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1. 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从0→∞的根轨迹，并写出b=2时系统的闭环传递函数。
(1)
(2)
答案:[提示] 求等效开环传递函数，画根轨迹。(1)分离点坐标：d1=-8.472，d2=0.472(舍)，出射角θp=153.4°；(2)两支根轨迹，分离点的坐标-20

2. 已知系统的开环传递函数为

(1)确定实轴上的分离点及K*的值；
(2)确定使系统稳定的K*值范围。
答案:(1)实轴上的分离点d1=-1，d2=-1/3，对应的K*1=0，K2*=22/27；(2)稳定范围0＜K*＜6

3. 设单位负反馈系统的开环传递函数如下：

(1)绘制系统准确的根轨迹图；
(2)确定使系统临界稳定的开环增益Kc的值；
(3)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。
答案:(1)分离点坐标：d1=-79(舍)，d2=-21；(2)Kc=150；(3)K=9.6

4. 设单位负反馈控制系统开环传递函数已知，要求：
(1)确定产生纯虚根的开环增益K；
(2)确定产生纯虚根为±j1的z值和K*值。
答案:(1)用劳斯判据求临界稳定点得K*=110，化成开环增益K=11
(2)将±j1任一点代入闭环特征方程得K*=30，z=199/30

5. 反馈系统的开环传递函数为

试用根轨迹法确定出阶跃响应有衰减的振荡分量和无振荡分量时的开环增益K值范围。
答案:[提示] 特征根全为负实数时无振荡分量，为复数时有振荡分量

6. 已知系统的特征方程为
(1)s3+9s2+K*s+K*=0 (2)(s+1)(s+1.5)(s+2)+K*=0
(3)(s+1)(s+3)+K*s+K*=0
试绘制以K*为参数的根轨迹图。
答案:[提示] 将带K*项合并，方程两端同除不带K*项的多项式，求出等效的开环传函

7. 已知单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹图。
答案:[提示] 开环极点分布图分离点有3个，不要画错。分离点的坐标为d1=-2，http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=ZF97MiwzfT0tMlxwbWpcc3FydHs2fQ%3D%3D，与虚轴的交点坐标为http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=c197MSwyfT1ccG1qXHNxcnR7MTB9，此时K*=260

8. 已知单位反馈系统的开环传递函数为

(1)画出系统的根轨迹草图(其中根轨迹在实轴上的分离点，根轨迹与虚轴的交点要精确算出)；
(2)用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时K的取值范围；
(3)为使系统的根轨迹通过-1±j1两点，拟加入串联微分校正装置(τs+1)，试确定τ的取值。
答案:[提示] (1)要变为根迹增益的形式画轨迹；(2)当特征根全为负实数时，不超调，范围0＜K＜0.1924 (3)将通过的2个点任意一个代入加入校正环节的闭环特征方程，可求τ=1，K=1

9. 系统结构如下图所示。试画出闭环系统根轨迹，并分析K值变化对系统在单位阶跃扰动作用下响应c(t)的影响。

答案:[提示] (1)注意求出射角和终止角，出射角θp=±60°，180°，终止角θz=135°；(2)当0≤K≤1时，系统不稳定，当K＞1时，闭环系统稳定，随着K的增加，闭环极点左移，阶跃响应加快

10. 系统结构图如下图所示。
(1)绘制以τ为变量的根轨迹；
(2)求系统在欠阻尼状态下的τ值范围。

答案:[提示] 将2个反馈环节看成并联，求等效的开环传递函数，画根轨迹，0＜τ＜5/9

11. 设单位负反馈系统的开环传递函数为

试画出系统根轨迹图，并求出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K。
答案:相应的闭环极点s1,2=-2±j2，K=2

12. 设系统的结构如下图所示。
(1)绘制T从0→∞变化时的根轨迹图；
(2)确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围；
(3)求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。

答案:[提示] (1)画参变量的根轨迹；(2)0＜T＜1；(3)

13. 设系统开环传递函数为

试证明K从0→∞时，根轨迹的复数部为圆弧。并求系统无振荡分量的K值范围。
答案:(α+1)2+β2=1，无振荡分量时K≥3

14. 设系统结构图如下图所示。为使闭环极点位于shttp://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=cz0tMVxwbWpcc3FydHszfQ%3D%3D，试确定增益K和速度反馈系数Kh的值，并以计算得到的K及Kh值为基准值，画出以Kh为变量的根轨迹。

答案:K=4，Kh=0.5

15. 试求下列函数的z变换：
(1)
(2)e(t)=t2e-3t
(3)
(4)
(5)
答案:(1)
(2)
由移位定理得

(3)

