重逻辑推理）、应用型探究（注重知识应用）和实验型探究（注重数学372024年第3期总第92期实验）。笔者以教材中的“探究与发现”内容为例，将数学探究活动进行整理及归类（见表 1，标注“*”的内容为非高考内容），便于教师把握探究主题、识别探究内容、灵活选择探究方法来开展数学探究活动。二、“微探究”的内涵及意义仔细研读表1所述数学探究活动案例可以发现，它们大多略去了发现问题、制订方案的过程（即已经给出探究问题，甚至设计好了探究思路），且探究重心置于探究方法的梳理和探究过程的开展上，探究结果更多指向的是数学微观结论。在探究问题的引领下（或教师的指导下），学生自主或合作进行有序探究活动，最终完成探究任务，本文将这样的探究定义为“微探究”。微探究属于数学探究活动的“袖珍体”，是数学探究活动的类型之一。微探究既保留了数学探究活动的核心环节、优势与功能，又克服了数学探究活动中活动时间长、思维跨度大、学生参与度低等问题，具有“小而精”的特征，即时间跨度小、探究任务少、探究目标精准聚焦。微探究在实践中具有操作灵活、问题容易解决、探究过程用时短、见效快等特征，更能适应高中数学学习进程及契合高中生的认知特征。在微探究的过程中积累的探究经验和探究方法，可以帮助学生顺利实施数学探究活动。三、“微探究”活动设计与案例分析如何有效利用教材中的探究素材，引领学生深度参与数学探究活动，对提高学生的问题意识，熟悉数学研究方法，发展数学探究能力至关重要。本文以“辅助角公式”为例对微探究活动的设计与开展进行研究，以期为数学探究活动教学提供参考，实现以微探究撬动数学探究活动。（一）“微探究”活动设计要素微探究活动注重内容探究性、活动自主性、思维深刻性。要达成上述三性，活动设计时需要重点考虑以下三个问题：一是探究问题的育人价值体现（为什么要探究）；二是探究内容的合理重组（探究什么）；三是探究过程的自然开展（怎么探究）。1.育人价值分析（为什么要探究）微探究的目标设计不能仅仅指向知识点的获得，应着重考虑知识形成背后蕴含的思想方法等隐性内容，学生在探究过程中的感受与收获，活动结束后积累的探究经验等育人价值。教材必修第一册必修第二册选择性必修第一册选择性必修第二册选择性必修第三册探究主题探究函数y=x+1x的图象与性质互为反函数的两个函数图象间的关系*函数y=Asin（x+）及函数y=Acos（x+）函数的周期*利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质*1的n次方根祖暅原理与柱体、锥体的体积方向向量与直线的参数方程为什么y=bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线*为什么二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线牛顿法用导数方法求方程的近似解*子集的个数有多少组合数的两个性质*二项分布的性质探究内容知识发现与拓展知识发现与拓展知识应用知识应用知识发现与拓展数学史+数学实验+知识应用知识发现与拓展知识发现与拓展知识应用数学史+思想方法知识应用知识发现与拓展知识发现与拓展探究方法推理型推理型应用型应用型推理型实验型+推理型推理型推理型应用型应用型应用型推理型推理型表1人教A版高中数学教材中“探究与发现”内容的分类382024年第3期总第92期辅助角公式是重要的三角恒等变换公式，主要作用是将同角的正、余弦线性结构式子转化为f（x）=Asin（x+）的结构式，用以有效解决三角函数类问题。辅助角公式本质上是一个处理三角函数式的工具，蕴含着模型化、转化与化归的思想，具备丰富的科学价值、应用价值、文化价值。首先，可以通过公式的推导与应用，让学生体会数学化繁为简、化难为易的应用价值，数学的工具性、实用性得到进一步凸显。其次，在实际教学中发现，很多学生对于辅助角公式的推导，的由来、取值不清楚（教材中未给出辅助角公式的推导过程，受课时影响有的教师直接告知学生公式），导致在使用过程中频频受阻。因此，教师要引导学生善于用数学的眼光发现身边的问题（辅助角公式的由来），尝试分析问题、解决问题，在问题的解决过程中提升逻辑推理、数学运算等核心素养，体现数学的科学价值。最后，以辅助角公式为知识探究背景渗透数学史（我国数学家李善兰总结提出的辅助角公式推演过程），对学生实施思政教育，感受数学家积淀下来的数学成就，从而提升文化自信。2.探究材料再加工（探究什么）首先，教材中的微探究素材往往兼具综合性和研究性，需要学生具有一定的探究方法、充足的知识储备、较强的逻辑推理能力才能支撑探究活动的完成。其次，由于篇幅限制，教材的探究材料中内容往往比较精简，难以达成丰富的育人目标。基于上述考虑，教师应围绕育人价值对探究材料进行重新加工，整合形成新的探究素材。