第四章--随机变量的数字特征.doc

第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量,其分布律为P（)pk,k=1，2,n，（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量,其概率密度为f（x)，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g（X） Y=g（X）方差D(X)=EX-E(X）2,标准差, 矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即k=E(Xk)= ， k=1，2， .对于正整数k,称随机变量X与E(X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=, k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即k=E(Xk）= k=1，2， .对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=k=1,2， .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X）=，方差D(X)=2，则对于任意正数,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率的一种估计,它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C）=C（2） E（CX)=CE(X）（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E（X） E（Y）,充分条件：X和Y独立; 充要条件：X和Y不相关.（3)方差的性质（1） D(C）=0；E（C)=C（2） D(aX)=a2D（X）; E（aX）=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X）； E(aX+b)=aE(X）+b（4） D(X)=E（X2）-E2（X)（5） D(XY）=D(X)+D(Y)，充分条件:X和Y独立； 充要条件:X和Y不相关。 D（XY）=D(X)+D（Y） 2E(X-E（X)（YE(Y)）,无条件成立。而E（X+Y）=E(X）+E(Y)，无条件成立。（4)常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0（n2）(5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为,即与记号相对应，X与Y的方差D（X)与D(Y）也可分别记为与。相关系数对于随机变量X与Y，如果D(X）0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为)。1,当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关.以下五个命题是等价的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X）+D(Y）;D（XY)=D(X）+D(Y)。协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为;k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X， Y)=cov (Y, X）;(ii) cov（aX，bY）=ab cov(X，Y）；(iii) cov（X1+X2， Y)=cov(X1，Y)+cov(X2，Y)；(iv) cov（X,Y)=E(XY）-E（X）E（Y）。（7)独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立,则;反之不真。（ii） 若（X，Y)N（)，则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。