高考数学一轮复习 新课标版 文科 选修4系列.pdf

选考部分选修4系列课内导航OOOO9999OOOO课前自助餐授人以渔选修4孑坐标系与参数方程 第1课时坐标系复习要求1.理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化2能在 极坐标系中给出简单图形（直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.课前自助餐【回归教材】1极坐标系在平面内取一个定点0,叫做 极点：自极点0引一条射线Ox,叫做极轴：再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方 向），就建立了极坐标系.点的极坐标设M是平面内一点，极点。与点M的距离10M叫做点M的极径，记为p；以极轴。尤为始边，射线为终边的角九0M叫做点M的极角，记为夕有序数 对S，。）叫做点”的极坐标，记为MS，。）一般地，不作特殊说明时，我们 认为。可取任意实数.闻 极坐标与直角坐标的互化在平面直角坐标系九Oy中，以。为极点，九轴的正半轴为极轴，取相同的长 度单位，建立极坐标系.设点尸的直角坐标为(%,y),它的极坐标为。),则 X=OCOS-,p2=N+y2相互转化公式为L=1一 一 sin”_,_.常用简单曲线的极坐标方程曲线形状（特征）极坐标方程过极点且与极轴成。角的直线0=a（pR）过（，0）（0）且垂直于极轴的直线pc o s 9=4过,，2）且平行于极轴的直线psin。=b过So，册）且与极轴成。角的直线/?sin（a_0）=p（）sin（x一优）圆心在极点，半径为r的圆P=r圆心在（，0）（0）,半径为的圆=2c o s/JI圆心在a,/（0）,半径为的圆=2sin 8圆心在So，o），半径为r的圆p12/o 夕 c o s（9。0）+P qr20闻求曲线的极坐标方程的基本步骤第步.建立适当的极坐标系.第二步：在曲线上任取一点尸S，夕）；第三步：根据曲线上的点所满足的条件写出等式：第四步：用极坐标2，e表示上述等式，并化简得极坐标方程第五步：验证所得的方程是曲线的极坐标方程.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“或X”).(1)点尸在曲线C上，则点尸的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.(2)t an 0=1与。=彳表不同一条曲线.3兀(3)点P的直角坐标为(一地，a/2),那么它的极坐标为(2,丁).(4)过极点且倾斜角为a的直线的极坐标方程可表示为e=a(pR)或。=冗+a(pR)(5)圆心在极轴上的点(m 0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为=2sin W答案(1)X(2)X(3)V(4)V(5)X3 ji2.(课本习题改编)将极坐标2,亏化为直角坐标为(B)I 乙)A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)3兀 3兀解析 x=pc o s d=2c o s_=0,ypsin 9=2sin 2,故选 B.3.在极坐标系中，圆/、jiA.1,2JC.(1,0)2sin8的圆心的极坐标是（B）兀B.1,一7I 乙）D.（1,兀）解析 方法一：由=-2sin，得/=2/sin。，化成直角坐标方程为f+y2=-2yf化成标准方程为2+（y+i）2=i,圆心坐标为（0,-1）,其对应的极 坐标为1,I 2）、3T JT 方法一：由=-2sin 9=2c o s 0+,知圆心的极坐标为1,故 选B.JI4.在极坐标系中，过点2,才且与极轴平行的直线方程是(d)JTA.P=0 B.9C.夕 c o s。=2 D.夕 sin 9=2/、ji解析 极坐标为2,丁的点的直角坐标为(0,2),过该点且与极轴平行的直 乙)线的方程为y=2,其极坐标方程为sin 0=2,故选D.5.在极坐标系中，曲线G：=2与曲线Q：p=4sin 5兀）极坐标是。6）.3T。（了 0叮）交点的解析 由题意分析可得，曲线G是圆心为（0,0）,半径为2的圆，曲线G的方程为d+，=4.对=4sin。变形得2=42sin所以曲线。2的方程为d+y 2=4y.联立两个方程，解得=或=JI L 1又。兀，交点为（一3，1），转化为极坐标夕=2,t an。=二，5 ji则夕=/，所以交点的极坐标为,授人以渔题型一 极坐标方程与直角坐标方程的互化例1直角坐标方程与极坐标方程互化.(l)/=4x；(2)/+?-2%-1=0；兀 9 9(3)。