第二部分---专题二---第四讲---冲刺直击高考.doc

限时：60分钟　满分：72分
1．(满分12分)设f(x)＝cos 2x＋asin x－.
(1)用a表示f(x)的最大值M(a)．
(2)在(1)中的条件下，当M(a)＝2时，求a的值．
解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋asin x－，
即f(x)＝－sin2x＋asin x＋－，
所以f(x)＝－2＋－＋.
∵0≤x≤，∴0≤sin x≤1.
∴当≥1时即a≥2时，M(a)＝f＝－；
当0<<1即0<a<2时，M(a)＝－＋；
当≤0即a≤0时，M(a)＝f(0)＝－.
∴M(a)＝
(2)当M(a)＝2时，则当a≥2时，－＝2⇒a＝，
当0<a<2时，
－＋＝2⇒a＝3(舍)或a＝－2(舍)，
当a≤0时，－＝2⇒a＝－6.
∴a＝或a＝－6.

2．(满分12分)(2012·银川模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f＝，0<α<，求cos α的值．
解：(1)由图像知A＝1，
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)f＝，即sin＝，又0<α<，
则<α＋<，所以cos＝.
又cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
3．(满分12分)(2012·杭州模拟)把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)．
(1)求ω和φ的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g2(x)，x∈的最大值与最小值．
解：(1)f1(x)＝2cos→g(x)＝2cos.
由＝2π⇒ω＝2，
则g(x)＝2cos，又φ＋＝⇒φ＝.
(2)h(x)＝2cos－4sin2x
＝2×cos 2x－2×sin x－2(1－cos 2x)
＝3cos 2x－sin 2x－2
＝2－2
＝－2sin－2.
当x∈⇒2x∈⇒
2x－∈，
故h(x)max＝2－2，h(x)min＝－－2.
4．(满分12分)已知函数f(x)＝sin cos －sin2 .
(1)若函数g(x)＝f(x)－m在(－∞，＋∞)上无零点，求实数m的取值范围；
(2)设A，B，C是△ABC的三个内角，若f(A)＝f(B)且A≠B，求f(C)的值．
解：(1)f(x)＝sin x－＝(sin x＋cos x)－＝sin－.
g(x)＝f(x)－m在(－∞，＋∞)上无零点，
即y＝f(x)与y＝m的图像无交点．
因为f(x)＝sin－∈，
所以m∈∪.
(2)由f(A)＝f(B)得sin＝sin.
因为A，B是△ABC的三个内角，
所以A＋，B＋∈，而A≠B，
故有A＋＝π－，即A＋B＝，
从而C＝π－(A＋B)＝，
所以f(C)＝sin－＝sin－＝cos －＝0.
5．(满分12分)(2012·长沙模拟)已知A，B，C是锐角三角形ABC的三内角，设向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A，1＋sin A)，且p∥q.
(1)求A的大小；
(2)当函数y＝2sin2B＋cos 取最大值时，求B的大小．
解：(1)∵p与q是共线向量，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝2＋2sin A－2sin A－2sin2 A－sin2 A＋cos2A＝1＋2cos 2A＝0，∴cos 2A＝－.
又∵A∈，∴2A∈(0，π)，∴2A＝π，∴A＝.
(2)由(1)知C＝－B，
则y＝2sin2 B＋cos ＝1－cos 2B＋cos
＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.
又∵<B<，∴<2B－<，
则当2B－＝，即B＝时，y取最大值．故B＝.
6．(满分12分)如图所示，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10米，记∠BHE＝θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
(2)若sin θ＋cos θ＝，求此时管道的长度L；
(3)当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
解：(1)EH＝，FH＝，
EF＝＝.
由于BE＝10tan θ≤10，AF＝≤10，
所以≤tan θ≤，所以θ∈.
所以L＝＋＋，θ∈.
(2)当sin θ＋cos θ＝时，则sin θcos θ＝，
L＝＝20(＋1)(米)．
(3)L＝，设sin θ＋cos θ＝t，
则sin θcos θ＝，所以L＝.
∵θ∈，
∴t＝sin θ＋cos θ＝sin∈.
由于L＝在上单调递减，
所以当t＝即θ＝或θ＝时，
L取得最大值20(＋1)米．
答：当θ＝或θ＝时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20(＋1)米．