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第三节  万有引力定律  第四节  万有引力定律的理论成就

二. 知识要点：
理解万有引力的推理过程，理解万有引力定律的意义，知道应用条件。知道万有引力应用的理论意义，知道万有引力定律在天体运动、人类探索太空的中的重要意义及其成就。

三. 重难点解析：
1. 月一地检验
牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
a==2.74×10-3m／s2
一个物体在地面的重力加速度为g=9．8m／s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定律可以导出a∝（a∝，而=k，则a∝）。因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，a=g=2．74×10-3m／s2。
即其加速度近似等于月球的向心加速度的值。
月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1／3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律。
2. 万有引力定律
宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体之间的吸引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比。
公式：F=，其中G=6．67×10-11N·m2／kg2，称为万有引力恒量，而m1、m2分别为两个质点的质量，r为两质点间的距离。
使用条件：
① 严格地说，严格的说万有引力只是用于质点之间的作用。
② 两个质量分布均匀的球体，吸引力的计算也可以用上式。
③ 一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
④ 两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
对万有引力定律的理解
① 万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物质之间都存在着这种相互作用。
② 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
③ 万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。
④ 万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关。
发现万有引力定律的重大意义
它把地面上的运动和天体运动的规律统一起来，第一次揭示了自然界中一种基本的相互作用力，使人们树立了认识并支配宇宙自然规律的信心，解放了思想。
3. 引力常量
英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出了引力常量G；用实验证明了万有引力定律，使万有引力定律具有更广泛的实用价值。
4. 物体在赤道上失重的四个重要规律
地球在不停地自转，除两极之外，地球上的物体由于绕地轴做匀速圆周运动，都处于失重状态，且赤道上的物体失重最多，设地球为匀质球体，半径为R，表面的引力加速度为g0≈g，并不随地球自转变化。
（1）物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随同地球自转所需的向心力之差。
FN=mg—mω2R<mg。
（2）物体在赤道上的失重等于物体绕地轴转动所需的向心力。
F=FN0一FN=mg—FN= mω2R。
（3）物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即FN=0，有
FN=mg—mR，
则mg=ma0= mR==m
所以，完全失重的临界条件为
a0=g=9.8m／s2，ω0=≈rad／s，
v0==7.9km／s，
T0=≈5024s=84min
上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。
（4）地球不因自转而瓦解的最小密度
地球以T=24h的周期自转，不发生瓦解的条件是，赤道上的物体受到的万有引力大于或者等于该物体做圆周运动所需要的向心力。即
ρ≥=18.9kg/m3
即最小密度为ρmin=18.9kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5523 kg/m3＞＞ρmin，足以保证地球处于稳定状态。
5. 重力加速度的基本计算方法
（1） 在地球表面附近的重力加速度g
方法一：根据万有引力定律，有
mg=，g=G=9.8m/s2
式中M=5.89×1024 kg，R=6.37×106 m
方法二：利用与地球平均密度的关系，得
g=G==GπρR
（2）在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g根据万有引力定律，得
= G∝，==，
则 = g。 
（3）在质量为，半径为的任意天体表面上的重力加速度为
根据万有引力定律，有
= G∝，=
则  =g
上述中M均为地球的质量，g均为地球表面的重力加速度。
6. 天体质量计算的几种方法
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律。行星（或卫星）的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星（或行星对其卫星）的万有引力提供向心力。
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即=m月r，可求得地球质量
M地=
（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
=，
解得地球的质量为 M=
（3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得  
=   
=
以上两式消去r，解得M地=
（4）若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg=
解得地球质量为  M地=
7. 天体密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度。
由mg=得  M=  ρ=
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。
（2）利用天体的卫星来求天体的密度。
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
=mr，
M=，得
ρ===
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径尺，则天体密度为
ρ=
8. 解决天体运动问题的基本思路
对一个天体的物理特性进行测量的方法主要有两种：直接测量和间接测量。而直接测量往往非常困难，无法测出结果，所以间接测量就成为一种非常有用的方法，但间接测量需要科学的方法和科学理论作为依据。如测量物体运动的加速度，可根据牛顿第二定律，测出物体受的力和物体的质量求出加速度a=；也可根据物体的运动规律，测出物体的位移和运动时间求加速度等。
所以，对物体的某一特性进行测量时，选择恰当的理论和方法非常重要。
为了解决“称量”天体的质量等问题，可找出与质量相关的物理现象，运用科学的理论进行分析、论证。万有引力定律就是“一台”称量天体质量的最好“天平”。
（1） 将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动都看作匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系
=ma向=m=mrω2=mωv=mr。
若已知环绕中心天体运动的行星（或卫星）绕恒星（或行星）做匀速圆周运动的周期为1，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：
= mr得恒星或行星的质量M=。
此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。
（2）若已知星球表面的重力加速度g’和星球半径，忽略自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有=mg’，所以M=。
其中=，是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为黄金替换。