=丁S 金 2；(4)pc o s2y=1；9 1(5)c o s 2 9=4;(6)p=2_c o s g.【解析】将九=c o s 9,y=psin夕代入，=4%，得(psin。y=42c o s夕.化简得 psin26=4c o s 9.(2)将九=/c o s 0,y=psin。代入2+工2一2%一1=0,得(/11)2+(pc o s)22pc o s 1=0,化简得2-2,c o s 1=0.(3)当尤W0时，由于t an夕=，故t anw=y,化简得、=小工(尤0);JC J JCL 兀，当尤=0时，y=0.显然(0,0)在丁=1%上，故9=7(pR)的直角坐标方程(4)因为Co s24=l,所以.1+c；-=1,即+COS。=2,所以小十打 乙 乙+尤=2,化简得2=4(尤一1).(5)因为p2c o s 2 9=4,所以 p2c o s2 9 p2sin2 夕=4,即 x2y2=4.(6)因为p=2_；oJe，所以22一c o s。=1,因此2炉工了一%=1,化简得 3f+4y 22x1=0.【答案】(l)psin2 9=4c o s 6(2)p22pc o s 9 1=0(3)y=5x(4)/=-4(x-l)(5)x2-y2=4(6)32+4产2x1=0状元笔记直角坐标方程与极坐标方程互化的方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式%=pc o s。及y=psin。直接 代入并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如。c o s%o sin的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方 是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变 形过程的检验.,送用考题15兀2，MJ；若点p的直角坐标为（1,一，）,则点p的极坐标为（2）若点尸的极坐标为3,z，则点尸的直角坐标为2，2）；【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，所以它们之间可以互化,则x=pc o s 9，.A 或i y=psm 0pt an 9=(x WO).x尤=1,尸一小，r-5以故=2,t an J=一弋3,夕=.故极坐标为2,ji(2)p=3,9=X，故尤=c o s 9=y=sin 9=-2.从而点尸的直角坐标为殍，一早5以）3/2，JI I 91 31 31判断点A 2,五，3 3,丁，C2,7是否在直线9=zSR)上;JI(4)求直线9=tSR)和p=2的交点的极坐标.-J【解析】（3）方法一：点a和点。的极坐标都满足方程所以（、itA,。两点都在直线上.点5的极坐标不满足方程，但点3与3,五表示同一个点，所以点5也在直线上.方法二：三个点的直角坐标分别为4啦，豆），B邛,）,c（T，-L JI柩,直线9=X SR）的直角坐标方程为y=心 显然三点都在直线上.JI JI（4）方法一：显然0,j是一个交点，由于圆2=2和直线e=w SR）都关（5于极点对称，所以另一个交点是2,JI方法二：直线9=aSR）的直角坐标方程为y=x,圆p=2的直角坐标方程为d+y 2=%解得交点的直角坐标为A（啦，a/2）,B（a/2,一啦），化为极坐标是A2,彳，B2,.今J I 今JJl S j（【答案】在（4）2,7，2,才题型二 直线、圆的极坐标方程(、JI例2 圆心。的极坐标为2,1，且圆。经过极点.求圆。的极坐标方程；(2)求过圆心。和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.【解析】(1)圆心C的直角坐标为(g,a/2),则设圆C的直角坐标方程为(%也y+(y啦依题意可知/=(o啦y+(o也)2=%故圆。的直角 坐标方程为(九一地y+(y啦)2=4.即f+y 2 2、&九+y)=0,化为极坐标方程为 p22也夕(sin 9+c o s。)=0,即2=2g(sin 9+c o s。).(2)在圆。的直角坐标方程f+，一2&(x+y)=0中，令y=0,得f25=0,解得尤=0或2啦.于是得到圆。与九轴的交点坐标为(0,0),(22,0),由 题意知直线过圆心C(啦，啦)和点(2啦，0),则该直线的直角坐标方程为y-0、叵一o=啦_2%2啦)，即+厂2g=0.化为极坐标方程得c o s 9+sin。2a/2=0.【答案】(1)a=2g(sin 9+c o s。)