5.角的平分线的性质(基础)知识讲解.doc

角的平分线的性质（基础）

【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】
类型一、角的平分线的性质

1．如图，∠ACB＝90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AE＝CF.

【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE＝DC，为证明三角形全等提供了条件.
【答案与解析】
证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF
　　　∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）
　　　在△ADE和△FDC中

　　　　∴△ADE≌△FDC(ASA)
　　　　∴AE＝CF
【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.
2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90°, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为( )
A. 4 B. 6 C.10 D. 以上都不对

【答案】B；
【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.
【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　 ）
A．3：2 B． C．2：3 D.

【答案】B；
提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．
3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．

【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.
【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.
类型二、角的平分线的判定

4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.

【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
　　　 ∴∠CDF＝∠BEF＝90°
　　　 ∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
　　　 ∵ BF＝CF(已知)
　　　 ∴△DFC≌△EFB(AAS)
　　　 ∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
　　　 ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
　　　 ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
　　　　即AF为∠BAC的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：AD是△ABC的角平分线.

【答案】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．