(4)

(5)将原函数表达式变换为

由定义z=esT知，式中即为，，对各部分查表，可得

故
[提示] 根据z变换的定义以及z变换的性质，可以用多种方法求出z变换。

16. 试分别用部分分式法、幂级数法和反变换公式法求下列函数的z反变换：
(1)
(2)
答案:(1)
①部分分式法：

e(nT)=-10+10×2n=10(2n-1)

②幂级数法：用长除法可得

e*(t)=10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t-3T)+…
③反变换公式法：

e(nT)=-10×1+10×2n=10(2n-1)

(2)
①部分分式法：

②幂级数法：用长除法可得

e*(t)=-3δ(t)-58(t-T)-7δ(t-2T)-9δ(t-3T)+…
③反变换公式法：

[提示] 熟悉z反变换的基本技能，解决同一问题的方法可以有多种，但结果是相同的。注意在利用部分分式法时，需要对进行部分分式展开，然后再进行反变换。

17. 用z变换法求解差分方程。
(1)c(k+2)-6c(k+1)+8c(k)=r(k)
r(k)=1(k) c(k)=0 (k≤0)
(2)c(k+2)+2c(k+1)+c(k)=r(k)
c(0)=c(T)=0 r(n)=n (n=0，1，2，…，∞)
答案:(1)令t=-T，代入原方程可得c(T)=0。对差分方程两端取z变换，整理得

(2)对差分方程两端取z变换，整理得

[提示] 利用z变换的实平移定理，对差分方程等式两端驭z变换，需要考虑到初始条件的影响。目的是训练如何根据差分方程和初始条件求出输出序列。

18. 设开环离散系统分别如图7-2(a)、(b)、(c)所示，试求开环脉冲传递函数G(z)。

答案:图7-2(a)

图7-2(b)

图7-2(c)

[提示] 当两个连续环节之间有采样开关时[图7-2(a)]，开环脉冲传递函数G(z)等于两个连续环节的分别z变换后相乘；当两个连续环节之间无采样开关时[图7-2(b)]，开环脉冲传递函数G(z)等于两个连续环节相乘之后再取z变换；当连续环节前有零阶保持器时，开环脉冲传递函数为。

19. 求下图所示采样系统的脉冲传递函数和输出z变换表达式。

答案:E(z)=R(z)-C(z)H2(z)
而 D(z)=E(z)G1H1(z)-D(z)G1H1(z)

所以

整理得输出的z变换表达式为

系统的脉冲传递函数为

[提示] 求解复杂离散系统的脉冲传递函数时，由于采样开关在不同位置时，即使各动态环节的传递函数不变，所求的脉冲传递函数也不同，有时，采样开关没置的位置，有可能求不出脉冲传递函数，而只能求出输出的z变换表达式。

20. 下图所示的离散系统，试求其单位阶跃响应(采样周期T=1s)。

答案:系统的开环脉冲传递函数为

闭环系统的脉冲传递函数为

故 =0.368z-1+z-2+1.34z-3+1.34z-4+1.147z-5+0.894z-6+…
对C(z)进行反变换，就可以得到各采样时刻的输出值：
c(0)=0 c(1T)=0.368 c(2T)=1.000 c(3T)=1.340
c(4T)=1.340 c(5T)=1.147 c(6T)=0.894
[提示] 求出开环脉冲传递函数G(z)；由得出C(z)，再利用长除法，得到幂级数形式。

21. 利用劳斯判据分析下图所示二阶离散系统，在改变K和采样周期T时，对系统稳定性的影响。

答案:开环脉冲传递函数为

闭环特征方程为

即 z2+[K(1-e-T)-(1+e-T)]z+e-T=0
令，进行w变换，化简整理后得
[2(1+e-t)-K(1-e-T)]w2+2(1-e-T)w+K(1-e-T)=0
可得如下劳斯表：
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfXdeezJ9JjIoMStlXnstVH0pLUsoMS1lXnstVH0pJkso%0D%0AMS1lXnstVH0pXFwgd157MX0mMigxLWVeey1UfSkmIFxcIHdeezB9JksoMS1lXnstVH0pJiBcZW5k%0D%0Ae2FycmF5fQ%3D%3D
得系统稳定的条件，劳斯表的第一列元素全都大于零，得
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30yKDErZV57LVR9KS1LKDEtZV57LVR9Ke%2B8njBcXCBLKDEt%0D%0AZV57LVR9Ke%2B8njBcXCBL77yeMFxlbmR7YXJyYXl9
解得
[提示] 求出开环脉冲传递函数G(z)；将双线性变换代入闭环特征方程1+G(z)=0；在w平面利用劳斯判据得出K和T的对应关系。

