第2节滑轮习题课(有答案和分析).doc

第2节 滑轮习题课
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1．使用如图所示的装置提升同一个物体，（不计滑轮重和摩擦）最省力的装置是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示的各种情况中，用同样大小的力F将重物匀速提升，若不计摩擦及绳与滑轮的重力，物重最大的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，物体重20N，在F=4N的拉力作用下，物体能做匀速直线运动，则物体受地面摩擦力的大小为（　　）
A．24N B．20N C．8N D．4N
4．如图所示，利用轻质滑轮组匀速拉动水平地面上重为200N的物体，拉力F的大小为30N．若不计绳子与滑轮组之间的摩擦，则物体和地面之间的摩擦力大小为（　　）
A．30N B．45N C．60N D．300N
5．如图所示，分别用力F1、F2、F3匀速提起物体A，不考虑摩擦，三个力的大小关系是（　　）
A．F1＜F2＜F3 B．F1=F2=F3 C．F1＞F2＞F3 D．F2＞F1=F3
6．学校旗杆顶装有定滑轮，这样做（　　）
A．既省力，也改变施力的方向
B．省力，但不改变施力的方向
C．既不省力，也不改变施力的方向
D．不省力，但改变施力的方向
7．用如图所示的装置来提升物体，既能省力又能改变施力方向的装置是（　　）
A． B． C． D．
8．用动滑轮提升物体，如图所示，货物G重200牛，被匀速提升2米，在此过程中，若不计滑轮重力及其他摩擦。求：（1）绳子自由端上升的距离：（2）拉力做的功

9．如图所示，将重物匀速提高3m，若物体质量为60kg，动滑轮重、绳重及滑轮之间的摩擦不计（g取10N/kg），求：（1）绳自由端移动的距离。（2）拉力F的大小。

10．如图所示，用20N的拉力拉动一重为50N的物体匀速上升，现用同样的滑轮组拉动重为200N的物体上升0.1m（g取10N/kg，不计绳重及滑轮之间的摩擦），求：（1）G动（2）（2）拉动重为200N的物体时绳子自由端拉力的大小的大小（3）绳自由端移动的距离。

11．图示的装置中，某人将质量为50千克的货物匀速提升2米，求：①手对绳的拉力F。②绳拉重物所做的功W

12．如图所示，重为100牛的物体在水平方向上以0.5米/秒的速度做匀速直线运动，若物体所受的摩擦力f为20牛，（不计绳与滑轮的摩擦及动滑轮重），求：（1）作用在滑轮上的水平拉力F；（2）拉力F在10秒内做的功。

13．如图所示，使用滑轮组将一质量为60kg的重物提起，求：（1）重物的重力是多少？（g取10N/kg）（2）拉力F的大小是多少？（若不记滑轮重和摩擦力）

14．如图所示的滑轮组，绳重及摩擦不计。若绳子自由端的拉力F是200N，平均每个动滑轮重40N，则货物重G是多少？物体升高1m，绳子自由端拉上多少米？

15．工人利用如图所示的滑轮在10s内将重450N的物体向上匀速提起2m，所用拉力为250N；求：（1）绳子自由端移动的速度为多少？（2）若用此滑轮组将重900N的物体竖直向上匀速提升，不计绳重和摩擦力，拉力应为多大？

16．某人利用图所示的滑轮组，用力在20s内将重为480N的物体匀速提高2m，若不计摩擦和机械重，求：（1）拉力大小；（2）20s内绳子自由端移动的距离和速度。

17．如图所示，用滑轮组把重为80N的物体匀速提起，试计算：
（1）若不计绳重、动滑轮重和摩擦的情况下，拉力F的大小多少牛？
（2）若不计绳重和摩擦的情况下，动滑轮重为10N，拉力F的大小多少牛？
（3）若拉力为50N，匀速将物体提高4m，则动滑轮重多少牛？绳的自由端移动了多少米？

18．如图所示的滑轮组，不计拉线质量及滑轮转动摩擦。重物G=100N，每一个滑轮重20N，当绳自由端拉力F竖直向上大小为30N时，求：
（1）重物G对地面的压力为多少？
（2）当拉力F为多大时，恰能让重物G匀速上升？
（3）若重物G能以0.1m/s的速度匀速上升，则绳自由端向上运动速度为多少？

