几何图形初步线、角、平行线.doc

个人收集整理 勿做商业用途
几何图形：
点、线、面、体称为几何图形。圆柱体、圆锥体、球体等各个部分不在同一个平面内的几何图形称为_________。而直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为___________。
线段、射线和直线:
线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如图的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作“线段a”.
B
A

a
直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。如图的直线可以记作“直线"或“直线”，也可以记做“直线”。

射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。如图的射线记做“射线_______”,而不能记做“射线_______”。
为什么？

经过两点_________________直线，即两点确定一条直线。

将线段向一个方向无限延长就形成了________；将线段向两个方向无限延长就形成了______；直线上两点间的部分就是______；直线上一点的一旁部分就是________。
如何用直尺和圆规作出一条线段，使它们等于已知线段a?

两点之间______最短。
角
角可以看成由两条________的射线所组成的图形，这个公共端点叫这个角的_______,或由一条______绕着它的__________旋转而成的图形,起始位置的射线叫做__________,终止位置的射线叫做________
角的三种表示方法:
______________________________________________-
______________________________________________
______________________________________________
等于90度的角叫______，小于90度的角就是_____,大于直角而小于平角的角是_______
如果两个锐角的和为_______，我们就说这两个角互为_______，简称_______；
如果两个角的和为平角,我们就说这两个角互为_______，简称_______;

从一个角的顶点引出的一条射线。把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这两个角的_____________
两条直线相交形成的四个角中，相对的一对角叫做_______，对顶角_______.
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是______时，我们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做______
在同一平面内,过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。
直线外一点与直线上连接各点的所有线段中,________最短。
从直线外一点到_______,叫做点到直线的距离。
立体图形 平面图形 BA AB 因为射线有方向 有且只有一条直线 射线 直线 线段 射线 作法：任意画一条射线AC，用圆规量取已知线段a的长度，在射线AC上截取AB=a,线段AB就是所求作的线段。 有公共端点的 顶点 角的始边 角的终边 直角、锐角、钝角 对顶角 垂线 垂足

提示】
1．理解线段的和与差，线段中点、两点间的距离，掌握直线公理、会比较线段的大小．
2．理解角、周角、平角、锐角、直角、钝角、余角、补角、角的平分线等概念．
3．掌握度、分秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分会比较角的大小，会画角的平分线．
4．理解对顶角、邻补角、垂线、垂线段、点到直线的距离等概念掌握垂线性质．

【学习方法导航】
1．对线段的延长要注意顺序性，要注意标准量的使用．
2．互余,互补是指两个角的数量关系与两个角的位置无关．
3．点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的．

【基础知识精讲】
一、知识点归纳
（一）直线:直线是几何中不加定义的基本概念,直线的两大特征是“直"和“向两方无限延伸"．
（二）直线的性质：经过两点有一条直线,并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点．
（三）射线：
1．射线的定义；直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线．
2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点．”
（四)线段：
1．线段的定义：直线上两点和它们之问的部分叫做线段。这两虑叫做线段的端点．
2．线段的性质（公理)：所有连接两点的线中，线段最短．
（五)线段的中点：
1．定义：若一个点把一条线段分成相等的两部分，那么这个点就叫做这条线段的中点．
(六）角
1．角的两种定义：
（1)（静态）有公共端点的两条射线所组成图形叫做角．
要弄清定义中的两个重点 ① 角是由两条射线成的图形; ② 这两条射线必须有一个公共端点。另一种是条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
（2）(动态)一条射线绕着它的一个端点旋转所形成的图形．
2．角的表示方法：
（1）用三个大写字母表示；
（2）用一个小写希腊字母表示;
(3）用一个数字表示．
(七）角的度量 度量角的大小，可用“度"作为度量单位．一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角．1°=60′，1′=60″．
(八）角的分类
1．锐角：小于直角的角叫做锐角．
2．直角：平角的一半叫做直角．
3．钝角：大于直角而小于平角的角．
4．平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一
直线时，所成的角叫做平角．
5．周角:把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角．
6．周角、平角、直角的关系是: 1 周角＝ 2 平角＝ 4 直角．
(九）相关的角
1．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．
2．互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角.
3．互为余角:如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4．邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角叫做互为邻补角．
注意:互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系．
（十）角的性质
1．对顶角相等．
2．同角或等角的余角相等．
3．同角或等角的补角相等．
(十一）角的平分线
1．在角的内部,一条射线把这角分成相等的两部分,那么这条射线叫做这个角的角的平分线．
2．角的平分线的性质：
（1）角的平分线上的点，到角两边的距离相等；
（2）到角的两边相等的点，在这个角的平分线上．
(十二）垂线
1．定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
2．点到直线的距离：
过一点作已知直线的垂线，那么垂线段的长度叫做点到直线的距离．
3．垂线的性质:
垂线段最短．
二、例题
【例1】 （2003年青海）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不成立的是（ ）

