不定积分的概念及其性质.ppt

Nove.30 Mon.第四章第四章 不定积分不定积分v不定积分的概念及性质；不定积分的概念及性质；v不定积分的换元法；不定积分的换元法；v不定积分的分部积分法；不定积分的分部积分法；v有理函数不定积分有理函数不定积分.微积分产生的原因微积分产生的原因:1.1.求物体在任意时刻的速度和加速度；求物体在任意时刻的速度和加速度；2.2.求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3.3.求最大值和最小值：求最大值和最小值：获得炮弹射程最大的发射角问题；获得炮弹射程最大的发射角问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；4.4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。成的体积，物体重心。.一元函数积分学基本问题一元函数积分学基本问题 由此引出由此引出原函数与不定积分原函数与不定积分的概念；的概念；2.2.计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。累加问题。由此引出由此引出定积分定积分的概念。的概念。.定积分定积分不定积分不定积分Newton Leibnize Newton Leibnize 公式公式(17(17世纪世纪)一个函数的定积分可以通过计算它的原函数一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。而方便的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。原函数的存在性又可以由定积分决定。.1 1 不定积分的概念及其性质不定积分的概念及其性质v原函数及不定积分原函数及不定积分v不定积分的几何意义；不定积分的几何意义；v基本积分表；基本积分表；v不定积分的性质。不定积分的性质。.一一.原函数原函数(primitive function)(primitive function)与不定积分与不定积分定义：定义：.问题：问题：(1)(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)(2)若不唯一若不唯一,它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？.定理：定理：证明：证明：再证它是全部原函数。再证它是全部原函数。.任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量.原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求.的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的的积分曲线积分曲线.二二.不定积分的几何意义不定积分的几何意义.解：解：.简单的初值问题简单的初值问题(initial problem)(initial problem)：.三三.基本积分表基本积分表实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.基基本本积积分分表表是常数是常数););说明：说明：.例例 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2 2）.积分表与微分表不同，不能给出基本初等积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。初等函数的积分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则由导数的运算法则，可得积分的运算法则.四四.不定积分的性质不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）证明：证明：由条件由条件.证明：证明：由条件由条件.解：解：.解：解：.解：解：.解：解：.解：解：.解：解：.解：解：.解：解：由题设由题设.解：.解解:.小小 结结3.3.基本积分表基本积分表(1).(1).5.不定积分的性质不定积分的性质.1.1.原函数的概念：原函数的概念：2.不定积分的概念：不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系.HwHw：p258 1(p258 1(双双),2),2。.思考与练习思考与练习1.1.证明证明 2.2.若若提示提示:提示提示:.3.若若是是的原函数的原函数 ,则则提示提示:已知已知.4.4.若若的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示:已知已知求求即即B?或由题意或由题意其原函数为其原函数为.5.5.求下列积分求下列积分:提示提示:.