19．某人利用如图所示的滑轮组，用200N的拉力在20s内将重为G=480N的物体匀速 提高h=2m，若不计摩擦和绳重。求：
（1）动滑轮的重力。
（2）绳子自由端移动的速度。
（3）若再增加180N的重物，要使物体匀速上升，作用在绳子自由端的拉力为多大？

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）
1．使用如图所示的装置提升同一个物体，（不计滑轮重和摩擦）最省力的装置是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据滑轮组绳子拉力的计算，由定滑轮的特点和动滑轮的特点对各个选项注意分析即可。
【解答】解：
在不计滑轮重和摩擦的情况下：
A、此图是定滑轮，由定滑轮的特点可知，不省力，即F=G；
B、此图是动滑轮，由动滑轮的特点可知，省一半的力，即F=G；
C、此图是滑轮组，绕在动滑轮上的绳子有2股，则F=G；
D、此图是滑轮组，绕在动滑轮上的绳子有3股，则F=G。
由以上可知：在滑轮重及摩擦不计的情况下最省力的是D。
故选：D。
【点评】此题主要考查滑轮组绳子拉力的计算，定滑轮及其工作特点和动滑轮及其工作特点等知识点，综合性强，难易程度适中，是一道很典型的题目。

2．如图所示的各种情况中，用同样大小的力F将重物匀速提升，若不计摩擦及绳与滑轮的重力，物重最大的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】定滑轮的特点是能够改变力的方向，但是不能省力；动滑轮的特点是能够省一半的力，但是费距离。
根据图所示滑轮的各种情况的使用，逐个判断，最后比较即可得知。
【解答】解：因为定滑轮的实质是动力臂等于阻力臂的杠杆，所以使用定滑轮不能省力，好处是能够改变力的方向；因为动滑轮的实质是动力臂为阻力臂二倍的杠杆，使用动滑轮的好处是能够省一半的力；
如图中所示：设将重物匀速提升的力为F，若不计摩擦和滑轮重，
在A中，拉力是物体重力的一半，即：F=，所以，GA=2F，
在B中，拉力等于物体重力，F=GB，
在C中，拉力等于物体重力的 ，即：F=，所以，GC=3F，
在D中，拉力是物体重力的一半，即：F=，所以，GD=2F，
所以物体重力最大的是C。
故选：C。
【点评】本题考查动滑轮、定滑轮、滑轮组的工作特点和拉力的计算，关键是会分析动滑轮上的绳子段数和动滑轮、定滑轮的工作特点。

3．如图所示，物体重20N，在F=4N的拉力作用下，物体能做匀速直线运动，则物体受地面摩擦力的大小为（　　）

A．24N B．20N C．8N D．4N
【分析】当滑轮组水平使用时，克服的就不是物体的重力，而是物体受到的摩擦力。从图中可以看出，有2段绳子在拉重物，利用滑轮组的省力公式F=f变形公式f=nF就可以求出摩擦力的大小。
【解答】解：
由图可见，与动滑轮相连的绳子段数是2，本题中滑轮组克服摩擦力做功，
根据滑轮组省力公式F=f变形公式得：f=2F=2×4N=8N。
故选：C。
【点评】本题考查使用滑轮组拉力的计算，解题的关键是知道水平使用滑轮组时，目的是克服摩擦力做功。

4．如图所示，利用轻质滑轮组匀速拉动水平地面上重为200N的物体，拉力F的大小为30N．若不计绳子与滑轮组之间的摩擦，则物体和地面之间的摩擦力大小为（　　）

A．30N B．45N C．60N D．300N
【分析】首先确定滑轮组由2段绳子与动滑轮相连，n=2，由于不计绳和滑轮的重力以及滑轮轴承和滑轮与绳子之间的摩擦力，则F=f，据此物物体受到的摩擦力。
【解答】解：
如图所示，由2段绳子与动滑轮相连，n=2，则F=f，
因为物体在水平地面上做匀速运动，所以地面对物体的摩擦力：f=2F=2×30N=60N，故C正确。
故选：C。
【点评】本题考查了使用滑轮组拉力的计算，确定n的大小（直接从动滑轮上引出的绳子股数）是本题的关键。

