专题一：集合中的题型归类解析.doc

教学心得：理解概念，运用性质；掌握题型，举一反三。集合单元的精典题型集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.题型一：集合元素的性质例1. 已知集合，若，求a的值。分析：集合元素的确定性和互异性是集合的两个重要性质，是本单元一个重要考点，确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。解：根据集合元素的确定性，得：若a21， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性。若，得：。但时，不符合集合元素的互异性。若得：，都不符合集合元素的互异性。综上可得，a 0。【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。练习一、1. 集合，且，则有 （ ）A B C D 不属于P、Q、R中的任意一个2.已知集合 2，3,+4+2，B0,7,+4-2,2-，且AB=3,7,求值题型二：集合相等问题集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.例2，已知集合，若，求的值分析：要解决的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进行讨论：（1）若，消去，得当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故，即，此时中的三个元素又相同，此时无解.（2）若消去，得，即又，评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法 就是分类讨论的方法 ，要学会这种思维方法.练习二1.下列各集合中相等的两个集合是( )A=xy=2x+1,B= xx1,C=xy=x2+1,D=yy=x2+1,E=xy=2x+1,F=x,yy=2x+1。2设x、yR，A=3，x2+xy+y，B=1，x2 +xy+x-3，且A=B,求x、y的值。3.已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.题型三：证明、判断两集合的关系集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.例3设集合Z，集合Z，试判断集合、的关系。分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系解：任设，则Z，Z，Z.故.又任设，则Z.Z，Z.故.综上可知.评注：在说明，或的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理.练习三1设A=xx=2k+1，kZ,B=xx=4k1,kZ, 试判断集合、的关系。2设A=xx=2n，nZ,B=xx=2n-2,nZ,试问A、B是否相等？若相等请说明理由题型四：集合中的参数问题所谓集合中的参数问题，是指集合适合的条件中“适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此类问题要注意思维的严谨性.例4.已知集合，满足，则实数的取值范围为 . 解：(1)当时，得，满足.(2)当时，解得.综合(1)、(2)得的取值范围是.评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在中，含有这种可能，应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质.练习四1.已知集合M中只含有一个元素，求a的值。2已知集合，B=xxa ,且AB,求a的取值范围。举一反三、已知集合B=xxa且AB,求a的取值范围。已知集合B=xxa且AB,求a的取值范围。已知集合，B=xxa ,且AB,求a的取值范围。3已知集合，B=，若，且 求实数a，b的值。举一反三已知集合，B=，若，且AB=A求实数a，b的值。.?.?4设全集U=，A=，CA=，则= ，= 。5.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值。6.已知集合求实数p的范围。7. 已知，且A，B满足下列三个条件： ，求实数a的值。8.已知集合且BA，求a的值。题型五：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.例5.设全集，B=xx1 21。(1)求及；(2)求及.解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：AB=x1x；.(2) 1，或；.评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数轴的几何直观来帮助思考.练习五1.集合，求及2.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.3.设集合，则集合（ ） A B C D 题型六：开放型、定义新运算问题近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为所适合的条件，其中的代表元素“的任意性”和“所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.例6.设，定义与的差集为，且，则解：由所给的新定义：差集，且，得，从而.评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：. 例7.已知Z，Z，问是否存在实数，使得(1)，(2)同时成立.分析：假设存在使得(1)成立，得到与的关系后与联立，然后讨论联立的不等式组.解：假设存在实数，使得，同时成立，则集合Z与集合Z分别对应集合Z与Z，与对应的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组有解，即方程必有解.因此，又 由相加，得，即.将代入得，再将代入得，因此，将，代入方程得，解得Z.所以不存在实数，使得(1)，(2)同时成立.评注：对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出问题的结论.练习六1. 定义集合A与B的运算：ABx|xA，或xB，且xAB，已知集合A1，2，3，4，B3，4，5，6，7，则(AB)B为( )(A) 1，2，3，4，5，6，7 (B) 1，2，3，4 (C) 1，2 (D) 3，4，5，6，72. M，P是两非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM且xP，则M(MP)=（ ）(A) P (B) MP (C) MP (D) M3.设I1，2，3，4，A与B是I的子集，若AB1，3，则称（A、B）为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）( )A4B8C9D164.定义集合A，B的一种运算：A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B，若A1，2，3，B1，2，则A*B中的所有元素之和为( )(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 215.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM且xP已知A1，3，5，7，B2，3，5，则集合AB的子集个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46全集，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由。7.【试一试】【2012北京海淀区期末】若集合具有以下性质：，；若，则，且时，.则称集合是“好集”.（）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（）设集合是“好集”，求证：若，则；高三文科数学（集合） A组1（2007年高考广东文科卷）已知集合M=，N=，则 （ ）A B C D2（2008年高考广东文科卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合参加北京奥运会比赛的运动员，集合加北京奥运会比赛的男运动员，集合加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A.B. C. D. 3已知集合，且，则的值为（ ）A1B1 C1或1 D1或1或04（2009年高考广东文科卷）已知全集U=R，则正确表示集合M=1，0，1和N=关系的韦恩（Venn）图是（ ）5如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A、 B、 C、 D、 6已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的个数是 7已知全集U=，若A=，求实数的a ,b值答案(1)-(5) DBCDA(6)2 (7) 一、集合部分1准确理解集合元素的两个性质集合是一个原始的，不定义的概念，集合中的元素具有确定性和互异性确定性是对某一集合来说，任一对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素，二者必居其一；互异性是指集合中的元素互不相同在进行集合的交、并运算时，根据元素的互异性，同一个元素在集合中是不能重复出现的而当把一个对象用集合来表示时，也必须以此为依据进行考虑比如，方程的解集，若用列举法来表示，只能写成而不能写成2准确把握各种不同的表示方法集合的表示方法通常有列举法和描述法两种 列举法是将给定集合的元素一一列出写在“ ”中用列举法表示集合时，首先要注意集合元素具有怎样的形式例如，把方程组的解集写成或都是错误的这是因为的元素是两个数，的元素是两个方程，而方程组的解是一个点，因此其解集应为其次，用列举法表示由许多元素或无限多个元素组成的集合时，若元素间具有明显的规律性，则可在大括号内列举出部分元素，而其余的元素用省略号表示用描述法表示集合时，注意不要把集合二字连同元素一起放在花括号内造成错误，如把“所有正方形组成的集合”写成所有正方形组成的集合，而应写为正方形对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法；对无限集合，一般采用描述法表示 3准确掌握元素与集合的关系（）及集合与集合的关系集合相等是两个集合之间的一个重要关系按照定义，对于两个集合A 和B，如果AB，同时BA，那么就说这两个集合相等，记作A=B由此知，集合A 与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中8