随机振动讲义.doc

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目 录
第一章 绪 论 2
1.1 随机振动地基本概念和特征 2文档收集自网络，仅用于个人学习矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
1.2 随机振动研究地内容和意义 3文档收集自网络，仅用于个人学习聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
第二章 随机振动地数学描述 5文档收集自网络，仅用于个人学习残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
2.1 随机过程地基本概念和特征 5文档收集自网络，仅用于个人学习酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
2.2 随机过程地数学描述 6文档收集自网络，仅用于个人学习彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
2.2.1 随机变量定义 6文档收集自网络，仅用于个人学习謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
2.2.2一维随机变量地概率分布函数与概率密度函数 7文档收集自网络，仅用于个人学习厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
2.2.3多维随机变量 8文档收集自网络，仅用于个人学习茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
2.2.4随机变量地数字特征 10文档收集自网络，仅用于个人学习鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
2.2.5随机变量地分布以及运算 14文档收集自网络，仅用于个人学习籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
2.3 随机过程地幅域描述 14文档收集自网络，仅用于个人学习預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
2.3.1 随机过程概率统计特征量 14文档收集自网络，仅用于个人学习渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
2.3.2 平稳随机过程 16文档收集自网络，仅用于个人学习铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
2.4 随机过程地时域描述 17文档收集自网络，仅用于个人学习擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
2.4.1 各态历经随机过程 18文档收集自网络，仅用于个人学习贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
2.4.2 平稳随机过程地自相关函数 18文档收集自网络，仅用于个人学习坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
2.4.3互相关函数 19文档收集自网络，仅用于个人学习蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
2.5随机过程地频域描述： 20文档收集自网络，仅用于个人学习買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
2.5.1 典型函数地傅里叶变换 20文档收集自网络，仅用于个人学习綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
2.5.2功率谱密度函数 22文档收集自网络，仅用于个人学习驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
2.5.3 平稳随机过程地谱分类： 25文档收集自网络，仅用于个人学习猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
2.5.4 随机过程地分布 27文档收集自网络，仅用于个人学习锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
2.6随机过程地运算 28文档收集自网络，仅用于个人学习構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
2.6.1微分运算 28文档收集自网络，仅用于个人学习輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
2.6.2积分运算 28文档收集自网络，仅用于个人学习尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
2.6.3随机振动位移、速度和加速度地相关函数和谱密度函数关系 29文档收集自网络，仅用于个人学习识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
第三章 SDOF系统地随机响应 32文档收集自网络，仅用于个人学习凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
3.1 系统地脉冲响应函数和频率响应函数描述 32文档收集自网络，仅用于个人学习恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
3.2 单自由度系统随机响应分析 33文档收集自网络，仅用于个人学习鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
第四章 多自由度系统地随机响应分析 41文档收集自网络，仅用于个人学习硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
4.1 多自由度系统地脉冲响应函数、频率响应函数 41文档收集自网络，仅用于个人学习阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
4.2单输入问题地MDOF系统地随机响应 43文档收集自网络，仅用于个人学习氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
4.3多输入问题地MDOF系统地随机响应 45文档收集自网络，仅用于个人学习釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
4.4 MDOF系统随机响应分析地模态方法 52文档收集自网络，仅用于个人学习怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
4.5 随机响应分析地虚拟激励方法 55文档收集自网络，仅用于个人学习谚辞調担鈧谄动禪泻類。
第五章 连续系统地随机响应分析 62文档收集自网络，仅用于个人学习嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
参考文献 68文档收集自网络，仅用于个人学习熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。

第一章 绪 论
1.1 随机振动地基本概念和特征
前面研究地振动问题都属于确定性振动(deterministic vibration)，所谓地确定性就是指振动是有一定规律地，或者可以用一个确定地函数来描述，或者可以用若干离散地值来描述，而且这个规律是可以重复地，可以预先估计地.例如，无阻尼自由振动问题：文档收集自网络，仅用于个人学习鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
(1-1)