【典型例题】
[例1]  设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上．假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（    ）
A. 地球与月球间的万有引力将变大
B. 地球与月球间的万有引力将变小
C. 月球绕地球运动的周期将变长
D. 月球绕地球运动的周期将变短
解析：设开始时地球的质量为m1，月球的质量为m2，两星球之间的万有引力为F0，开矿后地球的质量增加Δm，月球质量相应减少Δm，它们之间的万有引力变为F，根据万有引力公式，则F0=，
F=
=—
上式中因m1>m2，后一项必大于零，由此可知F0>F，故B选项正确。
不论是开矿前还是开矿后，月球绕地球做圆周运动的向心力都由万有引力提供，故在开矿前=。
又T0=，∴月球绕地球运动的周期T0=2πr
同理得出开矿后月球绕地球运动的周期为T=2πr，因△m>0'故T0>T。所以D选项正确。
答案：B、D

[例2]  宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为怕￡。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。
解析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2+h2=L2    ①
同理对于第二次平抛过程有
（2x）2+h2=（L）2    ②
由①②解得    h=
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得：
h=③
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
mg=    ④
由以上各式可解得：    M=

[例3]  月球半径是地球半径的，在地球和月球表面分别用长度相同的细线拴住一个小球，使之在竖直平面内作圆周运动，已知小球通过圆周的最高点的临界速度，在地球上是v1,在月球上是v2，求地球与月球的平均密度之比（    ）
解析：小球在竖直平面内作圆周运动，设半径为r，能通过圆周最高点的临界状态是重力恰能提供小球所需的向心力，即mg=m，临界速度为v=，由于细线长度相同，则r相同，故地球和月球表面上的重力加速度之比为g1：g2=v：v，又根据g=G、体积V=、密度ρ=等，可得地球和月球的平均密度之比：
===
点评：密度等于质量与体积的比值，但质量不知，只能由mg=,得到M=gR 2/G

[例4]  1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步．在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧秤测出质量为m的仪器的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近飞行一周，记下时间为T。试回答：只利用这些数据，能否估算出月球的质量?为什么?
解析：设月球的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，根据万有引力定律，有
F=mg=
根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有
an=g==  
则月球的质量可以表示为
M=
所以，在已知引力常量G的条件下，才能利用上式估算出月球的质量。
点评：天体质量的计算有多种方法，一定要理解在不同条件下用不同的方法，千万别乱套公式。

[例5] 1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶尔发现一个奇怪的放射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲讯号。贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头，后来大家认识到，事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。
（1）已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331 s，PS0531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度。
（2）如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少?（太阳质量是M=2 ×1030 kg）
解析：脉冲星周期即为自转周期．脉冲星高速自转不瓦解的临界条件为：该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力。
（1）设 PS0531。脉冲星的质量为M，半径为R，最小密度为ρ，体积为V   则
=m，
又    ρ=，
而    V=，
解得    ρ==kg／m3
≈1.3×1012 kg／m3
（2）由    V==，
R==m≈7.16×1015 m

