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万有引力 天体运动一、【知识梳理】考点1 开普勒行星运动定律开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。说明：不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的。开普勒第二定律(面积定律)：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。说明：行星在近日点的速率大于在远日点的速率。开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。说明：表达式中，值只与中心天体的质量有关。应用指南：（1） 开普勒三定律也适用于卫星绕行星运动。（2） 开普勒第三定律也适用于匀速圆周运动，则公式变为考点2 万有引力定律两个有用推论：（1） 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零。（2） 在匀质球体内部距离球心的质点（）受到的万有引力等于球体的内半径为的同心球体（）对它的引力,即。万有引力与重力的运用：（1） 在赤道上：（2） 在两极上：（3） 在一般位置：万有引力等于重力与向心力的矢量和应用指南：因地球自转角速度很小，一般情况下认为，即(黄金代换式)考点3 人造地球卫星人造地球卫星的运动可看作匀速圆周运动，其向心力为地球对它的万有引力，其运动学方程：人造卫星运动学特征：半径越大，线速度越小，角速度越小，加速度越小，周期越大。应用指南：（1） 任何卫星的轨道平面一定经过地心（2） 运行中的卫星处于完全失重状态（3） 同一卫星若所处高度越高，则动能越小，势能越大，机械能亦越大。考点4 三种宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度），既是卫星的最小发射速度，又是卫星绕地球运行的最大环绕速度.若，物体绕地球运行。第二宇宙速度（脱离速度），这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若，物体绕太阳运行。第三宇宙速度（逃逸速度），这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。若，物体脱离太阳系在宇宙空间运行。应用指南：第一宇宙速度的推导方法：（1） 由,得 (2)由，得考点5 地球同步卫星同步卫星的“七个一定”特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据得地球同步卫星离地面的高度，卫星离地面高度(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.(6)速率一定：(7)向心加速度一定：等于轨道处的重力加速度应用指南：同步卫星、近地卫星和赤道上物体圆周运动的异同点线速度： （为第一宇宙速度）角速度： 向心加速度： 考点6 人造卫星的变轨变轨原理及过程：（1） 为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星在圆轨道1上。（2） 在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道2。（3） 在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道3.变轨过程中物理量的定性分析：(1)速度：设卫星在圆轨道1和3时的速率分别为，在轨道2上过A点和B点速率分别为,在A点加速，则，在B点加速，,又因，故(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1还是轨道2上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。(3)周期：设卫星在1，2，3轨道上运行周期分别为,轨道半径分别为，由开普勒第三定律，可知。应用指南：变轨前后，卫星机械能不守恒，同一轨道上自主运行时仅受万有引力作用，机械能守恒。【考题精讲】考题1如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积下列关系式正确的有（ ）A. B. C. D.考题2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A. B.C. D.考题3两颗卫星绕地球运行的周期之比为27:1，则它们的角速度之比为_，轨道半径之比为_.考题4登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比（ ）A. 火星的公转周期较小 B.火星做圆周运动的加速度较小C.火星表面的重力加速度较小 D.火星的第一宇宙速度较大考题5利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）A. 1hB. 4hC. 8hD. 16h考题6国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为（ ）Aa2a1a3 Ba3a2a1Ca3a1a2 Da1a2a3考题7通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是（ ）A卫星的速度和角速度 B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度 D卫星的运行周期和轨道半径考题8假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为、在赤道的大小为，地球自转的周期为,引力常量为。则地球的密度为（ ）AB C.D考题9为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星做匀速圆周运动，图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度，横坐标表示物体到行星中心的距离的平方，两条曲线分别表示周围的a与的反比关系，它们左端点横坐标相同，则（ ）A、的平均密度比的大B、的第一宇宙速度比的小C、的向心加速度比的大D、的公转周期比的大考题10宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A.0 B. C. D.考题11若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为（ ）A. B. C. D.考题12我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接考题13 2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0102 km的预定轨道.“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动.已知地球半径R6.4103 km.下列说法正确的是()A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 【题型设计】1.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图13所示，当卫星B经过一个周期时()A.A超前于B，C落后于BB.A超前于B，C超前于BC.A、C都落后于BD.各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上2.如图所示，由我国自主研发的北斗卫星导航系统，空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星.目前已经实现了覆盖亚太地区的定位、导航和授时以及短报文通信服务能力，预计到2020年左右，将建成覆盖全球的北斗卫星导航系统.关于其中的静止轨道卫星(同步卫星)，下列说法中正确的是()A.该卫星一定不会运动到杭州正上方天空B.该卫星处于完全失重状态，卫星所在处的重力加速度为零C.该卫星若受到太阳风暴影响后速度变小，它的轨道半径将变大D.该卫星相对于地球静止，其运行速度等于地球赤道处自转的线速度3.2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射.如图7所示，在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()图7A.20颗小卫星的轨道半径均相同B.20颗小卫星的线速度大小均相同C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同5.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c的轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图8所示，下列说法中正确的是()图8A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度D.a、c存在P点相撞的危险6.我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比， A卫星动能增大，引力势能减小B卫星动能增大，引力势能增大 C卫星动能减小，引力势能减小D卫星动能减小，引力势能增大7.一行星的半径是地球半径的2倍，密度与地球的密度相等.在此行星上以一定的初速度竖直上抛一物体，上升的高度为h，则在地球上以同样大的初速度竖直上抛同一物体，上升的高度应为(空气阻力不计)()A.hB.2hC.4hD.8h8.一飞船在某行星表面附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量()A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期 D.行星的质量9.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出()A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为98B.地球表面的重力加速度与月球表面的重力加速度之比约为94C.靠近地球表面沿圆形轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆形轨道运行的航天器的周期之比约为89D.靠近地球表面沿圆形轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆形轨道运行的航天器的线速度之比约为81410.我国第一颗月球探测卫星嫦娥一号在西昌卫星发射中心成功发射.嫦娥一号卫星奔月路线的模拟图如图所示，卫星由地面发射，经过多次变轨后沿地月转移轨道奔向月球，卫星被月球俘获后，实施近月制动，最终在离月球表面200 km的环月圆轨道上运行.已知地球与月球的质量分别为M和m，地球与月球的半径分别为R和r，地球的卫星的第一宇宙速度为v.下列说法正确的是()A.卫星在轨道1上运行的周期大于在轨道2上运行的周期B.卫星在轨道2上的机械能大于在轨道3上的机械能C.卫星在离月球表面高度为h的环月圆轨道上运行的速率为vD.卫星在环月圆轨道上的机械能一定大于在轨道3上的机械能11.有一种关于宇宙演变的学说叫“宇宙膨胀说”，认为引力常量G在漫长的宇宙演变过程中是在非常缓慢地减小的，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比()A.公转半径比现在大B.公转周期比现在小C.公转速率比现在小 D.公转角速度比现在小12.发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，这样选址的优点是，在赤道附近 （ ）A地球的引力较大 B地球自转线速度较大C重力加速度较大D地球自转角速度较大13.2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大14.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方15.已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力为G。有关同步卫星，下列表述正确的是A.卫星距离地面的高度为B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到的向心力大小为D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度16.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的A线速度 B角速度 C运行周期 D向心加速度17.为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则A. X星球的质量为B. X星球表面的重力加速度为C. 登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为D. 登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为