探究辅助角公式的由来，体会辅助角公式在解决三角函数问题过程中的简便性，感受我国的数学成就，提升文化自信等是本次探究活动的内容，也是教学难点所在。基于知识发生发展和学生认知过程合理性的考虑，笔者将教材中的内容进行补充及再加工，设计如下探究任务及过程：一是求y=sinx+cosx的最大值；二是制订探究方案；三是求y=asinx+bcosx的最大值（辅助角公式的推导）；四是公式来源介绍（数学家李善兰的推导过程）。通过重构探究素材，分解育人目标。3.驱动探究进程（怎么探究）总体而言，微探究的驱动过程可概括为大概念引路、问题链铺路。大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，具有生活价值3，是对事物的性质、特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括，具备抽象性、概括性、统摄性和广泛迁移价值。按照大概念所在层级可以分为课程大概念、单元大概念、课时大概念，根据教学功能的不同，还可以将不同层级的大概念分为“是什么”“怎么学”“数学基本思想”等三类。4本节内容可以提炼出如下大概念：辅助角公式是一种式子转换模型，特殊到一般再到特殊是研究数学对象的常用方法，转化与化归是三角恒等变换的基本思想。从教学功能看，大概念具备知识技能和研究方法的双重属性，能将离散的知识结构化、方法系统化，能统领课堂教学的有序展开。问题链是帮助学生完成探究任务的脚手架，它是根据教学内容及其蕴含的思维脉络，立足学生认知水平而设计的具有系统性、层次性、结构化的问题序列，由横向的主干问题及纵向的追问组成。5探究性问题链是相对问题链的教学功能而言的，是教师为学生自主、独立地发现问题，培养学生的探索精神和创新能力而设计的富有思考性的问题链。探究性问题链为学生开展探究活动提供脉络化探索路径，是探究活动教学的核心，也是培养学生科学探究能力的有效途径。探究性问题链的设计要遵循适切性、联系性、层次性。适切性一是指问题的设计要适切活动主题，二是要针对班级学生，考量“两个过程”（知识的发生发展过程及学生的认知过程）的合理性。联系性是指问题链中主干问题间具备知识（思想方法）的横向关联，主干问题与追问间具备思维的纵向关联。层次性指问题由简单到复杂逐步递进，形成组织严密、问问相扣、连贯一致的问题序列，促使学生有序思考，帮助学生体验由具体到抽象、由低向高进阶的思维认知过程。基于以上分析，微探究的具体实施路径可设计如下：先确定内容大概念，在大概念的引导下392024年第3期总第92期融合学习任务及所蕴含的思维主线来设置主干问题，搭建问题链整体框架，构建思维层次；随后细化局部，设计追问，延展思维深度。不难发现，探究性问题链中主干问题是驱动数学知识发生发展过程中的核心问题，追问是遵循学生认知过程、联结主干问题间的思维跨度、指引学生深入思考的重要问题。（二）“微探究”活动案例分析1.环节一：提出探究问题【主干问题1】求函数y=sinx+cosx的最大值。学生尝试代入特殊值求解，得出2为最大值。【追问1】特殊值法能穷尽x的所有取值吗？学生思考，并对最大值为2产生怀疑，寻求严谨的证明。【追问2】对于一般情形即y=asinx+bcosx的式子，又该如何求最大值？【设计意图】基于学生思维的最近发展区，从简单且熟悉的函数式入手求最值，提出新的矛盾与问题来引发学生的探究欲望。2.环节二：制订探究方案【主干问题2】对于开展数学对象的研究，我们一般需要先做好哪些准备？学生先自行思考，在教师适当引导后得出：开展数学研究需要有必要知识储备和研究方法（可以先从特殊情况入手寻找解决问题的突破口，再将从特殊案例总结出的方式方法应用于一般情形当中）。【追问】本次探究具体如何开展？师生共同制订探究方案：知识、方法梳理寻找是否有类似题型或经验开展特殊情形下的推理研究开展一般情形下的推理得出结论总结反思。【设计意图】设计问题，引导学生对“如何研究”“如何开展”等一般性问题进行深入思考，帮助学生形成探究方法（大概念）。3.环节三：开展探究过程根据制订的探究方案开展探究：梳理相关知识、方法、经验，选择特殊情形，教师可根据学生寻找（选取）的特例进行适当指引、展示。教师可以展示以下特例：化简：（1）12cos x-32sin x；（2）3sinx+cosx；（3）2(sinx-cosx)。【主干问题3】这三道题是基于什么样的方式化简得来？学生归纳出基于两角和（差）的正弦、余弦公式的逆用（需保证两个系数的平方和为1，不为1的情形需先配凑再进行转化），将线性式子化简为形如f（x）=Asin（x+）或f（x）=Acos（x+）的结构式，本质为公式逆用，化简技巧为将两个系数分别配凑为同一个角的正弦值和余弦值。【追问1】可以借鉴上述方法求y=asinx+bcosx的最大值吗？