专题一：集合中的题型归类解析.doc

教学心得：理解概念，运用性质；掌握题型，举一反三。

集合单元的精典题型
集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.
题型一：集合元素的性质
例1. 已知集合，若，求a的值。
分析：集合元素的确定性和互异性是集合的两个重要性质，是本单元一个重要考点，确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。
解：根据集合元素的确定性，得：
若a＋2＝1， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性。
若，得：。但时，，不符合集合元素的互异性。
若得：
，都不符合集合元素的互异性。
综上可得，a ＝ 0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

练习一、
1. 集合，，，且，则有 （ ）
A B
C D 不属于P、Q、R中的任意一个

2.已知集合 {2，3,+4+2}，B＝{0,7,+4-2,2-}，且A∩B={3,7},求值．

题型二：集合相等问题
集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.
例2，已知集合，，若，求的值
分析：要解决的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式
解：根据题意，分两种情况进行讨论：
（1）若，消去，得
当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故
∴，即，此时中的三个元素又相同，∴
∴此时无解.
（2）若消去，得
∵，∴，即
又，∴
评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.
（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法 就是分类讨论的方法 ，要学会这种思维方法.
练习二
1.下列各集合中相等的两个集合是( )
A=﹛x▏y=2x+1﹜,B= ﹛x▏x≥1﹜,C=﹛x▏y=x2+1﹜,D=﹛y▏y=x2+1﹜,E=﹛x▏y=2x+1﹜,F=﹛﹙x,y﹚▏y=2x+1﹜。

2．设x、y∈R，A=﹛3，x2+xy+y﹜，B=﹛1，x2 +xy+x-3﹜，且A=B,求x、y的值。
3.已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.

题型三：证明、判断两集合的关系
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.

例3设集合Z}，集合Z}，试判断集合、的关系。
分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系
解：任设，则Z，
∵Z，∴Z.∴.故.
又任设，则Z.
∵Z，∴Z.∴.故.
综上可知.
评注：在说明，或的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理.
练习三
1．设A=﹛x▏x=2k+1，k∈Z﹜,B=﹛x▏x=4k±1,k∈Z﹜, 试判断集合、的关系。
2．设A=﹛x▏x=2n，n∈Z﹜,B=﹛x▏x=2n-2,n∈Z﹜,试问A、B是否相等？若相等请说明理由．

题型四：集合中的参数问题
所谓集合中的参数问题，是指集合适合的条件}中“适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此类问题要注意思维的严谨性.
例4.已知集合≤≤，≤≤，满足，则实数的取值范围为 .
解：(1)当时，，得，满足.
(2)当时，解得≤≤.
综合(1)、(2)得的取值范围是≤.
评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在中，含有这种可能，应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质.
练习四
1.已知集合M＝中只含有一个元素，求a的值。

2．已知集合＜≤，B=﹛x▏x＜a﹜ ,且A∩B≠∅,求a的取值范围。
举一反三⑴、已知集合＜≤B=﹛x▏x＞a﹜且A∩B≠∅,求a的取值范围。
⑵．已知集合＜≤B=﹛x▏x≥a﹜且A∩B≠∅,求a的取值范围。

⑶．已知集合＜≤，B=﹛x▏x≤a﹜ ,且A∩B≠∅,求a的取值范围。
3．已知集合，B=，若，且 求实数a，b的值。
举一反三⑴已知集合，B=，若，且A∩B=A求实数a，b的值。
⑵.?
⑶.?
4．设全集U=，A=，CA=，则= ，= 。
5.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值。
6.已知集合求实数p的范围。
7. 已知，且A，B满足下列三个条件：① ② ③ Φ，求实数a的值。
8.已知集合且BA，求a的值。

题型五：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集
有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
例5.设全集≤，B=﹛x▏x＞1﹜

2
1
。
(1)求及；(2)求及.
解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：
A∩B=﹛x▏1＜x≤；.
(2) ≤1，或；.
评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数轴的几何直观来帮助思考.