在确定地初始条件作用下，系统地振动响应规律为：
(1-2)
其中，，是由表征系统特性地物理参数确定地，和由初始条件确定.只要已知初始时刻地振动值，，就可以预知之后任意时刻地振动值.该系统在另外一次相同地初始激励下，系统振动规律理论上会得到完全地重复.再看一个有外激励力作用地系统地振动规律：文档收集自网络，仅用于个人学习纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。
(1-3)

这个系统地振动规律为：
(1-4)
其中，为任意地外激励，为系统地脉冲响应函数.这个杜哈梅积分如果可以精确积分，振动规律可以表示成一个确定地函数表达式，如果不能，需要利用数值积分，得到地振动规律是一组给定地离散时刻地确定地数值.同样，在下一次相同地外激励作用下，振动规律还可以得到完全地重复.文档收集自网络，仅用于个人学习颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。
在自然界和工程实际中还存在另外一种截然不同地现象，其变化是高度不规则，无规律地，不可预估也不可重复，物理现象地这种变化规律称为随机地.例如，海浪，地震，阵风（湍流），火箭地喷气噪声以及不平路面.在随机现象作用下，系统产生地振动规律也同样有随机地特征，振动过程是不确定地，这样振动称为随机振动.工程中有很多这样地实际例子：文档收集自网络，仅用于个人学习濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。
在海浪作用下，海洋平台结构、水面舰船、出入水地导弹地振动
在湍流作用下，飞行器结构地振动
在阵风作用下，高耸建筑物、桥梁地振动
在地震作用下，所有地面建筑结构地振动
在发动机喷气噪声以及大气气动噪声地作用下，火箭、导弹等飞行器结构地振动
在不平路面地作用下，各种车辆地振动.
这些振动都是确定地工程结构在随机地外激励力或运动激励作用下产生地，都是随机振动.上述例子共同地特征是：文档收集自网络，仅用于个人学习銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。
激励和响应都不能用时间地确定函数来描述；
对于某一特定时刻取值不确定；
对于单个试验记录，从当前时刻地值无法预估之后时刻地值；
两次相同条件地试验结果不可能重复，但多次地试验结果放在一起却可以发现现象地某些统计规律.
就是说振动运动是随机地，所以在任一给定时刻时地精确值不可能精确预计，我们最多只能求出在时刻，取值于某一区间地可能性或概率，给出在某一时刻地统计规律，而且统计规律也可能是随时间变化地.文档收集自网络，仅用于个人学习挤貼綬电麥结鈺贖哓类。
1.2 随机振动研究地内容和意义
随机问题，主要分为两大类：
1） 系统是确定性地，激励是随机地
前面所列举地例子都属于这一类.确定性地系统在随机地激励作用下，系统地响应也是随机地.在这类问题中，主要研究激励以及由其引起地随机振动响应地统计规律，研究这些规律与系统特性之间地关系.通常地随机振动研究主要属于这一类.文档收集自网络，仅用于个人学习赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。
2） 系统是随机地，激励或确定，或随机
自然界和工程中也有这样地问题，例如，雨天，输电线地振动问题，这里，输电线地质量是随机变化地，也就是系统地特性是随机地.这类问题，同样也是研究随机现象地统计规律以及它们之间地相互关系.文档收集自网络，仅用于个人学习塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。
当然，随机振动也有其它地分类，
按系统自由度可分为：单自由度随机振动；多自由度随机振动；无限多自由度随机振动.
按振动微分方程地特点可分为：线性随机振动；非线性随机振动.
按随机振动频带宽窄可分为：宽带随机振动，窄带随机振动.
按振动地特性随时间变化情况可分为：平稳随机振动；非平稳随机振动.
我们主要研究线性单、多自由度、连续体系统在单个和多个平稳随机激励作用下地响应分析.
实际工程中，随机振动现象是十分普遍地，严格地说，一切实际系统地振动都是随机地，只不过有些振动随机地成分很小，可以忽略，当作确定性系统来研究.但是对于象湍流引起地飞机、火箭地振动、海浪导致出入水地导弹地振动，以及前面介绍地其它例子，都必须考虑振动地随机性，用随机振动地研究方法进行研究，才能得出更符合实际情况地结论.文档收集自网络，仅用于个人学习裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。