5．如图所示，分别用力F1、F2、F3匀速提起物体A，不考虑摩擦，三个力的大小关系是（　　）

A．F1＜F2＜F3 B．F1=F2=F3 C．F1＞F2＞F3 D．F2＞F1=F3
【分析】定滑轮的特点不省力、但能改变力的方向，定滑轮实质是一个等臂杠杆。
【解答】解：因为定滑轮相当于一等臂杠杆，只能改变力的方向，而不省力，故定滑轮拉同一重物G，沿三个不同方向，用的拉力大小相等，
即F1、F2、F3都等于物体的重力。故B符合题意。
故选：B。
【点评】本题主要考查学生对定滑轮工作特点的了解和掌握，知道定滑轮的特点：不省力但可以改变力的方向。

6．学校旗杆顶装有定滑轮，这样做（　　）
A．既省力，也改变施力的方向
B．省力，但不改变施力的方向
C．既不省力，也不改变施力的方向
D．不省力，但改变施力的方向
【分析】掌握定滑轮的实质及省力特点：实质是一个等臂杠杆，所以不省力，但可以改变用力方向。
【解答】解：定滑轮实质是一个等臂杠杆，既不省力也不费力，但能改变力的方向。
故选：D。
【点评】滑轮实质上是能够连续转动的杠杆，对于定滑轮是一个等臂杠杆，故不省力，但能改变力的方向。

7．用如图所示的装置来提升物体，既能省力又能改变施力方向的装置是（　　）
A． B． C． D．
【分析】（1）使用定滑轮不能省力，但能改变力的方向；使用动滑轮能省力，不能改变力的方向；
（2）单独使用定滑轮或动滑轮都不能既省力、也不能改变力的方向，而滑轮组是动滑轮、定滑轮的组合，可以省力，也可能改变力的方向。
【解答】解：
A、是定滑轮，只能改变力的方向，不能省力，故该选项不符合题意；
B、是动滑轮，只能省力，不能改变力的方向，故该选项不符合题意；
C、是滑轮组，与动滑轮相连的有2段绳子，动力的方向向下，可以省力，可以改变力的方向，故该选项符合题意；
D、是滑轮组，与动滑轮相连的有3段绳子，动力的方向向上，可以省力，不可以改变力的方向，故该选项不符合题意；
故选：C。
【点评】本题考查滑轮组的工作时可以达到既能省力又能改变力的方向的特点，属于基础知识的考查。

二．计算题（共12小题）
8．用动滑轮提升物体，如图所示，货物G重200牛，被匀速提升2米，在此过程中，若不计滑轮重力及其他摩擦。
求：（1）绳子自由端上升的距离：
（2）拉力做的功

【分析】（1）根据s=nh求出绳端移动的距离，
（2）根据W=Fs求出拉力所做的功。
【解答】解：（1）动滑轮绳子的有效股数为2，绳端移动的距离：
s=nh=2×2m=4m，
（2）动滑轮绳子的有效股数为2，不计滑轮和绳的重力及其他摩擦，
则拉力F的大小：
F=G=×200N=100N；
拉力所做的功：
W=Fs=100N×4m=400J。
故答案为：（1）绳子自由端上升的距离4m；
（2）拉力做的功为400J。
【点评】本题考查了动滑轮绳子拉力、功的计算，是一道较为简单的计算题。

9．如图所示，将重物匀速提高3m，若物体质量为60kg，动滑轮重、绳重及滑轮之间的摩擦不计
（g取10N/kg），求：
（1）绳自由端移动的距离。
（2）拉力F的大小。

【分析】首先判断出滑轮组承担总重绳子的段数，根据s=nh计算出绳子自由端移动的距离；
根据G=mg计算出物体的重力；
动滑轮重、绳重及滑轮之间的摩擦不计，根据F=G计算出绳子的拉力大小。
【解答】解：
（1）由图知，有三段绳子承担总重，即n=3，
则绳自由端移动的距离为：s=3h=3×3m=9m；
（2）物体的重力：G=mg=60kg×10N/kg=600N；
动滑轮重、绳重及滑轮之间的摩擦不计，则拉力为：
F=G=×600N=200N。
答：（1）绳自由端移动的距离是9m；
（2）拉力F的大小是200N。
【点评】本题考查了滑轮组承担总重绳子段数的判断、拉力的计算，以及重力公式的应用，属于常见题。