A．CD=AC－DB B．CD=AD－BC
C．CD=AB－BD D．CD=AB

解：D．

【例2】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，那么这条直线上共有线段（ ）条
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
分析：为了不重复和遗漏,那么从A开始计算条数，再从点B、C开始计算有几条总条数是6条,选D． 解:D．

【例3】 已知，如图，直线AB、CD相交于点O，PE⊥AB于点E,PF⊥CD于点F，如果∠AOC=50°，那么∠EPF的度数是多少？
解：∵∠COA=∠BOD．
∵∠AOC=50°．
∴∠BOD=50°．
又∵∠BOC=∠DOA=130°，
即∠EOF=130°．
∴∠EPF=360°－90°－90°－130°=50°．

【例4】 如图，已知线段AB＝40cm，M为AB中点，P在MB上，N为PB中点，且NB＝7cm，求MP的长?
分析：∵MP＝MB－PB，只要求出MB、PB即可，∵MB=AB=20cm,PB=2NB=14cm．则MP可求． 解：∵N是PB中点，∴PB＝2NB．
∵NB＝7cm,∴PB＝2NB＝14cm．
∵M是AB中点,且AB＝40cm，∴MB＝AB＝20cm．
∴MP＝MB－PB＝20－14＝6cm．
答：MP＝6cm．
注意：求线段的长的问题，要理清所求线段与已知线段之间的关系,把未知线段转化为可知线段来表示．

【例5】 已知：如图，以O为端点引4条射线 图中有几个角? 若引n条射线有几个角?(要求小于平角的角)
解:以O为端点的4条射线，其中任意一条射线与其它3条射线都必构成一个角,这样得到4 3个角，但这些角中每个角都重复一次,如∠AOB，∠BOA，所以实际组成的角的个数是
注意：求线段的长的问题，要理清所求线段与已知线段之间的关系,把未知线段转化为可知线段来表示．

4 3 =6 ．同理若引n条射线所组成的角是n(n－1)个角．
二．解答题

1．如图，C是线段AB上一点，点M是线段AC中点，点N是线段CB中点，若AB＝10，求MN的长?

3． 三条直线AB,CD , EF相交于同一点O，这时图中有多少个平角和周角，请表示出来．

4．如图，从一个点O引10条射线共得几个角．
5． 已知∠AOB=155°
∠AOC=∠BOD=89°
求∠COD的度数?
6．把周角7等分,求每份角的度数(精确到分) ．

1．相交线，三线八角,垂线
2．平行线，平行线的性质和判定
3．会识别同位角、内错角、同旁内角、会用平行线的判定和性质进行解（证)题．

【学习方法导航】
1．要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)．在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理．
2．计算角度的和差、倍、分；识别同位角，内错角、同旁内角；用平行线的判定和性质解题是中考出题的热点;用“垂线段最短"解决实际问题是中考出题的趋向．

【基础知识精讲】
一、知识点归纳
（一）相交线
1 ．斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线．它们的交点叫做斜足． 2 ．两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
3 ．垂线:当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足． 4 ．垂线的性质
(l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直．
（2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简单说：垂线段最短．
（二）距离
1 ．两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离．
2 ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
3 ．两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线,垂线段的长度,叫做两条平行线的距离．
说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的．
（三)平行线
1 ．定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2 ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
3 ．平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行．
4 ．平行线的判定：
（l)同位角相等，两直线平行．
（2)内错角相等，两直线平行
(3）同旁内角互补，两直线平行．
5 ．平行线的性质
（l）两直线平行，同位角相等．
(2）两直线平行，内错角相等．
（3）两直线平行，同旁内角互补．
说明:要证明两条直线平行,用判定公理（或定理）在己知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理．
6．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补．注意:当角的两边平行且方向相同（或相反）时,这两个角相等．当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补．
二、例题

【例1】如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=6：1，求∠AOC的度数？ 解：∵∠3：∠2=6:1
∴∠3=6∠2
∵OE平分∠BOD的平分线（已知）
∴∠2=∠1（角平分线定义）
∴∠3=6∠2=6∠1（等量代换）
∵∠3+∠2+∠1=180°(补角定义）
∴6∠2+∠2+∠2=180°
∴∠2=22。5°
∴∠1=22。5° ∴∠DOB=∠1+∠2=45°
∴∠AOC=∠DOB=45°(对顶角相等)
答:∠AOC=45°．

