极限运算法则两个重要极限.doc

吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 6
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限存在，则它只有一个极限。即若，，则
定理2 ： （有界性）若极限存在，则函数在的某一空心邻域内有界
定理3 ： （局部保号性）如果，并且（或），则在的某一空心邻域内，有（或） 。
推论 若在的某一空心邻域内有（或），且，则（或） 。
2．3．2极限的运算法则
定理1： 设,,则
(1) =
(2)
若.(常数),则
(3)
证明 因为,，利用2。2定理，它们可以分别写为:
=,
其中均为无穷小量，则有：
(1) +=A+B+[]
由2．2定理知 仍为无穷小量,所以+以A+B为极限.
即=.
容易证明：

例1 求
解 ＝15
例2 求
解 ＝
例3 求
解 因为＝0根据无穷大于无穷小的关系
所以有 ＝
注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4 求
解 ＝＝
例5
解 ＝＝
例 6 求
解 ＝
结论：
例7 求
解 ＝＝
小结： 1．极限运算法则
2．求极限方法
1）设为多项式，则。
2）、均为多项式，且，则

3）若，则
4）若 为“”型时，用因式分解找出“零因子”。
5）结论：
6）若有界，则
7）若为“”型时，一般是通分或有理化后再处理。

2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1 （夹逼定理）设函数在的某一邻域内满足

且有极限，则有
准则2 如果数列单调有界，则一定存在。
2．4．2两个重要极限

1．极限
例8 计算
解 ＝·=·=1
例9计算
解 ＝＝
＝
例10计算
解 ＝
结论：
例11计算
解 ＝
例12 求
解 ＝
例13 求
解 错误做法：＝1
正确做法：＝
2．极限
例14 计算
解 ＝
例15 计算
解 ＝

例16 计算
解＝＝＝
例 17计算
解 ＝＝
＝
例18计算
解 ＝
＝＝
例19
解 令
所以 ＝
小结：⒈
；＝1；＝
⒉；
＝1；＝1

作业P27——1（3） （6） ，P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）

讲述
我们先介绍极限的运算法则

证明从略。

以上性质只对的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。

设为多项式
当时，

因为为多项式，所以极限值等于在处的函数值
因为为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。

在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。

在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“”型，先设法
约去非零因子。

“”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。

先通分，再计算。

一般

证明略

例8、例9 结果可作
为公式使用。

可证得此结论。

和差化积公式
练习：

＝4

因为当时，

一般

＝e2

例18，例19视情况选讲