10．如图所示，用20N的拉力拉动一重为50N的物体匀速上升，现用同样的滑轮组拉动重为200N的物体上升0.1m（g取10N/kg，不计绳重及滑轮之间的摩擦），求：
（1）G动
（2）拉力F的大小
（3）绳自由端移动的距离。

【分析】（1）由图知通过动滑轮绳子的段数n，不计绳重及滑轮之间的摩擦，由F=（G+G轮）计算动滑轮的重力；
（2）由F=（G+G轮）计算拉动重为200N的物体时拉力F的大小；
（3）由s=nh计算绳自由端移动的距离。
【解答】解：
（1）由图知通过动滑轮绳子的段数n=3，
不计绳重及滑轮之间的摩擦，由F=（G+G轮）可得
动滑轮的重力：G轮=3F﹣G=3×20N﹣50N=10N；
（2）拉动重为200N的物体时绳子自由端拉力：
F′=（G′+G轮）=×（200N+10N）=70N；
（3）绳自由端移动的距离：
s=3h=3×0.1m=0.3m。
答：（1）动滑轮重G动=10N；
（2）拉力F的大小为70N；
（3）绳自由端移动的距离为0.3m。
【点评】本题考查了滑轮组中动滑轮重、绳子自由端拉力以及绳子自由端通过距离的计算，正确找到通过动滑轮绳子段数和用好不计摩擦和绳重，拉力F=（G+G轮）是解题的关键。

11．图示的装置中，某人将质量为50千克的货物匀速提升2米，求：
①手对绳的拉力F。
②绳拉重物所做的功W

【分析】（1）使用定滑轮不能省力；
（2）根据公式W=Gh求绳拉重物所做的功。
【解答】解：（1）由图可知，该装置为定滑轮，此时的拉力等于物体的重力，则F=G=mg=50kg×9.8N/kg=490N；
（2）绳拉重物所做的功W=Gh=490N×2m=980J；
答：①手对绳的拉力F为490N；②绳拉重物所做的功为980J。
【点评】本题考查定滑轮的特点及功计算，关键是定滑轮特点的运用，难度不大，属于简单的计算题。

12．如图所示，重为100牛的物体在水平方向上以0.5米/秒的速度做匀速直线运动，若物体所受的摩擦力f为20牛，（不计绳与滑轮的摩擦及动滑轮重），求：
（1）作用在滑轮上的水平拉力F；
（2）拉力F在10秒内做的功。

【分析】根据二力平衡的条件可知，动滑轮对物体A的拉力等于水平面对物体A的摩擦力，然后可以根据动滑轮的省力特点计算出拉力F的大小，然后利用W=FS，即可求出拉力对物体做的功。
【解答】解：（1）物体A在水平面做匀速直线运动，则动滑轮对物体A的拉力F拉与摩擦力f是一对平衡力，
所以，F拉=f=20N，则物体A对动滑轮的拉力大小为　F′=20N；
根据动滑轮的特点可得绳端拉力F为：F=F′=×20N=10N；
（2）如图使用动滑轮拉动物体，用一半的力，绳子自由端移动二倍的距离。
所以弹簧测力计移动的速度：v=2vA=2×0.5m/s=1m/s，
10s拉力端点移动的距离：s=vt=1m/s×10s=10m，
拉力做功：
W=Fs=10N×10m=100J。
答：（1）作用在滑轮上的水平拉力F为10N；
（2）拉力F在10秒内做的功为100J。
【点评】用如图动滑轮拉动物体时，绳子自由端移动的距离是物体移动距离的2倍，移动速度是物体移动速度的2倍，用力是对物体拉力的二分之一。

13．如图所示，使用滑轮组将一质量为60kg的重物提起，求：
（1）重物的重力是多少？（g取10N/kg）
（2）拉力F的大小是多少？（若不记滑轮重和摩擦力）

【分析】（1）由G=mg计算重物的重力；
（2）滑轮组有几段绳子承担物体重，绳子自由端拉力就是物体重的几分之一。
【解答】解：
（1）重物的重力
G=mg=60kg×10N/kg=600N；
（2）由图可知，通过动滑轮绳子的段数n=3，
不计滑轮重和摩擦力，所以拉力F的大小：
F=G=×600N=200N。
答：（1）重物的重力是600N；
（2）拉力F的大小是200N。
【点评】本题考查重力和滑轮组绳子拉力的计算，关键是找到通过动滑轮绳子的段数。

