第讲计算行列式的若干基本方法.doc

个人收集整理 勿做商业用途Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.第1讲 计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式这一讲，我们将介绍一些常用的方法1 化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，的行列式的结果如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示将第i行（列）乘以非零的数c例1 计算行列式解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上(下）三角行列式来计算例2 计算n阶行列式解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同将第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 计算阶行列式其中解 这个行列式的每一行元素的形状都是,0，1，2，,n即按降幂排列，按升幂排列,且次数之和都是n，又因,若在第i行（1，2，,n）提出公因子,则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即2 降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算例4 计算n（n2)阶行列式解 按第一行展开，得再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到3 拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行(列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和例5 计算n（n2）阶行列式解 将按第一列拆成两个行列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3,，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子,则可得到当n3时,当时，例6 计算n阶行列式，（）解 将第一行的元素都表成两项的和，使变成两个行列式的和，即将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得： 这里是一个与有相同结构的阶行列式;将第二个行列式的第一行加到其余各行,得:于是有 （1）另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和：仿上可得: （2）将（1）式两边乘以，（2)式两边乘以，然后相减以消去，得：4 加边法在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式,建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果例7 计算n（n2)阶行列式,其中解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：显然,将的第一行乘以后加到其余各行，得因,将上面这个行列式第一列加第i(，）列的倍,得:故5 递推法递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式,本讲的例6也利用了递推关系式使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确例8 计算n阶行列式解 首先建立递推关系式按第一列展开，得：这里与有相同的结构，但阶数是的行列式现在,利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得:因，故最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时，显然成立设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确由可知，对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理,对任意的正整数n，结论成立例9 证明n阶行列式证明 按第一列展开，得其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式,记作；第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作这样，就有递推关系式：因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，,结论正确当时，结论正确设对的情形结论正确，往证时结论也正确由可知,对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立