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(完整word)圆压轴题(3)-双切线组合圆压轴题八大模型题（三）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题.类型3 双切线组合径在直角边-直径在直角三角形的直角边上.RtPBC中,ABC90，RtPBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的O与斜边相切于点D。图(1)图(2）图(3)（6）求证:OCAD（变式).（7)若AB2,BC,求AD、PD、PA的长.(4)PD2PAPB;（5）PB8，tana，求PA和AD。(1）PB8，BC6，求O的半径r.(2)PD4,PB8，求BC的长。(3）PD4，PA2，求O的半径r。【分析】(1）由PC=，PODPCB得，r=3.（2)设BC=CD=x，在RtPBC中，82+x2=(4+x)2，得BC=x=6.（3）在RtPDO中，42+r2=（2+r)2,解得r=3.(4）由PDAPBD得：PD2=PAPB.(5)由PDAPBD得，PB=8,PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x，DB=2x,在RtADB中，x2+（2x）2=62，AD=x= .（6）由DEC=ADB=90得OCAD。(7）由AB=2，则OB=1,又BC=OC=,在RtOBC中，BEOC，得OE=，由中位线定理得：AD=2OE=.DB=，由PDAPBD得:，设PA=x,则PD=x，在RtPDO中,（x）2+1=(x+1）2得x=2,PA=2，PD=2。（8）由ADOC得，设AO=DO=BO=m，则PA=2m，P0=3m,PD=2m，由PDAPBD得,且AD+BD=2+2,图(4)（8) PD:DC2：1，ADBD22，求SABC.AD=2,BD=2,则AB=2=2m,m=,PB=3，PD=2,PC=3，BC=3，SPBC=BCPB=13。5。【典例】（2018四川乐山）如图，P是O外的一点，PA、PB是O的两条切线,A、B是切点,PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长交于点Q,连结AC（1)求证:ACPO;（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若O的半径为3，CQ2，求的值图3-1【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。(2)在RtOQA中，由勾股定理得QA4,在RtPBQ中，由勾股定理得PAPB6，因此FD3，BFAF又由中位线定理FDAP得，FE：EA3：4，因此设AE4t,则EF3t，BF10t，所以AE：BE2：5。（1）证明：PA、PB是O的两条切线，A、B是切点,PAPB，且PO平分BPA，POABBC是直径，CAB90，ACAB,ACPO；（2)解：连结OA、DF，如图， PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，OAQPBQ90在RtOAQ中,OAOC3，OQ5图a由QA2OA2OQ2,得QA4在RtPBQ中，PAPB，QBOQOB8，由QB2PB2PQ2，得82PB2（PB4)2,解得PB6，PAPB6OPAB，BFAFAB又D为PB的中点，DFAP，DFPA3,DFEQEA, ，设AE4t，FE3t,则AFAEFE7t,BEBFFEAFFE7t3t10t， 【点拨】由切线长定理引出的双母子相似三角形中,含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形,常涉及用到等腰“三线合一、“射影定理”、中位线定理、勾股定理，平行线分线段成比例，切割线定理等的综合运用。因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型,当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。【变式运用】1。（2016 青海西宁）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上,且CDA=CBD（1)求证：CD是O的切线;(2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E,BC=6，求BE的长（12分）【分析】（1）连OD,OE,根据圆周角定理得到ADO+1=90，而CDA=CBD，CBD=1,于是CDA+ADO=90；图3-2（2）根据已知条件得到CDACBD由相似三角形的性质得到,求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE,BEBC根据勾股定理列方程即可得到结论(1)证明:连结OD,OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD,CDA=ODB，又AB是O的直径，ADB=90，ADO+ODB=90，ADO+CDA=90，即CDO=90，ODCD，OD是O半径，CD是O的切线（2)解：C=C,CDA=CBD图bCDACBD ,BC=6,CD=4，CE，BE是O的切线BE=DE,BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE)2解得：BE= 2.（2018湖北武汉）如图，PA是O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且PAPB。（1) 求证：PB是O的切线。（2） 若APC3BPC，求的值。(1）证明： 分别连接OP，OB。图33在OAP和OBP中，OAPOBP. OAP=OBP,PA是O的切线，OBP=OAP=90,PB是O的切线。(2）连接BC,设OP交AB于点F，AC是O的直径,ABC=90.PA,PB是O的切线,PO垂直平分AB,PO平分APB，图cBCOP，OPC=PCB，APC=3BPC,OPC=CPB，PCB=CPB，BC=BP.设OF=t，则BC=PB=2t，由PBFPOB,得PB2=PFPO,即（2t)2=PF(PF+t)解得PF=t,（取正值）PFECBE，3.（2017泸州）如图，O与RtABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E,连接FE并延长交AC边于点G（1）求证:DFAO;（2)若AC6，AB10，求CG的长解：(1）证明:连接OD图34AB与O相切与点D，又AC与O相切与点, ACAD，OCOD，OACD，CDOA,CF是直径，CDF90,DFCD，DFAO（2）过点作EMOC于M，AC6,AB10，BC8,ADAC6，BDABAD4，图dBD2BFBC，BF2，CFBCBF6OCCF3，OA3,OC2OEOA，OE,EMAC，OM，EM，FMOFOM，CGEM2