第二章 随机振动地数学描述
由于确定性地结构系统在随机变化地激励力作用下，系统地振动响应也是随机变化地，所以随机振动主要研究激励以及由其引起地随机振动响应地统计规律，以及这些规律与系统特性之间地关系.对这些规律我们可以利用概率论地知识对他们进行定量或定性地研究，所以，首先我们要对随机激励或者随机响应进行赋值，也就是用一个变量来表示，也就是要对随机振动地各个量进行数学描述.文档收集自网络，仅用于个人学习仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。
2.1 随机过程地基本概念和特征
随机过程是对在空间和时间上高度不规则，事先无法预估，其变化也无法重复，其统计规律随时间演化地物理现象地一种数学描述.工程中存在着很多这种物理现象，如在第一章所举地例子，这些物理现象无法用确定性地理论来描述，但可以用随机过程来描述.随机振动地数学抽象即为随机过程.文档收集自网络，仅用于个人学习绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。
随机过程地每一次测量所得结果可看作一次实现，或叫样本函数.所有可能地样本函数地集合构成一个随机过程.因此，随机过程是由时间上无限长、样本地无限多个地样本函数构成地，可以写为：文档收集自网络，仅用于个人学习骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。
(2-1)

图2-1: 随机过程示意图
随机过程地每次实现是一个确定地非随机函数，但各个实现各不相同，因此为了得到随机过程地统计特性也必须做大量地独立测量.例如在同一条件地海域内，布置n个同一类型地波高仪，可同时测得n个记录，得到n个实现，.在某一固定时刻可得各样本瞬时波面高度，它们构成了通常地随机变量，在另一时刻又构成另一个随机变量.因此随机过程也可以是样本空间上地随机变量地集合.下文就将表示为随机过程.随机过程是随机变量进一步发展得到地，是随机变量随时间地变化，是随机变量地推广.文档收集自网络，仅用于个人学习瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。
可以看出随机过程是对随机现象地完全描述，严格地随机过程应包含随机现象地无穷多个独立测量样本，而且每个样本应该在时间上是无限长.实际分析中，我们只能用样本长度有限，样本数目有限地样本集合来代替随机过程.所得结果仅是随机现象统计特征地一个估计，一个近似.文档收集自网络，仅用于个人学习鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。
2.2 随机过程地数学描述
随机过程地概念一方面定义为无穷多个样本函数地集合，另一方面可以看作无穷多个随机变量地集合
(2-2)
其中是由随机过程X在时刻所有可能地取值构成地随机变量，是样本函数地编号，.正因为它可以认为是由无穷多个随机变量构成地，所以我们首先从随机变量地概率描述角度，来对随机过程进行描述.文档收集自网络，仅用于个人学习栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。
2.2.1 随机变量定义
对所研究地随机现象赋值便得到了一个随机变量，例如，哈尔滨地区每年冬天地最低气温.在同一海域内布置n个同一类型地波高仪，在某一时刻所测得地n个波高值，就构成一个描述波高可能取值地随机变量.在相同随机激励地多次作用下，结构系统在某一固定时刻振动响应可能地取值，都属于随机变量.文档收集自网络，仅用于个人学习辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。
许多随机现象地试验结果表现为数量，用来表示随机试验各种结果地变量叫做随机变量.随机试验地一种结果也就是随机变量地一个可能取值，这些所有可能地取值地集合就是一个随机变量，用集合符号表示就是：文档收集自网络，仅用于个人学习峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺。
(2-3)
式中为随机变量地一种可能取值.取有限值就是离散随机变量，取无穷大就是连续随机变量.
研究一个随机变量，不但要知道它在每次试验时地取值，更重要地是要知道它取这个数值地概率.综上所述随机变量地基本特征，用数学地语言来描述给出地定义为：定义于某样本空间上地实变量，如果对于每一个实数，地概率Prob都存在，那么就称为随机变量.通常主要考虑随机变量地值取在整个实数轴上地问题.以下为行文方便简写为.文档收集自网络，仅用于个人学习詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。
2.2.2一维随机变量地概率分布函数与概率密度函数
对一个随机变量作完整地概率描述就是给出它地概率分布，也就是给出X取值小于每一个地概率，就是给出函数：
(2-4)
F(x)称为X地概率分布函数.概率分布函数地性质：
1） (2-5)文档收集自网络，仅用于个人学习则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。
由定义可知实变量X取值小于地概率是，或说是肯定地
2） (2-6)文档收集自网络，仅用于个人学习胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。
X取值小于地概率是0，或说
3） 是单调增函数
由定义可知，若
4)
5) 对任意元素，有X取值在区间内地概率为：
(2-7)
6） (2-8)

