5.角的平分线的性质(基础)知识讲解.doc

角的平分线的性质（基础）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1如图，ACB90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AECF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DEDC，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：BD平分ABC，DEAB,DCBFDEDC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）在ADE和FDC中ADEFDC(ASA)AECF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, ABC中, C 90, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 则DEB的周长为( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DCDE，DEB的周长BD DEBE BDDCBEACBEAEBEAB6.【总结升华】将DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.【答案】B；提示：AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又，则ABD与ACD的面积之比为3、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论【思路点拨】利用角平分线的性质证明PDPE，再根据“HL”定理证明OPDOPE，从而得到OPDOPE，DPFEPF再证明DPFEPF，得到结论.【答案与解析】解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，PDPE，由HL定理易证OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF与EPF中，DPFEPF，DFEF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求证：AF为BAC的平分线.【答案与解析】证明： CEAB,BDAC（已知） CDFBEF90 DFCBFE(对顶角相等) BFCF(已知) DFCEFB(AAS) DFEF(全等三角形对应边相等) FEAB，FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BECF求证：AD是ABC的角平分线.【答案】证明：DEAB，DFAC，RtBDE和RtCDF是直角三角形，RtBDERtCDF（HL），DEDF，DEAB，DFAC，AD是角平分线