【例2】 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，比较线段CD、BC、AB的大小．
分析：要比较CD、BC、AB的大小，要先找出最短的线段CD，要说明线段大小，最好找垂直，由垂直想到垂线段，由垂线段想到垂线段最短，因此，∵CD⊥AB ∴CD＜BC，∵BC⊥AC ∴BC＜AB，∴CD＜BC＜AB． 解：∵∠ACB=90°（已知）
∴BC⊥AC（垂直的定义）
∴AB＞BC（垂线段最短)
∵CD⊥AB（已知）
∴BC＞CD（垂线段最短)
∴AB＞BC＞CD

【例3】 如图AB⊥CD垂足为O,若∠COF=56°，求∠AOE?
分析：要求∠AOF,而∠AOE=∠BOF，根据对顶角相等,只要求∠BOF即可,而∠BOF与∠COF互余，∠COF为已知，∴∠BOF为可求．
解：∵AB⊥CD(已知）,
∴∠COB=90°（垂直的定义）．
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOF=90°－∠COF
=90°－56°
=34°．
∴ ∠AOE=∠BOF=34°．（对顶角相等）
答:∠AOE=34°．
【例4】 如图，若已知AB⊥BF，CD⊥BF于D,且∠GBF+∠G=90°，你能证明CD∥EG吗？

证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知),
∴∠ABF=∠CDF=90°(垂直定义） ．
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行） ．
∵∠GBF+∠G=90°，∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠G+∠GBF=90°+90°=180°．
∴AB∥EG（同旁内角互补,两直线平行） ．
∵AB∥CD （已证)，AB∥EG（已证），
∴CD∥EG(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ．
【例5】如图，已知AC∥FD，AB∥ED,
可以推出哪些角相等？互补？
分析:主要根据平行线的性质给出角相等或互补．
解： ∵AC∥FD（已知),
∴∠5=∠3（两直线平行，内错角相等） ．
∠1=∠A(两直线平行,同位角相等) ．
∠A+∠7=180°，∠3+∠6=180°．(两直线平行，同旁内角互补) ∵AB∥ED(已知）,
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等） ．
∠A=∠5(两直线平行,同位角相等) ．
∠7+∠3=180°,∠A+∠6=180°．(两直线平行，同旁内角互补）
【例6】 如图,已知AD⊥BC垂足为D，EF⊥BC于F，∠1=∠2, 求证：AB∥DG．
证明：∵AD⊥BC,EF⊥BC，（已知）
∴∠ADC=∠EFD=90°．（垂直定义）
∴EF∥AD，（同位角相等,两直线平行）．
∴∠1=∠DAB(两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠2=∠DAB．（等量代换)
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行)
【本周强化练习】
一、选择
1．在同一平面内有三条直线,如果要使其中两条且只有两条直线平行，那么它们（ ）
（A）没有交点 (B）只有一个交点
（C）有两个交点 （D）有三个交点
2．下列推理正确的是 ( ）
（A）∵AB∥CD，CD∥GH ， ∴EF∥GH
（B）∵AB∥EF，CD∥GH ， ∴EF∥GH
（C）∵AB∥EF,CD∥EF ， ∴AB∥CD
（D）∵AB∥CD，AB∥EF ， ∴GH∥EF
3．平面内三条直线的交点个数可能有 （ ）
(A）1个或3个 (B）2个或3个
（C）1个或2个或3个 （D)0个或1个或2个或3个
二、解答题

1．如图，直线l1上有一点A，
直线l2上有一点B，
(1） 过点A画AC⊥l1
(2) 过点B画BD⊥l2
(3） 过点A作点A到l1的垂线段
(4) 画两点A、B的距离

2．如图,计划把河AB中的水引到P处，灌溉水稻，怎样掘口最近?

3．如右图，若∠1=∠2，∠2+∠6=180°
求证：①a∥b;②c∥d．

4．如图,写出能够推出AB∥CD的条件，至少4条？

5． 如图，已知AB∥CD,求证：∠B+∠D=∠P．
6．互余的两个角的差为20°，求这两个角的度数．

答案
一、1．C 2．C 3．D
二、1．

2．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
在C处掘口最近，根据垂线段最短。
3．① ∵∠2=∠3(对顶角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3(等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
②∵∠2=∠3,∠5=∠6(对顶角相等）
∵∠2+∠6=180°（已知）
∴∠5+∠3=180°（等量代换）
∴c∥d(同旁内角互补,两直线平行）
判定两直线平行,应该想方设法的化为同位角相等,内错角相等，同旁内角互补的证明即可．
4．解: (1）∠3=∠8 （2)∠2=∠7
(3)∠4=∠5 （4）∠1=∠6