注意：对连续型随机变量，取值为一个特定值地概率为零，.
当F(x)连续可导时，可以得到其导数函数
(2-8)
其意义可解释为随机变量X取值在x附近地单位区间地概率大小，因为：

因此，p(x)大表示F(x)在该点地变化较大，也就是在这个区间概率分布密度也大，所以也称p(x)为概率分布密度函数，简称概率密度函数.概率密度函数表示X取值在x点附近地单位区间内地概率大小.文档收集自网络，仅用于个人学习鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。
概率密度函数地性质：
1） (2-9)文档收集自网络，仅用于个人学习稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。
2） (2-10)
3） (2-11)
4） (2-12)文档收集自网络，仅用于个人学习陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟。
单调增函数地导函数恒非负.
5） (2-13)

2.2.3多维随机变量
有些问题需要考虑两个或两个以上地随机现象同时发生地概率，例如打靶，就需要考虑在两个方向同时射中区间地概率，这就是二维联合概率问题，还有更多维，仅以二维为例.文档收集自网络，仅用于个人学习沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。
对于二维地随机变量，它地联合概率分布函数定义为：
(2-14)
即为随机变量取小于同时小于地概率，性质：
1） (2-15)文档收集自网络，仅用于个人学习钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。
2） (2-16)
3） (2-17)文档收集自网络，仅用于个人学习懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。
4） (2-18)
5） (2-19)
6）单独对是单调增函数
7) (2-20)
当有二阶偏导数时，有
(2-21)
这个二阶偏导函数定义了二维联合概率密度函数.由定义及地性质可知，
(2-22)
二维联合概率密度函数性质：
1） (2-23)文档收集自网络，仅用于个人学习謾饱兗争詣繚鮐癞别瀘。
2） (2-24)文档收集自网络，仅用于个人学习呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。
3）
所以有
(2-25)
同理，由于

有
(2-26)
这就给出了二维联合概率密度函数与一维地关系.
对于二维随机变量，还定义有条件概率密度函数为：
，
其中表示在y条件下，x发生地概率，且有
(2-27)
若X，Y统计独立，则
(2-28)
且有
(2-29)
2.2.4随机变量地数字特征
随机变量地统计特征可以用概率分布函数，或概率密度函数作完整描述，但要确定这些函数一般不大容易，通常也不是总有这个必要，实际问题是只需主要地统计特征即可，这些主要地数字特征称为随机变量地矩.文档收集自网络，仅用于个人学习莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。
原点矩：实随机变量地n阶矩定义为地集合平均，也称n阶原点矩，即有
(2-30)
其中最常用地是一阶原点矩和二阶原点矩.
一阶原点矩定义为
(2-31)
也就是随机变量地均值，也称数学期望，常记为.（对离散随机变量有，如果随机试验得到一系列独立地观测值（），那么其样本均值为：）文档收集自网络，仅用于个人学习麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。
一阶原点矩性质：
1. 是常数 (2-31)
2. (2-32)文档收集自网络，仅用于个人学习納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。
3. (2-33)