(2)pc o s d+psin 9 2 g=0状元笔记欲求极坐标方程，一般先求直角坐标方程，再利用 x=pcos 9,y=psin d 转化为极坐标方程即可.优思考题2(1)已知曲线的极坐标方程分别为G：=10,。2：psin e-1化G，G的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线的形状;求G，G交点间的距离.【解析】由G：)=10，得”=100,所以G的直角坐标方程为2+)2=100.所以C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.由 C2：psin=6,得所以。2的直角坐标方程为 厂5=12,即g xy+12=0.所以。2表示直线.由于圆心(0,0)到直线4xy+12=0的距离为d=/石、八2=610,所以直线。2被圆截得的弦长等于2.心62=16.【答案】G：f+/=100,表示圆心在(0,0),半径等于10的圆；C2：f3x-y+12=0,表示直线16(2)(2022.贵州遵义第一次模拟)如图是美丽的三叶草图案，在以。为极点，0%轴为极轴的极坐标系中，它由弧弧MN,弧组成.已知它们分别是ji ji方程为=4sin3+j ),P=4sin yI,0=4sin。的圆的一部分.分别写出点H,M,N的极坐标;设点尸是由点H,M,N所确定的圆。上的动点，直线/：求点尸到/的距离的最大值.解析】本题考查极坐标的概念、/cJI0=4sin 0+(*),P=4sin 9P=4sin 夕(*).联立(*)(*)得 sin 0+-y=sin。，极坐标方程、极坐标的运算.Ji)ji 5 n 11 nr 5则e+可=2%兀一akb,又。引0,2兀），故或一.当时,5 oo o5 n*11 ji 11 jiP 4sin a=-2 OA OB sin ZAOB=2 P sin(-0)=2cos 9 乙 乙 J3sinCy-9)|=|c o s(2e+-)+|,二当 0=3TJI以时，AOB的面积的最大值为1 JL乙a 十2.1 3 7 3【答案】(1)(1,1),(亍 p(2)1+2进思考题3(2021.华大新高考联盟4月)直角坐标系xOy中，直线/的方程 是九.以。为极点，九轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的极坐标方程 是p2c o s2 9+54 Pc o s d-psin d+3=0.(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求直线/被曲线。截得的线段长.【解析】将九=COS d,y=psin。代入直线方程尸/尤，得t an 9=ji所以直线I的极坐标方程是9=tSR)将 pc o s e=x,夕 sin。=y 代入22c o s之。+5由夕c o s。一夕sin 9+3=0,得f+53%一y+3=0,所以曲线C的直角坐标方程为y=d+5x+3.(2)设直线/和曲线。两交点的极坐标分别为Si，%)和52，。2).夕2c o s之夕+5小pc o s 9 psin 夕+3=0,由方程组 3i 得，2+8小夕+12=0.9=二-4=（8行）24X 12=144,Qi+p2=83，夕i Q2=12.，1。1P2l=1（P1+P2）2仙。2=（8小）24X 12=12.所以直线/被曲线。截得的线段长为12.【答案】（1）/：9=；SR），C：y=x+5y3x+3(2)12本课总结关于极坐标系：(1)极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正 方向，四者缺一不可.(2)由极径的意义知220,当极角9的取值范围是0,2兀)时，平面上的点(除 去极点)与极坐标S，e)sw o)建立一一对应关系，规定极点的极坐标是极径2=0,极角可取任意角.(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.请做：题组层级快练（六十五）衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航。O O OO回课前自助餐 叵I授人以渔 画课外阅读第孤时参数方程复习要求1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直 线、圆和圆锥曲线的参数方程.课前自助餐【回归教材】1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线。上任意一点尸的坐标九和y都可x=f（力，以表示为某个变数t的函数,、并且对于t的每个允许值，由方程组 lr=g（力，X=f（力，x=f（t），所确定的点P（x,y）都在曲线。