第十一章-曲线积分-(2).doc

习题11-1
1. 计算下列曲线积分：
（1），其中是曲线从原点到点的一段弧；
（2），其中为上从到的一段弧；
（3），其中为圆周（）、直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（4）,其中为圆周（）；
（5），其中为曲线上从到间的一段弧；
（6），其中为双纽线（）；
（7），其中为螺旋线（）上相应于从变到的这段弧；
（8）,其中曲线为球面与平面的交线.

解 （1） 曲线由方程（），所以

令 ；
（2）曲线可分为两段和，
所以 ；
（3）曲线可分为三段
，（）
（）
，（）
所以

；
（4） 曲线极坐标方程为： （）
所以 ；
（5） ，

；
（6）由于被积函数是关于、关于的偶函数，积分曲线又分别是关于轴、关于轴对称，设是在第一象限的部分，所以

的极坐标方程为 （），
，

；
（7）

；
（8）设圆的参数方程为
（）

2. 计算曲线积分，其中积分曲线为椭圆，其周长为.
解 因为是关于对称，且关于变量的奇函数，所以
在上有，则有
.
3. 计算曲线积分，其中曲线为与的交线.
解 因为为圆心在原点半径为的圆周，且关于、、具有轮换对称性，所以有

，

.
4. 计算圆锥螺旋线，，（）从点到点的弧长.
解

故弧长 .

习题11-2
1. 计算下列曲线积分：
（1），其中为抛物线从点到；
（2），其中为圆周（）及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界，取逆时针方向；
（3），其中为以、、为顶点的三角形正向边界曲线；
（4），其中为圆周，沿逆时针方向；
（5），其中为曲线上从到；
（6），其中是从点到的一段直线；
（7），其中为螺旋线，上从点到的一段弧；
（8），其中为曲线与的交线，从轴正向看，是逆时针方向.
解 （1）；
（2）曲线可分为两段、，
（从到） （从到）

；
（3）直线段的方程为：，从到，
直线段的方程为：， 从到，
直线段的方程为：， 从到，

；
（4）圆的参数方程为： 从到
原式
；
（5）曲线的方程为：

；
（6）直线段的对称式方程为：，参数方程为
从到

；
（7）

；
（8）曲线的参数方程为
从到
原式

2. 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为
沿抛物线从点到点.
解 上任意一点处的切向量为，
故 ， ，
则有

3. 设为曲线上相应于从变到的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.
解 空间曲线弧上任意一点处的切向量为
，
故切向量的方向余弦为
，
，
，
于是
.
4. 证明：曲线积分有估计式
，
其中为积分路径的长度，.
证 设曲线上任一点处的切向量的方向余弦为、，则有两类曲线积分之间的关系，得

.

习题11-3
1. 利用格林公式计算下列曲线积分：
（1），其中是区域的正向边界曲线；
（2），其中是沿圆周正向闭路；
（3），其中以、、为顶点的三角形的正向闭路；
（4），其中是曲线，，，所围区域边界正的向；
（5），其中是从原点到点，在到有向折线段；
（6），其中是由点至点的上半圆周的一段弧；
（7），其中为抛物线 上由点到点的一段弧 .
解 （1）这里，，设所围成的闭区域是，由Green公式，得
原式

则

所以 ， 即 原式；
（2）这里，，设所围成的闭区域是，由Green公式，得
原式
；
（3）如图11-1所示，线段、、的方程分别为、、，
由Green公式
原式

；

（图11-1） （图11-2）
（4）圆，的极坐标方程分别为，，
由Green公式，得
原式；
（5）这里，，不是闭曲线，添加有向线段（从到），设其所围成的闭区域是，由Green公式，得
原式
；
（6）这里，，不是闭曲线，如图11-2所示添加有向线段（从到），设其所围成的闭区域是，由Green公式，得

又
所以 原式；
（7）这里，，设，如图11-3所示添加辅助直线段（从到），（从到），由Green公式，得

故 原式.

（图11-3）
2. 利用曲线积分计算下列曲线围成的图形的面积：
（1）星形线，；
（2）旋轮线，（）与轴所围区域的面积.
解 （1）
;
（2）如图11-4所示

（图11-4）
3.计算曲线积分，其中分别为：
（1）圆周，沿逆时针方向；
（2）闭曲线，沿逆时针方向.
解 （1），，、在原点不连续，
，
围成的区域不包含原点，由Green公式，得
；
（2）围成的区域包含原点，选取充分小，在所围成的闭区域内作圆周，取顺时针方向，如图11-5所示，即与围成区域为，由Green公式，得

即 .