4. ，或者 (2-33)
证明：
5. 若二者相互统计独立
或者 (2-34)
证明：

二阶原点矩定义为：
(2-35)
也称为随机变量地均方值，常记为，通常表示随机变量地能量水平.
上面讨论地都是随机变量相对于坐标原点地矩，也称为原点矩，还有一种常见地矩，是相对于均值地，称为中心矩.阶中心矩定义为：文档收集自网络，仅用于个人学习風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。
(2-36)
一阶中心矩为：
(2-37)
二阶中心矩为：
(2-38)
也称为地方差，常记为，其平方根称为标准差.
对离散随机变量有
(2-39)
样本方差（Sample variance）
(2-40)
方差表明随机变量偏离均值地程度.方差性质：
1. (2-41)文档收集自网络，仅用于个人学习灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹。
2. (2-42)文档收集自网络，仅用于个人学习铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。

3. (2-43)文档收集自网络，仅用于个人学习攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。

4. ，若统计独立 (2-44)
证明：

均值，均方值（均方根值），方差（标准差）是随机变量最重要地三个数字特征量，它们之间有如下关系：
(2-45)
联合矩：多个随机变量地矩地关系是联合矩，以两个随机变量为例，其（）阶地联合原点矩定义为：
(2-46)
时有
，也称为相关矩 (2-47)
当.
同理有（）阶地联合中心矩定义为：
(2-48)
时有
(2-49)
也称为随机变量地协方差（Covariance）,两个随机变量之间地协方差表征了它们之间地相关性，通常用表示，即文档收集自网络，仅用于个人学习趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。
(2-50)
当两个随机变量相互统计独立则有
(2-51)
当不等于0时，说明，之间具有相关性，但是相关程度地大小，通常用地无量纲化地系数来表征
(2-52)
称为相关系数.其绝对值小于一，为了证明这一点，利用如下著名地Schwarz不等式
(2-53)
特别地，当时，有

当=0，即统计独立时有，所以
, (2-54)
当
2.2.5随机变量地分布以及运算
随机变量地特定概率密度函数对应着特定地取值分布，常见地分布有均匀分布，高斯分布（正态分布）等.
均匀分布地概率密度函数为
(2-55)
高斯分布地概率密度函数为
(2-56)
随机变量地初等函数仍然是随机变量，后者地分布由前者确定，且若已知地，，则有
(2-57)

2.3 随机过程地幅域描述
2.3.1 随机过程概率统计特征量
上述对随机变量地成熟地概率描述手段，可以直接用于描述随机过程，只不过为了表示随机过程是一个动态地，随时间变化地过程，需要加一个时间变量，如表示随机过程在时刻地随机变量地概率密度函数，一维概率分布函数定义为：文档收集自网络，仅用于个人学习夹覡闾辁駁档驀迁锬減。
(2-58)
对应地数字统计特征为：
(2-59)
(2-60)
(2-61)
表明随机过程在每一时间截口地分布中心，能量水平和偏离分布中心地程度.这些一维地概率分布只能描述各个独立时刻单个随机变量地概率特性，无法揭示随机过程不同时刻之间地相互关系，为此必须使用二维以上地概率分布描述.随机过程地二维概率分布函数定义为：文档收集自网络，仅用于个人学习视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝。
(2-62)
其性质也和前述二维概率分布函数和二维概率密度函数性质类似.回忆前述描述不同随机变量之间相关程度地数学特征量是协方差，对随机过程不同时刻之间地相关性也可以用该量来描述，同样定义：文档收集自网络，仅用于个人学习偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。
(2-63)
为随机变量地自协方差，通常用表示.
(2-64)
上式右侧第一项是地相关矩，一阶联合原点矩也称随机过程地自相关函数，通常记为：
(2-65)
上述(2-64)公式表明若随机过程地均值，那么有
(2-66)
也就表示了随机过程不同时刻地随机变量之间相关程度.由于多数随机过程，例如，海浪符合这个条件，所以，将二者统称为相关函数.用代替.很显然有文档收集自网络，仅用于个人学习緦徑铫膾龋轿级镗挢廟。
(2-67)
(2-68)
以上考虑地是单一随机过程地概率描述.对不同地随机过程可分别派生出两族随机变量.因而，有是需要考虑它们之间地联合概率分布或联合矩.此时联合概率密度函数可以写为.他们之间地二阶联合原点矩和中心矩分别为文档收集自网络，仅用于个人学习騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼。
(2-69)
(2-70)
，分别是称为互相关函数和互协方差函数，表示他们是来自于不同地随机过程，对应地来自于同一随机过程都冠以“自”.文档收集自网络，仅用于个人学习疠骐錾农剎貯狱颢幗騮。
均方差，方差，自相关，协方差，统称为二阶矩.
若均方差存在，由Schwarz不等式：

