第十讲不定积分的计算方法--.doc

个人收集整理 勿做商业用途第十讲 不定积分的计算方法.4 换元积分法教学过程:一、第一类换元积分法(凑微分法）1、问题提出：如何求 ?分析:，。解法:令， 由于,而 ， .又如：2、第一类换元法【定理】设具有原函数,导函数连续，则有换元公式。证明:。3、如何用凑元法求不定积分：（）将被积表达式化为 （）找出的原函数 （）将还原为,凑元法的关键：凑4、常用凑微分表：（1）(),（2），(3），（4），(5） （6），（7）,（8），（9）(10）（11）5、应用举例：例1 计算下列积分1).2）。【另解:。】3）.4）例2计算下列积分1).2）3）=.例3。 计算下列积分1）2)3）4）.还有其他方法吗?例4计算下列积分）.）.）.提问： .答案：。4）， 。5）。同理可推.例计算下列积分1)。2）。3) 解。例计算下列积分）.）。其中：)。例计算下列积分1)2)3)。4）解。5）.注意到：。例8 计算下列积分）例9 .例10 。二、第二类换元法(代元法）由前面计算知 1、问题提出：如何求 ？解法：如果令, 那么。2、第二类换元法（代元法）【定理】设是单调且可导的函数，并且连续，又设具有原函数，则有换元公式。其中是的反函数。证明：。3、利用代元法的关键：就是引入合适的变量代换相关的因式，使原有的积分可以利用基本积分公式进行计算。特别注意：换元必须回代。4、常见类型的代元法：(1）无理函数代换被积函数中含有令作代换进行换元；被积函数中含有作代换进行换元.例1计算下列积分(1）解：原式. (2)解：原式（3)解：原式。(4)解:原式(5)解：原式。(6）解：原式 （7) 解:原式。（2)三角代换一般规律：当被积函数中含有，,时，利用三角函数的平方关系作代换(此时，一般默认反三角函数在主值范围内） .回代时可借助直角三角形边角关系以及勾股关系进行.当 ， 可令 ； , 可令 ； ， 可令 。例2 计算解: . （） 其中：。例3 计算()解：当时 。 其中:. 当时 . 其中：。故 . ()例4计算（）.例5解 令， 则。则.例6.解：原式。（3）倒代换：当分母的次数较高时,可采用倒代换:.例7计算 解:原式(的正负在形式上影响结果形式,但实质是一致的）例8计算 解:原式.（此题另解：。 三、基本积分表(续)；;；;。小结：能凑就不代换关键是要熟记常用的凑微分式，对于典型的凑元积分要熟记公式.。5 分部积分法教学过程：一、分部积分法分部积分公式：设函数具有连续导函数,那么 ，将两边积分得 或 3.公式中与的选择要求：（1)关键确定，将所给积分中易求出原函数的量设为，（2) 积分比容易积出（3)选口诀“反、对、幂、指、三”；幂：泛指多项式. “指与三”结合时可以任意选择。“反、对、幂、指、三是指五种基本初等函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。二、常见解法1.直接运用公式积分观察下列运算 。若：.显然， 比更难积出 。例1计算下列积分（1） 解：原式。（2）（3）（4）(5）结论：一般地，被积函数为、与时,选择.例2计算下列积分（1）（2）(3)。例3 计算下列积分（1） 。(2） . (3).2。循环法当被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积时，形如,的积分通过两次分部积分形成一个所求积分的方程，通过解方程求出所要积分但要注意循环过程中的几次选取要同类.例4 计算下列积分 （1） 即 .同理可求得 .(2）。3.递推法当被积函数是某一简单函数的高次幂时，适当选择通过分部积分得到该函数高次幂与低次幂函数的递推关系例5 利用递推计算 解 因为所以 当时,。当时,。当时,。依次类推可以得到.例6求 的递推公式，其中为非负整数，并求出。解： 即 递推公式为 ，其中 .所以 ；。例7利用递推计算 。解:（1） ；（2） 由于 ， 那么 ， .4.综合应用例8 计算下列积分(1) .(2）.（3).提问:(1)设是的一个原函数，则= .解：由于，且,于是， 其中.（2)设是的一个原函数，则 。解由于，于是.(3）（96.3)设,则 .解：对两边对求导，得，故 。第四节 有理函数的积分教学过程:一、有理函数的积分1、有理函数的化简（1) 有理函数:, 其中都是非负整数，及都是实数, 并且,.(2) 假定分子与分母之间没有公因式 若, 称为真分式； 若, 称为假分式。(3) 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例如 2、有理真分式的化简(可以证明)(1） 在实数范围内， 多项式可分解为 其中 .(2） 例如 . 。 . ，那么 取；取;取. 。，即 。3、有理函数的积分(1) 有理函数积分可以化成一个整式的积分和一个真分式的积分；(2） 真分式的积分可归结为以下四种类型的积分： ； , ； 一般情况;其中：，。特例 特例 一般情况， . 特例 特例(3） 【定理】有理函数的原函数都是初等函数。例1。解 先将有理假分式化为整式与有理真分式之和（常用凑项或整除或待定系数法完成恒等变形),再将有理真分式分解，然后再积分。令则由得,比较系数得,即。所以.例2。 计算.例3。计算。例4. .例5 . 。例6 计算解：原式 例7 例8 例9 .二、可化为有理函数的积分1、三角函数有理式的积分,其中:为的有理式。而 称为万能代换.证明：由于 ， 那么 ， 从而， 且,那么.例10 计算积分 2、简单无理函数有理式的积分，其中：为的有理式。特别地.例11 计算.例12 计算解:原式.例13 计算下列不定积分(1) 注 可以用万能公式代换:令, 则 。解 令则，。所以(2） 解 令 , 则.本章最后说明:1初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.所以初等函数的积分不一定都写得出来,但积分值是存在的。例如：, ， , 等等. 2理论上讲有理函数的不定积分总可以积出来，它的原函数由对数函数、反正切函数和有理函数构成，但具体求积分时困难较多。32