学生思考并归纳思路，将线性式子化简为形如y=Asin（x+）的结构式即可求出最大值。学生对式子进行配凑，得到y=a2+b2（aa2+b2sinx+ba2+b2cos x）=a2+b2sin（x+），其中 sin=ba2+b2，cos=aa2+b2，tan=ba。【追问2】根据公式化简y=sinx+cosx，y=sinx-cosx。【追问3】为何取4和-4？取54和34可以吗？对于式，教师引导学生分析tan=ba=1，=4+k，sin=ba2+b2=12，cos=aa2+b2=12，角的终边在第一象限；对于式，sin=ba2+b2=-12，cos=aa2+b2=12，角的终边在第四象限，得出结论的取值与点（a，b）同象限，特别当a0时，可以在（-2，2）取值。【设计意图】辅助角公式的推导与应用难点在于化简思路的由来及的取值。通过探究方法的提前指引和化简经验的梳理，可以突破“思路难”的问题；结合特例设计追问深入探究的取值，从公式逆用的角度学生容易明白为何选取第一、第四象限角，通过问题链化解学生“行路难”问题。402024年第3期总第92期4.环节四：得出探究结果学生整理探究结果，教师展示我国数学家李善兰对辅助角公式的推演过程。【设计意图】渗透数学史，展示我国的数学积淀与成就，提升文化自信。5.环节五：形成探究反思【主干问题4】能说说你是如何推导出辅助角公式的吗？学生自主回顾公式推导过程，提炼出特殊到一般的探究方法，积累探究经验。【追问】本节课我们基于两角和与差的正弦公式逆用推导出了辅助角公式，你能用两角和与差的余弦公式逆用来推导出另一种公式形式吗？请大家课后完成。【设计意图】归纳总结出知识背后的隐性价值（探究方法、探究经验等）是进行探究反思的重点之一，配以具体案例的回顾，学生再次回顾探究经历，对探究过程和方法进行深入思考，从而积累探究经验。本环节的追问为课堂留白，可以促进学生对本节课探究方法的持续思考，再次巩固本节内容的大概念。四、“微探究”活动教学建议1.做真实、完整的探究活动微探究活动需要学生储备扎实的基础知识和科学的探究方法。一开始学生是畏难的，要扭转这样的局面，关键在于探究活动的吸引力。这种吸引力是建立在探究问题的真实性和探究过程的完整性之上。“真实”一指情境的真实，即创设展示知识发展的真实脉络的情境；二指问题的真实，即在情境中提出符合学生真实思维水平的问题。学生要经历探究活动的完整过程，在解决真实问题的过程中习得探究经验和探究方法。完整的数学探究过程可以让学生经历遭受挫折、吸取经验教训、克服困难、寻找解决办法等，从而收获深刻的成就感与实践体验，体会到数学探究活动的乐趣所在，进而激发学生开展下一次探究的兴趣和勇气。2.大概念引领，问题链驱动，促进探究过程有的放矢大概念是数学探究活动设计及开展的“灵魂”，问题链为大概念的渗透和理解提供脉络化探索路径，为学生的数学探究引路。微探究活动的问题设计在“何种探究方法”“形成何种探究策略”等方面加强指导并给出明确提示，帮助学生梳理出科学探究方法等数学探究活动中的大概念。“主干问题+追问”的问题链形式使探究主题明确，思维层次分明，从而驱动探究活动的自然进行。大概念引领、问题链驱动能使学生有序地进行探究活动，引发与大概念相关的持续性思考，逐步引领学生经历大概念的建构过程，达成知识的深度理解，收获探究经验。3.强化探究反思，提升探究素养探究反思包括对探究问题、探究方法、探究过程及探究结果等内容的反思。探究者借助高阶思维与批判性眼光对探究活动的各个要素与环节进行重新审视，运用逆向思维，经历“结果过程方法问题”的反思步骤，对问题的价值性、方法的科学性、过程的合理性、结果的准确性进行诊断和分析。学生能在反思的过程中积累微探究活动的经验，提高探究数学问题的积极性，掌握科学探究方法，从而提升探究素养。数学探究活动较之微探究更具广泛性和系统性，而微探究活动可以为其提供探究经验和方法，众多的微探究可以汇聚整合成为数学探究活动的指导手册，撬动数学探究活动的有效开展，助力数学探究活动在高中数学教学中常态化应用。参考文献：1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）M.北京：人民教育出版社，2020：35.2 张定强，裴阳.“数学探究活动”的机制性分析J.中学数学教学参考，2022（6）：15-18.3刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革J.教育研究，2020（6）：64-77.4黄晖明.大概念引领下高中数学单元教学设计：以“数列求和”为例 J.教学月刊中学版（教学参考），2023（6）：30-33.5黄晖明.数学问题链：让课堂焕发思维活力：例析“两个过程合理性”下的探究性问题链设计J.中小学数学（高中版），2022（9）：39-42.（责任编辑：潘安）41