（图11-5） （图11-6）
4. 计算曲线积分，其中为自点至点的线段之下的任意有向光滑曲线段，且该曲线与线段所围图形面积为.
解 添加线段、，则构成闭曲线，设其所围成的闭区域为，如图11-6所示
则所求积分

.

习题11-4
1. 设为连续可微函数且为逐段光滑的闭曲线，证明：
.
证 由，且可微函数
，
由于 所以 .
2. 证明只与的起点和终点有关，而与所取路径无关，其中为半面
中的曲线，并求.
证 , , ,
因此 曲线积分与所取路径无关.
不妨取积分路径：自 到 ，再到
.
3. 计算下列曲线积分：
（1），其中为旋轮线，从点 到点；
（2），其中是过点、、的圆周从点至在到的一段.
解 （1）, ,
由于,所以曲线积分与路径无关，可取路径为到，再到的有向折线段，
故 原式

；
（2），，由于
所以曲线积分与路径无关，取积分路径为从到再到的折线段
故 原式 .
4. 验证下列在整个面内是某个二元函数的全微分，并求这样一个函数：
（1）；
（2）;
解 （1），
由于
所以在面内是某个二元函数的全微分，且 ；
（2），
由于
所以在面内是某个二元函数的全微分，且
；
5. 选取使为函数的全微分，并求函数.
解 ,,
, ,
由题意 ，得 ，
解得 ，
由于，所以积分与路径无关，可取积分路径为从到，再到的有向折线段，

（）.
6. 当时，连续且可微，，对半平面上的任一闭曲线，有

求，并计算，为从到的弧段.
解 ，
，
由题意，得

整理，得
，
这是一个一阶线性微分方程，可解得
（为任意常数）
由得 ，所以 ，
由于，所以积分与路径无关，可取积分路径为从到，再到的有向折线段，所求积分

.
7. 判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解：
（1）
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
解 （1）记,
因为，所以这是全微分方程
将原方程重新组合，得

所以微分方程的通解为 （为任意常数）；
（2）记, ，
因为，所以这是全微分方程，且

所以微分方程的通解为 （为任意常数）；
（3）记, ，
因为，所以这是全微分方程，
且

所以微分方程的通解为 （为任意常数）；
（4）记, ，，
因为，所以不是全微分方程；
（5）记, ，，所以这是全微分方程，
又 ， 即
所以微分方程的通解为 （为任意常数）；
（6）记, ，，，因为，
所以不是全微分方程.

习题11-5
1. 若曲线上每一点处的线密度等于该点的横坐标的平方，求曲线在横坐标为和间的这一段的质量.
解 由题意知
故 .
2. 求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心.
解 设质心坐标为，圆弧参数方程为
（）
该曲线弧的质量

所以质心坐标为.
3. 设螺旋形弹簧一圈的方程为（），它的线密度，求：
（1）它关于轴的惯性矩；
（2）它的质心.
解 （1）

；
（2）

设其质心为

同理

所以质心为.
4. 在椭圆上每一点有作用力，其大小等于点到椭圆中心的距离，方向指向中心.
（1）计算质点沿曲线弧从点移动到点时所作的功；
（2）当质点按逆时针方向沿椭圆绕一周时力所作的功.
解 由题意知
（1）所求的功

（2）所求的功
.
5. 设在半平面中有力构成力场，其中为常数，
证明：此力场中场力所作的功与所取路径无关.
证明 由题意场力所作的功

这里 ，

故曲线积分与路径无关，即场力所作的功与所取路径无关.

总复习题十一
1. 填空题
（1）设曲线为圆，则曲线积分 ；
（2） ，其中为上从到点的一段曲线；
（3） ，其中为从点到点且在连线下方的任意简单曲线，它与连线所围图形的面积为；
（4）若，则 ；
（5）设为质量均匀分布的半圆，线密度为，则对轴的惯性矩
；
（6）设为可微函数，为光滑曲线，若与积分路径无关，则应满足关系式为 .
（1）答案 “”.
解 ，曲线关于轴、轴对称，所以 ，
故有 ；
（2）答案 “”.
解 ，， ，曲线积分与路径无关，取路径到点的上半圆周从到，
；
（3）答案 “”.
添加辅助线段：（），由Green公式
原式
（4）答案 “” （是任意常数）.
解