上，那么方程 叫做曲线。L y=g（力 L y=g（力的参数方程，变数才是参数.独圆锥曲线的参数方程,0 xa-rcos,（0为参数）（1）圆心为（，b）,半径为一的圆的参数方程为上竺一_2 2 J%=COS,、,（2）椭圆方+5=13泌0）的参数方程为 ik加in。（。为参数）,2 2（3）双曲线7沙=1（。，b0）的参数方程为,a尤一c o s夕（。为参数）.y=/?t an 9（4）抛物线k=2须0）的参数方程为x=2p?，20 为参如3直线的参数方程1 c o s a_，过点Mo(x(),%),倾斜角为。的直线/的参数方程为_ Q了 一/0 十 I_sm_为参数)，其中，表示直线上以定点Mo为起点，任意一点M(%,y)为终点的有向 线段4赢的 数量,当介0时，“向的方向向上；当”0时，M向的方向向下;当/=0时，点M与点M)重合.根据直线的参数方程的标准式中1的几何意义，有如下常用结论：过定点M）的直线与圆锥曲线相交，交点为Ml，Mz，其对应的参数分别为人,弦长lt 一切;M）是弦m.m2的中点=九十%2=0；=|介引.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)参数方程一;+1)表示的曲线为直线.x=c o s。+加，(2)参数方程,0 当加为参数时表示直线，当。为参数时表示的曲线为圆.j=sm u m,x=12/c o s 30,(3)直线 1.1no。为参数)的倾斜角。为150。.y=l 十/sin 150参数方程一:卜为参数且国。，事表示的曲线为椭圆.y=5sin，I答案(1)X(2)V(3)V(4)X2.若曲线。的参数方程为x=l+c o s 2 0,y=sin2 d(。为参数)，则曲线。上的点的轨迹是(D)A.直线尤+2y2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(1)2+,=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析 将曲线的参数方程化为普通方程得尤+2y2=0(0&W2,OWy Wl).x=xc-atj3.已知直线,。为参数）上两点A,5对应的参数分别是公办 y=yorbt则|A5|等于（C）A.比+知C.6Z2+/?2|/i MB.比一切比一引W+7解析 依题意，A（Xo+m，/o+初1），3（%（）+口2，为+初2），则|AB|=1尤（）+/1-（心+/2）f+Uo+方均一（y o+b2）2=2+Z?午 1友|.x=1+3%,4.(2019北京，理)已知直线/的参数方程为“为参数)，则点(1,y=2 十 4/0)到直线/的距离是(D)A.1 B.|一4C.D.彳解析 由题意，得直线/的普通方程为4%3y+2=0,则点(1,0)到直线4x,|4X 1-3X O+2|6“小-3y+2=0 的距曷 d=+13)2=5.故选 D.X=-1+-/,5.(2018 天津，理)已知圆d+y 2 2%=0的圆心为C,直线4 r-|尸3等1(/为参数)与该圆相交于4 5两点，则A5C的面积为二_.解析直线的普通方程为X+y2=0,圆的标准方程为(%l)2+y 2=i,圆 心为。(1,0),半径为1,点。到直线+y2=0的距离4=吐/2=*,所 以|AB|=2J1 42=地,所以&abc=XgX授人以渔题型一参数方程化为普通方程例1把下列参数方程化为普通方程.。为参数)；x=sin 0,一(2)2月。为参数，。0,2叮).y=c o s【解析】由题意知f=t,=l-t=l-x而 后0,01-1,得0 x l,0Wy W2,，普通方程为 d+：=l(OWx Wl,0y 2).(2)*.*sin2+c o s2。=1,，d+y=l,即 y=ld.又.|sin蚱1,，其普通方程为y=l-xxl).【答案】(1)/+；=1(X W1,0Wy W2)(2)尸 1d(g)状元笔记将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中 的X,y（它们都是参数的函数）的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后加减消元、整体消元等.蔡思考题1下列参数方程与方程/F表示同一曲线的是（d）x=t,x=sin2KB.y=sm t1c o s I tD.0,设A,3对应的参数分别为切5则6+/2=7，2=7 AB=ti 一切=,(%1+/2)2 4%1%2=.P点的直角坐标为(一2,2),线段A3的中点对应的参数为“，由看的几何意义，可知点尸到线段A5的中点的距离为坐=苧【答案】粤“当（2022.