22. 下图所示的采样系统，周期T=1s，e2(k)=e2(k-1)+e1(k)，试确定系统稳定时的K值范围。

答案:由于
e2(k)=e2(k-1)+e1(k)
E2(z)=z-1E2(z)+E1(z)
则
广义对象脉冲传递函数为

开环脉冲传递函数为

闭环特征方程为
1+D(z)G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0
令，进行w变换，化简后得
(2.736-0.632)w2+1.264w+0.632K=0
列出劳斯表如下：
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfXdeezJ9JiAyLjczNi0wLjYzMksgJjAuNjMySyBcXCB3%0D%0AXnsxfSYgMS4yNjQgJjAgXFwgd157MH0mIDAuNjMySyAmIFxlbmR7YXJyYXl9
若系统稳定，必须满足2.736-0.632K＞0，K＞0，即
0＜K＜4.329
[提示] 由图知，，需要将e2(k)=e2(k-1)+e1(k)两边取z变换(利用后向差分的位移定理)；依次求出带有零阶保持器的开环传递函数和闭环特征方程，引入双线性变换，利用劳斯判据列劳斯表即得。

23. 下图所示的采样控制系统，要求在r(t)=t作用下的稳态误差ess=0.25T，试确定放大系数K及系统稳定时T的取值范围。

答案:
因为
所以
由上式求得K=4。
该系统的特征方程为
1+G(z)=(z-1)(z-e-T)+4z(1-e-T)=0
即 z2+(3-5e-T)z+e-T=0
令代入上式得
4(1-e-T)w2+2(1-e-T)w+6e-T-2=0
列出劳斯表如下：
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfXdeezJ9JiA0KDEtZV57LVR9KSAmNmVeey1UfS0yIFxc%0D%0AIHdeezF9JiAyKDEtZV57LVR9KSAmMCBcXCB3XnswfSYgNmVeey1UfS0yICYgXGVuZHthcnJheX0%3D
系统若要稳定，则劳斯表得第一列系数必须全部为正值，即有
1-e-T＞0，T＞0
6e-T-2＞0，T＜ln3
由此得出0＜T＜ln3时，该系统是稳定的。
[提示] 求出开环脉冲传递函数G(z)；由稳态误差ess=0.25T，利用终值定理(或误差系数)得到K值；将双线性变换代入闭环特征方程1+G(z)=0，进而得T的对应关系。

24. 下图所示的采样控制系统，K=10，T=0.2s，。求系统的稳态误差。

答案:系统的开环脉冲传递函数为

将T=0.2s代入得

闭环特征方程为
D(z)=z2-0.8z+0.2
求得特征根为
z1,2=0.4±j0.2
由于|z1,2|＜1，故系统稳定。
方法1：由开环传递函数可知，系统为Ⅱ型系统，可以求出如下系数。
位置误差系数
速度误差系数
加速度误差系数
所以系统的稳态误差为

方法2：误差脉冲传递函数为

由
求得系统稳态误差为

[提示] 由图知，在求开环脉冲传递函数G(z)时，应将两个反馈通路等效变换。求稳态误差前，要先判断系统稳定性。关键是求出闭环系统的开环脉冲传递函数。

25. 所示的某单位负反馈离散控制系统如下图所示，采样周期T=1s，输入r(t)=1(t)，试求：
(1)输出z变换C(z)；
(2)采样瞬时的输出响应c*(t)；
(3)输出响应的终值c(∞)。

答案:(1)开环脉冲传递函数：

闭环脉冲传递函数为

因，故

(2)将C(z)展开成幂级数形式，可得
C(z)=0.16z-1+0.49z-2+0.94z-3+1.42z-4+…
对上式取z反变换，得
c*(t)=1.16δ(t-T)+0.49δ(t-2T)+0.94δ(t-3T)+1.42δ(t-4T)+…
(3)先判断系统的稳定性。闭环系统特征方程为
z3=1.8464z2+1.0518z-0.0067=0
求得特征值为
z1,2=0.9167±j0.4331，z3=0.0066
由于|z1，2|=1.0138＞1，所以闭环系统不稳定，无法求出输出响应的终值c(∞)。
[提示] 由连续传递函数得到开环脉冲传递函数，采用适当的方法求得输出脉冲序列和应用终值定理求得输出终值。