专题5圆中综合性压轴题.doc

专题五 圆压轴题
一、核心讲练
1.五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
(1)如图1，求∠EBD的度数；
(2)如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

2.已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2)．
(1)问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

3.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，-)，点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
(1)求⊙M的半径；
(2)求证：BD平分∠ABO；
(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

二、满分突破
1.如图，已知△BAC，AB=AC，O为△ABC外心，D为⊙O上一点，BD与AC的交点为E，且BC2=AC•CE
①求证：CD=CB；
②若∠A=30°，且⊙O的半径为3+，I为△BCD内心，求OI的长．

2.已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AD⊥BC于点D，点E为DA延长线上一点，连接BE，交⊙O于点F，连接CF，交AB、AD于M、N两点．
(1)若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；
(2)若AN=，DN=，求DE的长；
(3)若在(1)的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求直径BC的长．

专题五 课堂小测

1.a(a≠0)的相反数是(　　)
　 A.-a B.a2 C.|a| D.
2.下列图形中，是中心对称图形的是(　　)

A B C D
3.下列运算正确的是(　　)
　 A.5ab-ab=4 B.= C.a6÷a2=a4 D. (a2b)3=a5b3
4.计算，结果是(　　)
　 A.x﹣2 B. x+2 C. D.
5.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩(单位：分)分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是(　　)
A.中位数是8 B.众数是9 C.平均数是8 D.极差是7
6.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=(　　)
A. B.2 C. D.2
7.已知正比例函数y=kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.y1+y2＞0 B. y1+y2＜0 C. y1-y2＞0 D. y1-y2＜0
8.如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b(a＞b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④(a-b)2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是(　　)
A.4个 B. 3个 C.2个 D.1个
9.△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是　 ．
10.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为　 　．
11.代数式有意义时，x应满足的条件为　 　．　
12.一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　 　．(结果保留π)
13.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题　 　，该逆命题是　 　命题(填“真”或“假”)．
14. 如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= .
3

15. 如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为 .
16.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1(x2+x1)+x22的最小值为　 　．

参考答案
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一、核心讲练
1. (1)如图1，连接BF，∵DE与⊙B相切于点F，∴BF⊥DE，∴Rt△BAE≌Rt△BEF，∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EBD=45°；
(2)如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，∵∠4=15°，由(1)知，∠3=∠4=15°，∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，∴AE=，BE=，∴△ABE≌△PBC，∴PB=BE=，
∴PF=-1，∵∠P=60°，∴DF=2-，∴CD=DF=2-，∵∠EAG=∠DCH=45°，∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，∴，∴AG•CH=CD•AE，∴AG•CH=CD•AE=(2-)•=．

2. (1)存在．∵O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m﹣5，2)．∴OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，∴EG=1.5，∴E(1，2)，F(4，2)，∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；
(2)如图2，∵BC=OA=5，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB=180°，
∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ=∠AOC，∠OAQ=∠OAB，∴∠AOQ+∠OAQ=90°，∴∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，∴点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，∴CF=OC，BF=AB，而OC=AB，∴CF=BF，即F是BC的中点．而F点为(4，2)，∴此时m的值为6.5，当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5．

3. (1) ；(2)∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；
(3)如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，∠OAB=30°，∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=，
∴AC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，
∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA-AF=，∴点E的坐标为：(，)．
二、满分突破
1.①∵BC2=AC•CE，又∵AB=AC，∴∠BCE=∠ABC，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A，∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；
②连接OB、OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC，BF=BC，所以，BD=2BF=2×BC=BC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCD=BD•CF=(BD+CD+BC)•r，即•BC•BC=(BC+BC+BC)•r，解得r=BC，即IF=BC，所以，CI=CF-IF=BC-BC=(2-)BC，OI=OC-CI=BC-(2-)BC=(-1)BC，∵⊙O的半径为3+，∴BC=3+，∴OI=(-1)(3+)=3+3-3-=2．
2. (1)△=(-2m)2-4(n2-mn+m2)=-(m-2n)2≥0，∴(m﹣2n)2≤0，∴m-2n=0，∴△=0∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0有两个相等实根，∴AM=AN．
(2)∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴∠DAC=∠DBA，∴△ADC∽△BDA，∴，∴AD2=BD•DC，∵CF⊥BE，∴∠FCB+∠EBD=90°，∵∠E+∠EBD=90°，∴∠E=∠FCB，∵∠NDC=∠EDB=90°，∴△EBD∽△CND，∴，∴BD•DC=ED•DN，∴AD2=ED•DN，∵AN=，DN=，∴AD=DN+AN=3，∴32=DE，∴DE=8．
(3)由(1)知AM=AN，∴∠AMN=∠ANM∵∠ACM+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠FBM，由(2)可知∠E=∠FCB，∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE，过点M作MG⊥AN于点G由MG∥BD得，∴===，∴=，∴==，过点A作AH⊥EF于点H，由AH∥FN，得==，设EH=8a，则FH=3a，∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，∴BF=5a，EF=11a，由根与系数关系得，，解得：a=±，∵a＞0，a=，∴BF=，由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，∴=，设AC=3b，则BC=5b，在Rt△ABC中，有AB=4b．∴AM=b．在Rt△ACM中，有MC=b，由△ACM∽△FCB，得=，∴BC=5．
课堂小测
1.A；2. D；3. C；4. B；5. B；6. A；7. C；8. B；9.140°；10. 10；11. x≠±1；12. 24π；13.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，假；14.33；15.；16.；