鸡兔同笼问题五种基本公式与例题讲解.doc

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-236）（4-2）=14（只）兔；36-14=22（只）鸡。解二 （436-100）（4-2）=22（只）鸡；36-22=14（只）兔。（答 略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（个）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=鸡数；（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解 （52+44）（4+2）+（52-44）（4-2）2=202=10（只）鸡（52+44）（4+2）-（52-44）（4-2）2=122=6（只）兔（答略）鸡兔同笼目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法 基本问题 特殊算法 习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数鸡的脚数）（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数 （94352）2=12(兔子数) 总头数（35）兔子数（12）=鸡数（23） 解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡：235=70（只） 鸡脚比总脚数少：9470=24 （只） 兔：24(4-2)=12 （只） 鸡：3512=23（只） 假设法（通俗） 假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚： 94-35=59（只） 然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：242=12（只） 鸡：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12 35-12=23(只） 或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。 2x+4(35-x)=942x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只） 答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94（x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有12只，鸡有23只4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94352=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有242=12只兔子，就有3512=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：242=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。 我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y 那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。7详细解法基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只 解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）. 在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数 122-88=34（只）， 有34只兔子.当然鸡就有54只。 答：有兔子34只,鸡54只。 上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了 884-244=108（只）. 每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡 (884-244)(4-2)= 54（只）. 说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）. 当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176（只），比244只脚少了 244-176=68（只）. 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚， 682=34（只）. 说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式 兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）. 上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。 假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设法. 现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。 例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？ 解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子有19只脚，它们共有16个头，280只脚。 现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式，就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11) =248 =3（支）. 红笔数=16-3=13（支）. 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想，脚数是 8(11+19)=240（支）。 比280少40. 40(19-11)=5（支）。 就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡(蓝铅笔）数是3. 308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔数为10,鸡数为6，就有脚数 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道设想6只鸡,要少3只。 要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子。 例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打306=5（份），乙每小时打3010=3（份）. 现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成鸡兔同笼问题了。 根据前面的公式 兔数=(30-37)(5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。 答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？ 解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14（岁）. 1998年，兄年龄是 14-4=10（岁）. 父年龄是 (25-14)4-4=40（岁）. 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15（岁）. 这是2003年。 答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍. 例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？ 解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成8条腿与6条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=(118-618)(8-6) =5（只）. 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式 蝉数=(132-20)(2-1)=6（只）. 因此蜻蜓数是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。 例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？ 解：对2道，3道，4道题的人共有 52-7-6=39（人）. 他们共做对 181-17-56=144（道）. 由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4，鸡脚数=2.5, 总脚数=144，总头数=39. 对4道题的有 (144-2.539)(4-2.5)=31（人）. 答：做对4道题的有31人。 以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。 解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。 4X+2（88-X）=244 上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2（88-X）就是鸡的脚数。 4X+288-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X2=682 X=34 即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。 答：兔子有34只，鸡有54只。习题一 1龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只 ？ 2学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？ 3一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个 ？ 4某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？ 5一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天 ？ 6摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的；有的是由一段上坡路(3千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？ 二、两数之差的问题 鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？ 解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30（张）， 这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。因此8分邮票有 40+30=70（张）. 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。 也可以用任意假设一个数的办法. 解二：譬如，假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是 420+860=560. 比680少，因此还要增加邮票。为了保持差是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10（张）. 因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）. 例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天， 工程要多少天才能完成 解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有 (150-83)(10+8)= 7（天）. 雨天是7+3=10天，总共 7+10=17（天）. 答：这项工程17天完成。 请注意，如果把雨天比晴天多3天去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是 (100+282)(2+1)=38（只）. 鸡是 100-38=62（只）. 答：鸡62只，兔38只。 当然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法。 解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是 450-250=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)(4+2)=12（只）. 兔只数是50-12=38（只）. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差. 例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？ 