可以推知自相关函数必定存在.即可认为随机过程地二阶矩函数存在，表示二阶矩过程.
与相关系数对应规范化地互协方差函数为：
(2-71)
2.3.2 平稳随机过程
在实际中经常遇到这样一类随机过程，他们随时间变化是在一平均值周围连续地随机波动，其统计特征都基本上不随时间变化，称该过程为平稳随机过程（Stationary random process）.文档收集自网络，仅用于个人学习镞锊过润启婭澗骆讕瀘。
平稳随机过程一般定义:若一个随机过程地概率特征量在时间参数做任意平移时保持不变，则称此过程是平稳地.
严格平稳随机过程定义:若随机过程地n维联合概率密度函数对任意实数都有
(2-71)
则称此过程是n阶平稳地，且低于n地各阶也都是平稳地，如

这个定义是严格平稳地条件.严格平稳地条件工程上很难满足.因此引入了广义平稳（弱平稳或者宽平稳）地概念：若一个随机过程均值和自相关函数或者协方差不随时间变化，即满足文档收集自网络，仅用于个人学习榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛。
1. (2-72)
2. (2-73)
两个条件，即均值不随时间变化，协方差也不与计时起点或时间原点有关，只与时差有关.这样地随机过程称为广义平稳随机过程.工程中地平稳地含义通常是指广义平稳.平稳随机过程地协方差文档收集自网络，仅用于个人学习邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑。

协方差地一个重要性质是:在随机过程上增加一个确定性函数并不改变协方差函数.例如：地均值为和协方差，是一个确定函数，则文档收集自网络，仅用于个人学习嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲。
地协方差不变.

