第四章--随机变量的数字特征.doc

第四章 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征

离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量,其分布律为P（)＝pk,k=1，2,…,n，

（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量,其概率密度为f（x)，

（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g（X）

Y=g（X）

方差
D(X)=E［X-E(X）］2,
标准差
,

矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即
νk=E(Xk)= ， k=1，2， ….
②对于正整数k,称随机变量X与E(X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=, k=1,2, ….
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即
νk=E(Xk）=
k=1，2， ….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=
k=1,2， ….
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E(X）=μ，方差D(X)=σ2，则对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。
（2）期望的性质
（1） E(C）=C
（2） E（CX)=CE(X）
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E（X） E（Y）,充分条件：X和Y独立;
充要条件：X和Y不相关.
（3)方差的性质
（1） D(C）=0；E（C)=C
（2） D(aX)=a2D（X）; E（aX）=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X）； E(aX+b)=aE(X）+b
（4） D(X)=E（X2）-E2（X)
（5） D(X±Y）=D(X)+D(Y)，充分条件:X和Y独立；
充要条件:X和Y不相关。
D（X±Y）=D(X)+D（Y） ±2E［(X-E（X))（Y—E(Y)）],无条件成立。
而E（X+Y）=E(X）+E(Y)，无条件成立。
（4)常见分布的期望和方差

期望
方差
0-1分布
p

二项分布
np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n
2n
t分布
0
（n>2）
(5）二维随机变量的数字特征
期望

函数的期望
＝

＝

方差

协方差
对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为,即

与记号相对应，X与Y的方差D（X)与D(Y）也可分别记为与。
相关系数
对于随机变量X与Y，如果D(X）〉0, D(Y)〉0，则称

为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为)。
｜｜≤1,当||=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
而当时，称X与Y不相关.
以下五个命题是等价的：
①；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X）+D(Y）;
⑤D（X—Y)=D(X）+D(Y)。
协方差矩阵

混合矩
对于随机变量X与Y，如果有存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为;k+l阶混合中心矩记为：

（6）协方差的性质
(i) cov (X， Y)=cov (Y, X）;
(ii) cov（aX，bY）=ab cov(X，Y）；
(iii) cov（X1+X2， Y)=cov(X1，Y)+cov(X2，Y)；
(iv) cov（X,Y)=E(XY）-E（X）E（Y）。
（7)独立和不相关
（i） 若随机变量X与Y相互独立,则;反之不真。
（ii） 若（X，Y)～N（)，
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。