(5）∠1+∠5=180° （6）∠2+∠8=180°
(7)∠1=∠8 (8）∠2=∠5
或者是∠4+∠8=180°等．
注意：只要写出其中4个即可．

5．证明：过点P作PF∥AB，
∴∠1=∠B．（两直线平行,内错角相等）
∵AB∥PF，(作图）
AB∥CD,（已知）
∴PF∥CD．(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
∴∠2=∠D．(两直线平行,内错角相等）
∴∠1+∠2=∠B+∠D．
∴∠BPD=∠B+∠D．
即∠B+∠D=∠BPD．
6．55°和35°．
一、填空题（每小题3分，共63分）
1．(2003 年，江西省）图中，∠1 十∠2 ＋∠3 十∠4 = 度．

2．（ 2003 年长沙市）如图，若 AC、 BD 、EF 两两互相平分于点 O，请写出图中的
一对全等三角形（只需写一对即可） ．

3． ( 2003 年，广西)在 △ABC 中,∠A = 120°,∠B = 2∠C ,则∠B = ．
4． ( 2003 年浙江省宁波市）等腰△ABC中，顶角∠A=40°，则一个底角∠B＝ 度．
5． ( 2003 年山东烟台)在如图所示的 4×4 正方形网格中，∠1 十∠2 ＋∠3 十∠4+∠5 十∠6 ＋∠7 = 度．

6． ( 2003 年,湖南省湘潭市)如图，甲乙两地之间要修一条公路,从甲地测得公路的走向是北偏东50°，如果甲、乙两地同时开工，要使公路准确接通，那么在乙地施工应按∠B为 度的方向开工．

7．( 2003 年，新疆生产建设兵团）如图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段,试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．

8．(哈尔滨市， 1999 年）如图∠AOB=∠COD＝90°,
∠AOD=146°，则∠BOC= ．

9．（河北省， 2000年）已知∠A是它补角的3 倍,则∠A = ．
l0．（河南省，2000年)∠1 和∠2 互余,∠2 和∠3 互补，∠1= 63° ，∠3 =

ll．（安徽省，2000年）已知,如图,直线 AB、CD相交
于点O，PE⊥AB于点E ， PF⊥CD于点F，如果∠AOC= 50°， ．
那么∠EPF＝ ．

12．（湖南长沙, 2000年）如图,a / / b ，请你写出其中相等的角 （只写一对）
13．（广西壮族自治区， 2000年）一个角的补角是这个角的 3 倍,这个角的度数为 ．
14 。 （苏州市, 2001 年）如图， AB / / CD ，直线 EF 分别交 AB 、CD于点 E 、F ，ED 平分∠BEF ，若∠1= 72°，则∠2= ．

15．（河南省， 2001 年）一个角的补角比这个角的余角大 度．
16．(河北省， 2001 年）如果∠A = 35°18′， ,那么∠A的余角等于 度．
17．（山西省, 200l 年）如图,直线 a 、 b 被直线c所截,且 a / / b ．若∠l=118° ，则∠2 的度数为 ．

18．（南京市 2002 年）已知：∠AOB =40°，OC 是∠AOB 的平分线,则∠AOC 的余
角= 度．

19．（广州市 2002 年)如图，AB//CD ，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠ECA=
20．（河南省， 2002 年)如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是 ．
21．（南通市， 2002 年)若一个角的余角是67°41′,则这个角的大小为 ．
二、解答题（每小题7分，共28分）

22．（咸宁市, 1999 年）如图，直线AB/ /CD，EF交AB于M ,MN⊥EF 于M，MN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND的度数是多少？
23．（杭州市, 1999年）已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大10°,求这个角的度数．
24．(山东省， 1998 年）如图AB / / CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°,则∠BED的度数是多少?

25．如上图，已知直线 AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC=30°，∠COF=78°,求
∠AOD、∠DOF的度数．

26．（广东，2005)如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2．
三、解答题（9分)：
27．如图所示，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠C=56°，∠3=34°，
求∠BAC的度数．

答案
一、
1．360° 2．△DOF≌△BOE 3．40° 4．20 5．31．5 6．130°
7．略 8．34° 9．135° 10．153° 11．50° 12．∠1=∠5
13．45° 14．54 15．90 16．54．7°（或54°42′) 17．62°
18．70 19．90° 20．60° 21．22°19′
二、22．20° 23．50° 24．78° 25．150°，102°