7.3牛顿迭代法和割线法.ppt

uu设设 是方程是方程 的根，又的根，又 为为 附附近的一个值近的一个值 ，将，将 在在 点做泰勒展式点做泰勒展式n 7.3.1 Newton迭代法 7.3 牛顿迭代法和割线法牛顿迭代法和割线法去掉去掉 的二次项，有：的二次项，有：即即以以x x1 1代替代替x x0 0重复以上的过程，继续下去得：重复以上的过程，继续下去得：u 以此产生的序列xn得到 的近似解，称为Newton法法，又叫切线法切线法。n n Newton迭代法几何解释n n 例题例题例题例题例例7.3.1 7.3.1 用用NewtonNewton法求法求 的的近似解。近似解。解：由零点定理解：由零点定理n n例例2.3.2 2.3.2 用用NewtonNewton法计算法计算 解：解：NewtonNewton迭代法算法框图迭代法算法框图NewtonNewton迭代法算法迭代法算法n 7.3.2 Newton迭代法收敛性定理定理7.3.1 7.3.1 设函数设函数 ，且满足，且满足 若初值若初值 满足满足 时，由时，由NewtonNewton法产生的序列收敛到法产生的序列收敛到 在在 a,ba,b 上的唯一根。上的唯一根。证明：根的存在性n n根的唯一性n n收敛性 n n推论推论 在定理在定理7.3.17.3.1条件下，条件下，NewtonNewton迭代法具有平方迭代法具有平方收敛速度。收敛速度。n 7.3.2 割线法 NewtonNewton迭代法有一个较强的要求是迭代法有一个较强的要求是 且存在，因此有时使用较不方便。且存在，因此有时使用较不方便。用弦的斜率近似的替代用弦的斜率近似的替代 成为需要。成为需要。在在NewtonNewton迭代法中用弦的斜率代替迭代法中用弦的斜率代替 得到：称为称为割线法割线法割线法割线法或或或或弦截法弦截法 割线法在开始时，要用到两个不同的根的近割线法在开始时，要用到两个不同的根的近似值作为初值。似值作为初值。n n 割线法的几何解释例例 用割线法求方程在区间（1，2）内的实根。解：取x0 0=1，x1 1=2，代入公式计算，结果如表2.4.1所示。k kx xk kf(xf(xk k)0 01 1-1-11 12 25 52 21.1666666671.166666667-0.57870369-0.578703693 31.2531120231.253112023-0.28536302-0.285363024 41.3372064441.3372064440.0538805790.0538805795 51.3238500961.323850096-0.0036981168-0.00369811686 61.3247079361.324707936-4.273521*10E-5-4.273521*10E-57 71.3247179651.3247179653.79*10E-83.79*10E-8割线法算法n n 割线法收敛定理割线法收敛定理