解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字）. 每首字数相差 74-54=8（字）. 因此，七言绝句有 280(28-20)=35（首）. 五言绝句有35+13=48（首）. 答：五言绝句48首，七言绝句35首。 解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了 460-280=180（字）.与题目中少20字相差180+20=200（字）. 说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有 10+25=35（首）.在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是 (680-840)(8+4)=30（张）. 例9，假设都是兔，鸡的只数是 (1004-28)(4+2)=62（只）.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (2013+20)(28-20)=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与鸡兔同笼公式比较，这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是 (400-379.6)(1+0.2)=17（只）. 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。请你想一想，这是鸡兔同笼同一类型的问题吗例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 解一：如果小明第一次测验24题全对，得524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是 86-2(15-6)=30（分）. 两次相差 120-30=90（分）. 比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）.(90-10)(6+10)=5（题）. 因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）. 第一次得分519-1(24- 19)=90. 第二次得分811-2(15-11)=80. 答：第一次得90分，第二次得80分。 解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分。比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此，第二次答错题数是 (69+10)(6+10)=4（题） 第一次答错9-4=5（题）. 第一次得分5(24-5)-15=90（分）. 第二次得分8(15-4)-24=80（分）. 习题二 1买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ？2甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？ 3一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？4某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？ 5甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。问甲，乙各中几发 ？ 6甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？ 三、从三到二 鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。 例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支 解：从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作 （0.604+2.7)5=1.02（元）. 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12（支）. 铅笔和圆珠笔共 232-12=220（支）. 其中圆珠笔 220(4+1)=44（支）. 铅笔 220-44=176（支）. 答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。 例14 商店出售大，中，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个 解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是 (1.52+13)(2+3)=1.2（元）. 从公式可算出，大球个数是 (120-1.255)(3-1.2)=30（个）. 买中，小球钱数各是 (120-303)2=15（元）. 可买10个中球，15个小球。 答：买大球30个，中球10个，小球15个. 例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把三转化成二了。 例15是为例16作准备. 例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少 解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离所用时间 去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟。来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)2=4.5千米。 例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米 解：把来回路程452=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程，根据例15，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6（小时）. 单程平路行走时间是62=3（小时）. 从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：45-53=30（千米）. 又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是： (67-30)(6-3)=4（小时）. 行走路程是34=12（千米）.下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是63=18（千米）. 答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。 做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题.例16是非常典型的例题。 例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题。那么，其中考25题的有多少次 解：如果每次都考16题，1624=384，比426少42道题. 每次考25道题，就要多25-16=9（道）. 每次考20道题，就要多20-16=4（道）. 就有 9考25题的次数+4考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由96=54比42大，考25题的次数，只能是0,2,4这三个数。由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）. 答：其中考25题有2次。例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位 解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车，110-1.230=74（元）. 还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.240=62（元）.还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了。30至40之间，只有35是5的整数倍.现在又可以转化成鸡兔同笼了： 总头数50-35=15, 总脚数110-1.235=68. 因此，乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 答：乘小巴前往的同学有11位。 在“三转化为二时，例13，例14，例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成二的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。 习题三 1有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成79个，然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币，硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱 ？ 2京剧公演共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每张30元，丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍。问其中甲票有多少张？ 3小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题 ？ 41分，2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。问三种硬币各多少枚？ 注：此题没有学过分数运算的同学可以不做. 5甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米。去时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千米？6某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的住8个学生，不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？ 测验题 1松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨？ 2有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才注满水池。现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟。问注满水池总共用了多少分钟 ？ 3某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？ 4小华从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟600，跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离少400米。问从家到学校多远？ 5有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生。其中带1个研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人 ？ 6某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元。问二等奖有多少名？ 7有一堆硬币，面值为1分，2分，5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？ 四、 答案 习题一 1龟75只，鹤25只。 2象棋9副，跳棋17副. 32分硬币92个，5分硬币23个。 应将总钱数2.99元分成24+5=13（份），其中2分钱数占24=8（份），5分钱数占5份。 42元与5元各20张，10元有10张. 2元与5元的张数之和是 (1050-240)10-(2+5)2=40（张）. 5甲先做了4天。 提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份. 6第一种路段有14段，第二种路段有11段。 第一种路段全长13千米，第二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25段，是标准的鸡兔同笼. 7最多可买1角邮票6张。 假设都买4分邮票，共用415=60（分），就多余100-60=40（分）.买一张1角邮票，可以认为4分换1角，要多6分。406=64，最多买6张.最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票。 习题二 1语文书1.74元，数学书1.30元。 设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是 (83.4-0.4430)(30+24). 2买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克。 甲茶数=(9612-354)(132+96)=3.5（千克） 3一连运了27天。 晴天数=(1