14．如图所示的滑轮组，绳重及摩擦不计。若绳子自由端的拉力F是200N，平均每个动滑轮重40N，则货物重G是多少？物体升高1m，绳子自由端拉上多少米？

【分析】由图知，使用滑轮组承担物重的绳子股数n=5，则绳子自由端移动距离等于物体上升高度的5倍；绳重及摩擦不计，拉力F=（G+G动总），据此求货物重。
【解答】解：由图可知，n=5，
绳重及摩擦不计，拉力F=（G+G动总），则货物重力：
G=5F﹣G动总=5×200N﹣40N×2=920N；
物体升高1m，则绳子移动的距离：s=5h=5×1m=5m。
答：货物重G是920N；物体升高1m，绳子自由端拉上5m。
【点评】本题考查了使用滑轮组时拉力端移动距离和货物重力的计算，确定使用滑轮组承担物重的绳子股数（直接从动滑轮上引出的绳子股数）是关键。

15．工人利用如图所示的滑轮在10s内将重450N的物体向上匀速提起2m，所用拉力为250N；求：
（1）绳子自由端移动的速度为多少？
（2）若用此滑轮组将重900N的物体竖直向上匀速提升，不计绳重和摩擦力，拉力应为多大？

【分析】（1）由图可知滑轮组绳子的有效股数，根据s=nh求出绳端移动的距离，根据v=求出绳子自由端移动的速度；
（2）不计绳重和摩擦力，根据F=（G+G动）求出动滑轮的重力，再根据F=（G+G动）求出用此滑轮组将重900N的物体竖直向上匀速提升时拉力的大小。
【解答】解：（1）由图可知，n=2，则绳端移动的距离：
s=nh=2×2m=4m，
绳子自由端移动的速度：
v===0.4m/s；
（2）不计绳重和摩擦力，由F=（G+G动）可得，动滑轮的重力：
G动=nF﹣G=2×250N﹣450N=50N，
用此滑轮组将重900N的物体竖直向上匀速提升时拉力的大小：
F′=（G′+G动）=×（900N+50N）=475N。
答：（1）绳子自由端移动的速度为0.4m/s；
（2）若用此滑轮组将重900N的物体竖直向上匀速提升，拉力应为475N。
【点评】本题考查了滑轮组绳子拉力的速度和拉力的计算，利用好“s=nh”和“F=（G+G动）”是关键。

16．某人利用图所示的滑轮组，用力在20s内将重为480N的物体匀速提高2m，若不计摩擦和机械重，求：
（1）拉力大小；
（2）20s内绳子自由端移动的距离和速度。

【分析】（1）因不计摩擦和机械重，根据F=G进行计算；
（2）已知重物由3段绳子承担，利用s=3h可求得绳子自由端移动的距离，再利用速度公式求解绳子自由端移动的速度。
【解答】解：（1）由图可知，重物由3段绳子承担，
因不计摩擦和机械重，则拉力F=G=×480N=160N，
（2）自由端移动的距离s=3h=3×2m=6m，
速度v===0.3m/s。
答：（1）拉力大小为160N；
（2）20s内绳子自由端移动的距离为6m，速度为0.3m/s。
【点评】此计算拉力时不需要考虑到动滑轮自身的重力，弄清物体重由几股绳子承担是关键。

17．如图所示，用滑轮组把重为80N的物体匀速提起，试计算：
（1）若不计绳重、动滑轮重和摩擦的情况下，拉力F的大小多少牛？
（2）若不计绳重和摩擦的情况下，动滑轮重为10N，拉力F的大小多少牛？
（3）若拉力为50N，匀速将物体提高4m，则动滑轮重多少牛？绳的自由端移动了多少米？

