第十讲不定积分的计算方法--.doc

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第十讲 不定积分的计算方法
§５.4 换元积分法
教学过程:
一、第一类换元积分法(凑微分法）

1、问题提出：如何求 ?
分析:，
。
解法:令， 由于,
而 ，，
.
又如：．
2、第一类换元法
【定理】设具有原函数,导函数连续，则有换元公式
。
证明:

。
3、如何用凑元法求不定积分：
（１）将被积表达式化为 ．
（２）找出的原函数．
（３）将还原为,．
凑元法的关键：凑．
4、常用凑微分表：
（1）(),（2），
(3），（4），
(5） （6），
（7）,（8），
（9）
(10）
（11）
5、应用举例：
例1． 计算下列积分
1)

.
2）

。
【另解:
。】
3）
.
4）

．
例2．计算下列积分
1)
.
2）
．
3）
=.
例3。 计算下列积分
1）
．
2)
．
3）
．
4）

.还有其他方法吗?
例4．计算下列积分
１）
.
２）
.
３）

.
提问： .
答案：。
4）
， 。
5）

。
同理可推
.
例５．计算下列积分
1)

。
2）

。
3)
解
。
例６．计算下列积分
１）
.
２）

。
其中：
．
３)

。
例７．计算下列积分
1)

．
2)
．
3)
。
4）
解
。
5）

.
注意到：。
例8 计算下列积分
１）

＝．
２）

．
例9

.
例10

。
二、第二类换元法(代元法）

由前面计算知

1、问题提出：如何求 ？

解法：如果令, 那么

。
2、第二类换元法（代元法）
【定理】设是单调且可导的函数，并且连续，，又设具有原函数，则有换元公式
。
其中是的反函数。
证明：

。
3、利用代元法的关键：就是引入合适的变量代换相关的因式，使原有的积分可以利用基本积分公式进行计算。特别注意：换元必须回代。
4、常见类型的代元法：
(1）无理函数代换
被积函数中含有令作代换进行换元；被积函数中含有
作代换进行换元.
例1．计算下列积分
(1）

解：原式

.
(2)

解：原式
．
（3)

解：原式
。
(4)

解:原式
．
(5)

解：原式

。
(6）
解：原式

．
（7)

解:原式
。
（2)三角代换
一般规律：当被积函数中含有，,时，利用三角函数的平方关系作代换(此时，一般默认反三角函数在主值范围内） .回代时可借助直角三角形边角关系以及勾股关系进行.
当 ① ， 可令 ；
② , 可令 ；
③ ， 可令 。

例2 计算
解:

.
（） 其中：。
例3 计算()
解：当时

。 其中:.
当时

. 其中：。
故 . ()
例4．计算（）

.
例5．
解 令， 则。则

.
例6.
解：原式

。
（3）倒代换：当分母的次数较高时,可采用倒代换:.
例7．计算
解:原式

(的正负在形式上影响结果形式,但实质是一致的）
例8．计算
解:原式
.
（此题另解：。
．
三、基本积分表(续)
；
；
；
；
;
；
;
。
小结：能凑就不代换．关键是要熟记常用的凑微分式，对于
典型的凑元积分要熟记公式.

§５。5 分部积分法
教学过程：
一、分部积分法

分部积分公式：设函数具有连续导函数,那么 ，
将两边积分得
或
3.公式中与的选择要求：（1)关键确定，将所给积分中易求出原函数的量设为，（2) 积分比容易积出．（3)选口诀“反、对、幂、指、三”；幂：泛指多项式. “指与三”结合时可以任意选择。“反、对、幂、指、三"是指五种基本初等函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。
二、常见解法
1.直接运用公式积分
观察下列运算
。
若：
.
显然， 比更难积出 。
例1．计算下列积分
（1）
解：原式
。
（2）．
（3）
．
（4）

．
(5）

．
结论：一般地，被积函数为、与时,选择.
例2计算下列积分
（1）

．
（2）

．
(3)

。
例3 计算下列积分
（1）

。
(2）

.
(3)

.
2。循环法
当被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积时，形如
,的积分通过两次分部积分形成一个所求积分的方程，通过解方程求出所要积分．但要注意循环过程中的几次选取要同类.
例4 计算下列积分
（1）

即 .
同理可求得 .
(2）

。
3.递推法
当被积函数是某一简单函数的高次幂时，适当选择通过分部积分得到该函数高次幂与低次幂函数的递推关系
例5 利用递推计算
解 因为

所以

当时,。
当时,。
当时,
。
依次类推可以得到.
例6求 的递推公式，其中为非负整数，并求出。
解：

即 递推公式为 ，
其中 .
所以 ；
；

。
例7．利用递推计算 。
解:（1） ；
（2） 由于

，
那么 ， .
4.综合应用
例8 计算下列积分
(1)

.
(2）

.
（3)

.
提问:
(1)设是的一个原函数，则= .
解：　由于，且,于是

， 其中.
（2)设是的一个原函数，则 。
解　由于，于是

.
(3）（96.3)设,则 .
解：对两边对求导，得
，
故 。
第四节 有理函数的积分

教学过程:
一、有理函数的积分
1、有理函数的化简
（1) 有理函数:
,
其中都是非负整数，及都是实数, 并且,.
(2) 假定分子与分母之间没有公因式
① 若, 称为真分式；
② 若, 称为假分式。
(3) 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。
例如

2、有理真分式的化简(可以证明)
(1） 在实数范围内， 多项式可分解为
其中 .
(2）

例如
①
.

。
② .
，那么
取；取;
取.
③
。
，即

。
3、有理函数的积分
(1) 有理函数积分可以化成一个整式的积分和一个真分式的积分；
(2） 真分式的积分可归结为以下四种类型的积分：
① ；
② , ；
③ 一般情况

;
其中：，

。
特例 ．
特例 ．
④ 一般情况

， .
特例
特例

(3） 【定理】有理函数的原函数都是初等函数。
例1。
解 先将有理假分式化为整式与有理真分式之和（常用凑项或整除或待定系数法完成恒等变形),再将有理真分式分解，然后再积分。
令则

由得
,
比较系数得,,
即。
所以
.
例2。 计算
.
例3。计算
。
例4.

.
例5 .
。
例6 计算
解：原式

．
例7

．
例8

例9

.
二、可化为有理函数的积分
1、三角函数有理式的积分
,
其中:为的有理式。而 称为万能代换.
证明：由于 ， 那么 ， 从而， 且
,
,
那么.
例10 计算积分

2、简单无理函数有理式的积分
，
其中：为的有理式。
特别地.
例11 计算

.
例12 计算
解:原式

.
例13 计算下列不定积分
(1)
注 可以用万能公式代换:令,
则 。
解 令则，。所以

(2）
解 令 ,
则.

本章最后说明:
1．初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.所以初等函数的积分不一定都写得出来,但积分值是存在的。
例如：, ， , 等等.
2．理论上讲有理函数的不定积分总可以积出来，它的原函数由对数函数、反正切函数和有理函数构成，但具体求积分时困难较多。

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