故 （是任意常数）；
（5）答案 “”.
解 ；
（6）答案 “”.
解 ，
由于曲线积分与路径无关 , 即 .
2. 选择题
（1）设是以、、、为顶点的正方形边界，则
等于（ ）；
（） （） （） （）

（2）设曲线是圆周沿逆时针方向一周，则曲线积分
（ ）；
（） （） （） （）
（3）下列曲线积分不能明确计算的是（ ）
（） （）
（） （）
（4）设，其中为位于第一象限中的圆弧从至，则（ ）；
（） （） （） （）
（5）设曲线是任意不经过的区域内的曲线，为使曲线积分与路径无关，则（ ）；
（） （） （） （）
（6）已知为某个函数的全微分，则（ ）；
（） （） （） （）
（7）设曲线是区域的正向边界，那么的面积为（ ）；
（） （）
（） （）
（8）设，对于该积分容易验证，
，则
（）对于任何不过坐标原点的闭曲线，恒有；
（）曲线积分在上与路径无关；
（）对于任何不过坐标原点的闭曲线，；
（）当围成区域不包含坐标原点时，，其中为分段光滑的简单闭曲线.
（9）下列命题中不正确的是（ ）；
（）设有连续导数，则在全平面内与路径无关；
（）设连续，则在全平面内与路径无关；
（）设在内具有一阶连续偏导，又()，则在内与路径无关；
（）在区域上不是与路径无关.
（10）在力场的作用下，一质点沿圆周逆时针运动一圈，则场力所作的功（ ）；
（） （） （） （）

（1）答案 选（）.
解 曲线的方程为，关于轴和轴对称，、分别关于和是奇函数，则
，
；
（2）答案 选（）.
解 ；
（3）答案 选（）.
解 因为从点到点的任意曲线必然要越过直线，而
，在不连续，故选（）；
（4）答案 选（）.
解 ，，
所以 曲线积分与路径无关， 原式；
（5）答案 选（）.
解 由题设得
从而有
所以 ；
（6）答案 选（）.
解 由题设得
从而有 所以
（7）答案 选（）.
解 由 Green公式 ；
（8）答案 选（）.
解 当围成区域不包含坐标原点时，由Green公式
；
（9）答案 选（）.
解 因为可能为多连通区域；
（10）答案 选（）
解 所求功为

.
3. 求，其中为正的常数，为
从点沿曲线到的弧.
解 添加有向线段：（从到），则构成封闭曲线，设其所围成区域为，利用Green公式

.
4. 计算曲线积分
（1）； （2）
其中均为自沿至的一段曲线弧.
解 （1），，
当时，，所以曲线积分在含正半轴的区域内与路径无关，可取积分路径为：自到，再到，最后到的有向折线段，如图11-7所示

；

（图11-7）
（2），，，所以曲线积分与路径无关，可取路径为：自沿轴到，在到

.
5. 计算曲线积分，其中是以为中心，（）为半径的圆周，取逆时针方向.
解 如图11-8所示，这里 ，，

（1）当时，为围成的区域不包含原点，由Green公式
，
（2）当时，围成的区域包含原点，作足够小的椭圆（）为顺时针方向，记与围成区域为，于是由Green公式

于是
.

（图11-8）

6. 已知平面区，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
证 （1） 由Green公式
左边，
右边，
由于区域关于具有轮换对称性，所以左边右边；
（2）由（1）知
.
7. 设在内具有一阶连续导数，是上半平面（）内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点，记

（1） 证明曲线积分与路径无关；
（2） 当时，求的值.
证 （1）记，，则
（）
所以在上半平面内曲线积分与路径无关；
（2）

其中是的一个原函数，当时，
因此得 .
8. 设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分

与路径无关，并且对任意恒有

求.
解 由条件曲线积分与与路径无关知

于是，，其中为待定函数，

由题设知
两边对求导，得 ，
从而 ，所以 .
9.已知，试确定，使曲线积分与路径无关，并求当分别为时此积分的值.
解 由题意得
解得
又 ， 所以 ， 则 ，
由于积分与路径无关，所以
.
10. 确定常数，使右半平面上的向量

为某二元函数的梯度，并求.
解 由题意得

从而，有

即 ，

.
11. 在变力的作用下，质点由原定沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点，问取何值时，力所作的功
最大？并求出功的最大值.
解 直线的参数方程为： 从到，功为
，
下面求在条件（）下的最大值
令
由 解得
由问题的实际意义知 .
12. 求均匀（）曲线对轴的惯性矩.
解
（轮换对称性）
.