【分析】（1）在不计绳重、动滑轮重、摩擦的情况下，有几段绳子承担物重，拉力就是物重的几分之一，即F=G物；
（2）根据图示确定通过动滑轮绳子的段数，然后根据有几段绳子在拉重物，拉力就是重物和动滑轮总重的几分之一计算拉力；
（3）滑轮组结构不变，则动滑轮重不变，利用s=nh可求绳子移动的距离。
【解答】解：由图可知，有两段绳子承担物重，即n=2。
（1）拉力为：F=G物=×80N=40N；
（2）由图通过动滑轮绳子的段数n=2，不计绳重和摩擦，绳子自由端的拉力：
F=（G+G动）=×（80N+10N）=45N；
（3）滑轮组结构不变，动滑轮的重力也不变，跟拉力大小无关，即G动=10N；
绳的自由端移动的距离，s=nh=2×4m=8m。
（1）若不计绳重、动滑轮重和摩擦的情况下，拉力F的大小为40N；
（2）若不计绳重和摩擦的情况下，动滑轮重为10N，拉力F的大小为45N；
（3）若拉力为50N，匀速将物体提高4m，则动滑轮重为10N；绳的自由端移动了8m。
【点评】本题考查了滑轮组绳子拉力、运动距离的计算，在绳重及摩擦不计时，灵活运用公式F=（G+G动）是本题的关键，常见题目。

18．如图所示的滑轮组，不计拉线质量及滑轮转动摩擦。重物G=100N，每一个滑轮重20N，当绳自由端拉力F竖直向上大小为30N时，求：
（1）重物G对地面的压力为多少？
（2）当拉力F为多大时，恰能让重物G匀速上升？
（3）若重物G能以0.1m/s的速度匀速上升，则绳自由端向上运动速度为多少？

【分析】根据物体的重力和滑轮的重力计算出总重力，数出连在动滑轮上的绳子的股数，可计算出对物体和动滑轮的总拉力，进而可计算出物体对地面的压力；根据力的平衡的知识即可计算出能让重物G匀速上升的拉力；根据动滑轮及其工作特点即可得出绳自由端向上运动速度。
【解答】解：（1）重物和动滑轮的总重力：G总=G+G动=100N+20N=120N，
由图可知，n=3，
把重物和动滑轮作为一个整体，此时它们受到向下的总重力、向上的3段绳子的拉力和向上的支持力作用；
而重物对地面的压力与地面对重物的支持力是一对相互作用力，
所以，当绳自由端拉力F竖直向上大小为30N时，重物G对地面的压力为：
F压=F支=G总﹣3F=120N﹣3×30N=30N；
（2）不计拉线质量及滑轮转动摩擦，
让重物G匀速上升时所需拉力：F=G总=×120N=40N；
（3）若重物G能以0.1m/s的速度匀速上升，
则绳自由端向上运动速度：v绳=3v物=3×0.1m/s=0.3m/s。
答：（1）重物G对地面的压力为30N；
（2）当拉力F为40N时，恰能让重物G匀速上升；
（3）若重物G能以0.1m/s的速度匀速上升，则绳自由端向上运动速度为0.3m/s。
【点评】本题考查压力及重力与压力的区别、滑轮组绳子拉力的计算，同时涉及到力的合成与应用，解答此题时要注意数绳子的股数时是连在动滑轮上的绳子的股数。

19．某人利用如图所示的滑轮组，用200N的拉力在20s内将重为G=480N的物体匀速 提高h=2m，若不计摩擦和绳重。求：
（1）动滑轮的重力。
（2）绳子自由端移动的速度。
（3）若再增加180N的重物，要使物体匀速上升，作用在绳子自由端的拉力为多大？

【分析】由题意可知连接动滑轮绳子的股数为3股，所以相同时间内绳子自由端移动距离是物体上升距离的3倍，所用拉力大小F=（G物+G动滑轮）．据此分析计算。
【解答】解：
（1）由图知，n=3，拉力F=（G物+G动滑轮），故动滑轮重G=200N×3﹣480N=120N。
（2）相同时间内绳子自由端移动距离是物体上升距离的3倍，所以v===0.3m/s。
（3）增加180N的重物后，G物′=480N+180N=660N；
F′=（G物′+G动滑轮）=（660N+120N）=260N。
答：（1）动滑轮的重力为120N；
（2）绳子自由端移动的速度0.3m/s；
（3）若再增加180N重物，要使物体匀速上升，作用在绳子自由端的拉力为260N。
【点评】本题考查了滑轮组省力公式的应用以及速度的计算，属于这一部分比较重点的内容，掌握相关的公式是解题的关键。