练习五
1.集合，，求及
2.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
3.设集合，则集合（ ）
A． B． C． D．

题型六：开放型、定义新运算问题
近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为所适合的条件}，其中的代表元素“的任意性”和“所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.
例6.设，，定义与的差集为，且，则
解：由所给的新定义：差集，且，得，从而.
评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：.
★ 例7.已知Z}，Z}
≤，问是否存在实数，使得(1)，(2)同时成立.
分析：假设存在使得(1)成立，得到与的关系后与≤联立，然后讨论联立的不等式组.
解：假设存在实数，使得，同时成立，则集合Z}与集合Z}分别对应集合Z}与Z}，与对应的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组有解，即方程必有解.
因此≥≤，①
又∵≤ ②
由①②相加，得≤，即≤.∴.
将代入①得≥，
再将代入②得≤，因此，
将，代入方程得，
解得Z.
所以不存在实数，使得(1)，(2)同时成立.
评注：对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出问题的结论.

练习六
1. 定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A，或x∈B，且xA∩B}，已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为( )
(A) {1，2，3，4，5，6，7} (B) {1，2，3，4} (C) {1，2} (D) {3，4，5，6，7}
2. M，P是两非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且xP}，则M－(M－P)=（ ）
(A) P (B) M∩P (C) M∪P (D) M
3.设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若AB＝{1，3}，则称（A、B）为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）( )
A．4 B．8 C．9 D．16
4.定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为( )
(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21
5.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且xP}．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则集合A－B的子集个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
6．全集，，如果则这样的
实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由。
7.【试一试】【2012北京海淀区期末】若集合具有以下性质：
①，；
②若，则，且时，.
则称集合是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；
高三文科数学（集合）
A组
1．（2007年高考广东文科卷）已知集合M=，N=，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2008年高考广东文科卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合参加北京奥运会比赛的运动员，集合加北京奥运会比赛的男运动员，集合加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知集合，，且，则的值为 （ ）
A．1 B．—1 C．1或—1 D．1或—1或0
4．（2009年高考广东文科卷）已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是（ ）

5．如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）
A、 B、
C、 D、

6．已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是
7．．已知全集U=，若A=，，求实数的a ,b值
答案

(1)---(5) DBCDA
(6)2 (7)

一、集合部分
　　1．准确理解集合元素的两个性质
　　集合是一个原始的，不定义的概念，集合中的元素具有确定性和互异性．确定性是对某一集合来说，任一对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素，二者必居其一；互异性是指集合中的元素互不相同．在进行集合的交、并运算时，根据元素的互异性，同一个元素在集合中是不能重复出现的．而当把一个对象用集合来表示时，也必须以此为依据进行考虑．比如，方程的解集，若用列举法来表示，只能写成而不能写成．
　　2．准确把握各种不同的表示方法
　　集合的表示方法通常有列举法和描述法两种． 列举法是将给定集合的元素一一列出写在“{ }”中．用列举法表示集合时，首先要注意集合元素具有怎样的形式．例如，把方程组的解集写成或都是错误的．这是因为的元素是两个数，的元素是两个方程，而方程组的解是一个点，因此其解集应为．其次，用列举法表示由许多元素或无限多个元素组成的集合时，若元素间具有明显的规律性，则可在大括号内列举出部分元素，而其余的元素用省略号表示．用描述法表示集合时，注意不要把集合二字连同元素一起放在花括号内造成错误，如把“所有正方形组成的集合”写成{所有正方形组成的集合}，而应写为{正方形}．
　　对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法；对无限集合，一般采用描述法表示．
　　3．准确掌握元素与集合的关系（∈）及集合与集合的关系
　　集合相等是两个集合之间的一个重要关系．按照定义，对于两个集合A 和B，如果AB，同时BA，那么就说这两个集合相等，记作A=B．由此知，集合A 与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．

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