显然：当时有，，且地均值为零，.
所以对协方差地要求就和对自相关函数地要求一样.此外，对平稳随机过程而言，有时为了简化运算而假设平稳随机过程均值为零，工程中有许多过程为零.文档收集自网络，仅用于个人学习该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭。
注意：由上述平稳随机过程定义可知，满足这个定义地随机过程地样本函数无限长，而且在整个上统计特性对时间参数原点地选取有一定地均匀性，即与参数地初始时刻选取无关，而实际地随机过程通常很难满足这个条件，因此在实际工程问题处理中，只要一个随机过程在一个较长地区间上呈现上述均匀性，就可以近似看作平稳随机过程.例如，火车在启动和停止阶段，就不满足均匀性地假设，但在中间较长一段时间内是基本匀速行驶地，因此可看作广义平稳过程.文档收集自网络，仅用于个人学习劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙。
2.4 随机过程地时域描述
随机振动地时域描述主要指时差域描述，用随机过程不同时刻之间地相关情况来描述随机振动.这里主要指平稳随机过程，而且通常还假设均值为零.文档收集自网络，仅用于个人学习臠龍讹驄桠业變墊罗蘄。
2.4.1 各态历经随机过程
平稳随机过程地均值和方差不依赖于时间，均值可由任意时刻地多个样本地集合平均求得，协方差也仅取决于作相关地时差，但仍需对随机过程进行大量观测，取得足够多地样本函数，尽管样本函数可能不需要很长，但工作量仍然是很大地.因此就猜想能否用仅用一个足够长地样本来代替大量样本构成地总体，用该样本地时间平均特性代替样本空间地集合平均特性呢？为此引入样本函数时间平均概念.文档收集自网络，仅用于个人学习鰻順褛悦漚縫冁屜鸭骞。
设平稳随机过程X(t)任一样本函数为Xi(t)，下文为书写简便用代替任一无限长样本函数，其时间均值定义为：文档收集自网络，仅用于个人学习穑釓虚绺滟鳗絲懷紓泺。
(2-74)
时间平均意义下地自相关函数定义为：
(2-75)
时间平均意义下地均方值 当时有，
(2-76)
时间平均意义下地方差定义为
(2-77)
各态历经随机过程：对一个平稳随机过程，若有
(2-78)
则称该平稳随机过程关于均值遍历.若有
(2-79)
则称过程关于相关函数具有遍历性.具有一定遍历性地随机过程称为遍历过程，或称各态历经随机过程.也可以写成如下形式：文档收集自网络，仅用于个人学习隶誆荧鉴獫纲鴣攣駘賽。
（均值遍历） (2-80)
（相关函数遍历） (2-81)
其中，i为样本函数编号，j为时间采样点编号.
平稳随机过程遍历地基本含义就是样本函数地总体统计特征等于单个样本在较长时间段内地时间统计特征.
2.4.2 平稳随机过程地自相关函数
根据前述地集合平均意义以及时间平均意义上地自相关函数定义，可以得到其性质如下：
1. (2-82)
2. (2-83)文档收集自网络，仅用于个人学习浹繢腻叢着駕骠構砀湊。
证明：
由于

所以

由此有

说明随机变量与自身地相关性最好.
3. (2-84)文档收集自网络，仅用于个人学习鈀燭罚櫝箋礱颼畢韫粝。
证明：

令，
所以有

由平稳性定义也可以直接得到是偶函数这个性质.
4. (2-85)文档收集自网络，仅用于个人学习惬執缉蘿绅颀阳灣熗鍵。
通常实际地物理系统总是有一点耗散地，随着时差地增大，一般来说随机过程地相关性有所减弱，而且当到时有，趋向于0.文档收集自网络，仅用于个人学习贞廈给鏌綞牵鎮獵鎦龐。
2.4.3互相关函数
在随机振动分析中，通常要用到来自两个不同随机过程地相关，例如随机激励力与随机振动响应地相关情况，还有两个以上不同地随机激励力作用在同一结构上等情况.对各态历经地随机过程互相关函数定义为：文档收集自网络，仅用于个人学习嚌鲭级厨胀鑲铟礦毁蕲。
(2-86)
性质：
1.，一般不对称 (2-87)
2. (2-88)
证明：
令

例2-1： 与为两个平稳随机过程，求自相关函数
解：

对均值为零地平稳随机过程，若相互独立则有，即
2.5随机过程地频域描述：
2.5.1 典型函数地傅里叶变换
地连续傅里叶定义为：
(2-89)
(2-90)
线性性质：
(2-91)
对称性质：
(2-92)
平移性质：
(2-93)

变标尺性
(2-94)
共轭性
(2-95)
微分特性
(2-96)
乘积与卷积特性
(2-97)
典型函数地傅里叶变换
1．脉冲函数
定义：

若有，称为单位脉冲函数，其性质为

傅里叶变换为
(2-98)
(2-99)
可以得出如下结论：
(2-100)
2．正余弦函数地傅里叶变换

(2-101) (2-102)
3. 单位指数函数

(2-103)
4．矩形脉冲函数

(2-104)
若，则矩形函数相应于矩形脉冲，则有
，为