垂径定理典型例题及测验.doc

【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦】
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是
2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
垂径定理典型例题分析：
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（　　）．
　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　B．过弦的中点的直线必过圆心
　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　D．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，，求圆心到弦和的距离.
4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．
5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例题3、度数问题
1、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
A
B
D
C
E
O

例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.
作 业：
一、 概念题
1．下列命题中错误的有（）
（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦
（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．如图，如果为⊙直径，弦，垂足为，那么下列结论中错误的
是（ ）
A． B． C． D．

4．如图，是⊙直径，是⊙的弦，于，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、垂径定理
1、过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .
2.在⊙中，弦长为，圆心到弦的距离为，则⊙半径长为
3．半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是
4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.
5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽，则水管中水深是_______cm.
6．如图，⊙O的直径AB，垂足为点E，若，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，
则OM的长为（ ）
A．cm B．cm C．1 D．3cm
8．已知：如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若，则BE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知⊙O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则⊙O的直径是（ ）
A．5cm B．10cm C．cm D．cm
10．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．cm
11如图，已知⊙的半径为，两弦与垂直相交于，若，，则（　　）
　A．　　B．　　C．　　D．
三、度数问题
1、在⊙中，是弦，是的中点，延长交⊙于．若，则的度数是（　　）．
　A．　　　B．　　　C．　　　D．
四、相交问题
1、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm和4cm两部分，则弦心距为（ ）
A． B． C． D．
五、平行问题
1、 圆的两互相平行的弦长分别和，又两弦之间距离为，则圆的半径长是
2、 在半径为的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为、，则这两条弦之间的距离为________
六、同心圆
1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，，则AC的长为（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm

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