【模拟试题】
1. 两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径2倍于小铁球的实心均匀大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（    ）
A. 2F    B. 4F    C. 8F    D. 16F
2. 地核的体积约为整个地球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％，经估算，地核的平均密度为kg／m3。 （地球的半径R=6.4×106 m，万有引力常量G=6.7×10-11N·m2／kg2，结果取两位有效数字）（2000·春季京、皖高考试题）
3. 某星球“一天”的时间是T=6h，用弹簧秤在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时，读数小l0％，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时?
4. 地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a=3.37×10-2m/s2，赤道上的重力加速度g=9.77m/s2，试问：（1）质量为m，的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大? （2）要使在赤道上的物体由于地球的自转完全失去重力（完全失重），地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍?
5. 某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以a=g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，卫星距地球表面有多远?（地球半径R地=6.4×103 km，g=10m/s2）
6. 要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些组（    ）
A. 已知地球半径R
    B. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
    C. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
    D. 地球公转的周期及运转半径
7. 地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×l011m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多少?
8. 21世纪，我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量?如果能，需要何种常用器材?
9. 已知地球半径约为6.4×l06 m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为     m。（结果只保留一位有效数字）
10. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，两者相距为L。求：
（1）双星的轨道半径之比；
    （2）双星的线速度之比；
    （3）双星的角速度。  

【试题答案】
1. D 
2. 解析：设地球质量、体积、密度分别为M、V、ρ；地核的则分别为M’、V’、ρ’。由密度定义可知：
===
设地球表面上一物体的质量为m，则
mg=，M=，V=
ρ===
=kg/m3
≈5.5×l03 kg/m3
==×5.5×103 kg/m3
=1.2×104 kg/m3
3. 解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2，在“赤道”处：
一G1=mω2R    ①
在“两极”处：    =G2   ②
依题意得    l一×l00％=l0％    ③
设该星球自转的角速度增加到ω赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则
    =mR，    ④
又    ωx=2π／Tx，ω=2π／T     ⑤
联立方程①②③④⑤解得：
Tx==1.9h
4. 解析：在赤道上，F万=mg+F向 =mg+ma=9.8037m
要使赤道上的物体由于地球自转而完全失去重力即漂浮起来，则有
F万==mωR，
ω0==
ω0为漂浮时地球自转角速度，R为地球半径
正常情况即实际角速度为ω，则
mω2R=ma
ω==，
∴  ==≈17
5. 解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面为h，这时受到地球的万有引力为    F=
在地球表面    =mg，    ①
    在上升至离地面h时，
    FN—=ma    ②
由①②式得 =，
h=    ③
将m=16kg，FN=90N，a=g=5m/s2，R地=6.4×103 km，代入③得
h=1.92×104 km
6. A B C
7. 1.96×1030kg
8. 解析：根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力，有=mg，可知M=gR2／G。
只要测出该星球表面的重力加速度，即可测出星球的质量。
解法一：在星球表面用天平称量某物体A的质量m，再用弹簧秤悬吊物体A处于平衡状态，读出弹簧秤的示数F，则有F=mg，即g=。
所以，该星球的质量为    M=
解法二：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量落下的高度h，用秒表测量落下的时间t．则有
h=gt2，即g=
所以，该星球的质量为    M=
解法三：在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出时的初速率相等，用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间t0，再用卷尺测出平抛的水平射程s和下落高度h，即可求出g值。
由平抛运动知识s=v0t，h=gt2，
消去t，得    g=    ①
由竖直上抛知识    v0=g·，    ②
将②代入①消去v0，得    g=，
所以，该星球的质量  M=
9. 解析：由地球表面物体的重力近似等于万有引力，即mg=，整理得
GM=R2g
由月球绕地球做圆周运动的向心力为地球对它的万有引力，有
=m月
整理得  r==
代入数据，地球表面的重力加速度g=9.8m／s2，月球的运动周期
T=30d=30×24×3600s
得    r=4×108m
10. 解析：这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不致于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两天体间距离L不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示，二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有
    =m1ω2R1
=m2ω2R2
（1）由①②两式相除，得
（2）因为，所以
（3）由几何关系知：R1+R2=L，③
联立①、②、③式解得