牛吃草问题(含例题、答案、讲解)..doc

(完整word)精选牛吃草问题(含例题、答案、讲解).
小学数学牛吃草问题知识点总结：
牛吃草问题:牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
小升初冲刺第2讲
牛吃草问题
基本公式：
1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
2)草的生长速度＝(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷(吃的较多天数－吃的较少天数）；
3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
4)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度）;
5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度.
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天?
解:假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量:（200-150）÷（20-10）=5份
10×20=200份……原草量+20天的生长量 原草量：200—20×5=100 或150—10×5=100份
15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25—5）=5天
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天,可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷（20—10)=3份
9×20=180份……原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份
15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天
例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块
草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100—90)÷（6-5）=10份
20×5=100份……原草量—5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份
15×6=90份……原草量-6天的减少量 （150—10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷,牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240—225）÷（9-8）=15份
30×8=240份……原草量—8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份
25×9=225份……原草量—9天的减少量 360÷（21+15)=10天
例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每
分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级?
男孩：20×5 =100（级) 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
女孩；15×6=90(级） 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
每分钟减少的级数= （20×5—15×6) ÷（6-5）=10(级)
自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
[自主训练］ 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒.问该扶梯共有多少级？
3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：（2×300-3×100)÷（300—100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1。5=150（级)
1。 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问:要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？
假设1头1天吃1个单位
24*6=144
21*8=168
168-144=24
每天长的草可供24/2=12头牛吃
最多只能放12头牛
2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天.如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？
假设1头1天吃1个单位
5*40=200；6＊30=180
200—180=20
每天长的草：20/(40—30）=2
原有草：200-2*40=120
4＊30=120 ，30＊2=60 60/4=15天
3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以养活多少亿人？
假设1亿人头1天吃1个单位
110＊90=9900；90*210=18900
18900-9900=9000
9000/（210—90）=75
4，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队,现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？
2＊20＊10=400
400-100=300
300/20=15
100+15*4=160
160/（4＊10)=4
（1）因为草量=原有草量+新长出的草量，而且草量是均匀增长的。
所以“对应的牛头数×吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量, 即为:吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度＊较多天数时的时间。
同理“相应的牛头数×吃的较少天数"代表了第二次情况下的总草量，即为：吃的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。
两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下总草量的差，右边等于草的生长速度＊两次情况下的时间差,所以直接把时间差除到左边去，就得到了草的生长速度了。
（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的草。所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。当然草的总量减去新增长出来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。
牛吃草问题概念及公式
　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的.典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
　　1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；
　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度）；
　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
　　这四个公式是解决消长问题的基础.
　　由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。
　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
　　这类问题的基本数量关系是：
　　1。(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。
　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
解多块草地的方法
　　多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
“牛吃草”问题分析
　　华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐
　　【华图名师姚璐例1】有一块牧场,可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
　　A。3 B。4 C。5 D.6
　　【华图名师姚璐答案】C
　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天
　　根据核心公式 代入
　　（200-150）/（20-10）=5 10＊20—5＊20=100 100/(25—5）=5（天）
　　璐例2】有一块牧场,可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
　　A。20 B.25 C.30 D。35
　　【华图名师姚璐答案】C
　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
　　根据核心公式代入
　　（20×10-15×10）=5 10×20—5×20=100 100÷4+5=30(头)
　　【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
　　A。50 B.46 C.38 D。35
　　【华图名师姚璐答案】D
　　【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ，
　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
　　根据核心公式:
　　，代入
　　,因此 ，选择D
　　【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题"解题方法，在真题中的应用。
　　【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机?【广东2006上】
　　A。5台 B.6台 C。7台 D。8台
　　【华图名师姚璐答案】B
　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机
　　有恒等式:
　　解 ，得 ,代入恒等式
　　【华图名师姚璐例5】有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机,那么需抽多少小时?【北京社招2006】
　　A.16 B。20 C。24 D.28
　　【华图名师姚璐答案】C
　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y小时
　　有恒等式:
　　解 ，得 ，代入恒等式
　　【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃,则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变)【浙江2007】
　　A.2周 B。3周 C。4周 D。5周
　　【华图名师姚璐答案】C
　　【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完
　　有恒等式:
　　解 ，得 ，代入恒等式
　　【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】
　　A。2小时 B。1.8小时 C。1.6小时 D.0。8小时
　　【华图名师姚璐答案】D
　　【华图名师姚璐解析】设共需X小时就无人排队了。
例题:
　　　1、旅客在车站候车室等车，并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口，需用半小时把所有乘客解决完毕，当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
　　设一个检票口一分钟一个人
　　1个检票口30分钟30个人
　　2个检票口10分钟20个人
　　（30-20）÷(30-10)=0.5个人
　　原有1×30—30×0。5=15人
　　或2×10-10×0。5=15人
　　2、有三块草地，面积分别是5，15,24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
　　这是一道牛吃草问题,是比较复杂的牛吃草问题。
　　把每头牛每天吃的草看作1份。
　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
　　所以45－30＝15天,每亩面积长84－60＝24份
　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1。6份
　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
　　第三块地面积是24亩,所以每天要长1.6×24＝38。4份，原有草就有24×12＝288份
　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,因此288÷80＝3。6头牛
　　所以，一共需要38.4＋3。6＝42头牛来吃。
　　两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1。6每亩原有草量为60—1。6＊30=12，那么24亩原有草量为12＊24=288，24亩80天新长草量为24＊1。6＊80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42（头)
解法二:
10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/（45—30)=24;15亩原有草量:1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头)24亩需牛：（180/80+24）*(24/15)=42头