定西模拟）在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为x=l+3c o s 9,b=3sin 9（夕为参数）,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐/JI标系，直线/过极坐标系内的两点A 2吸，1和33,JI2写出曲线。的普通方程和直线I的参数方程;设直线/与曲线。交于尸，。两点，求|8尸|50|.【解析】曲线。的普通方程为(x1)2+产=9,VA(2,2),B(0,3),.,直线/的斜率为一J,方程为y=：%+3.直线的参数方程为 71 为参数).尸3+E易知点p在直线I上，将直线I的参数方程与曲线C的方程（X1）2+=9 联立，得/+24/+1=0,因为40,设方程的两个根分别为小协所以田尸|田。|=|”2尸1.2【答案】c（x-1）2+/=9/：1。为参数）1-3+E状元笔记直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线/经过点M）（沏，y）,倾斜角为a,点M（九,y）为/上任意一点，则%=Xq+/cos 0,直线I的参数方程为 二，.（t为参数）.y=yo+tsm。若M，M2是直线/上的两个点，对应的参数分别为62,则|M务1IIM氤|=|/也I，|跖%|=厄一G2+/1）2 4%也.如果/的参数方程为,九。为参数），则I跖此|=4?比H）=先+初(2)若线段Mi此的中点为M3,点Mi，M2,%对应的参数分别为介，勿/3,则坐(3)若直线/上的线段/区的中点为M)(m 先)，则人+&=0，ht20._ I 方，设方程的两根为小勿贝1J,h r2=3.:ti -v。，:与方异号,：.m+|P8|=I川+同=比M=7(介+/2)2=也=a/2+12=714.【答案】d+(y2)2=4(2)(2022.广西高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为一=AX 2”。为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 J=一1线G的极坐标方程为c o s 9+psin 91=0.求曲线G的普通方程与G的直角坐标方程；设N是G与Q的公共点，点尸的直角坐标为(0,1),求焉+册的值.【解析】由已知得r2=-2。为参数），故G的普通方程为y=2d1.j=P1由夕c o s d+psin 1=0,得%+了一1=0,故G的直角坐标方程为尤+-1=0.易知点尸在G上，且G是斜率为一1的直线，故设G的参数方程为x=2 3其。为参数）,尸1+2t将其代入G的普通方程可得一舄一2=0,/0,、2则 21+%2=2 /也=2,乃异号，坨_忧_以_1 Gi+灰）2由色_廊改IPM十I尸NT I川十囿一ht2 一 比切 4-【答案】G：y=2x2-l C2：x+y-l=o例3(2022.江淮十校质量检测，理)已知曲线C的极坐标方程为p2=直线/的参数方程为。为参数).1 十3sm U=3-2t(1)求曲线C的参数方程和直线/的普通方程；(2)设点尸是曲线。上的动点，点M,N在直线/上，且|MN|=5,求AP MN面积的最大值.【解析】因为p2=f+2+4/=4,即+2=1,.f x=2c o s 9,因此其参数方程为.0y=sm，11=0.P2sin2=y2,所以。的直角坐标方程是d（。为参数），直线I的普通方程为2%+3y设点P（2c o s 9,sin 9）,则点尸 到直线/的距离d=|2X2c o s 9+3sin 夕一11|5sin（夕+夕）-111 16 6/13（t；4an13所以尸MN面积的最大值等于J X 5 X舟仃=史科 乙 JL J JL J、x=2c o s 夕，40A 后【答案】（1）。：_.0（夕为参数）Z：2x+3y11=0号一y=sm 0AB电思考题3（2017.课标全国I）在直角坐标系中，曲线。的参数方程x=3c o s|x=q+为 0（。为参数），直线/的参数方程为 1 7。为参数）.y=sm 8 y=l t（1）若Q=1,求。与/的交点坐标；（2）若。上的点到/距离的最大值为1行，求【解析】(1)曲线。的普通方程为j+y 2=l.当a=-l时，直线I的普通方程为尤+4y3=0.由Xx+4y3=0,2 解得 忖+匕21 尸一药24 尸S%=3,尸0或从而。与/的交点坐标为(3,0),21 2425?25,(2)直线I的普通方程为九+4一-4=0,故。上的点(3c o s 0,sin。)到/的距离为|3c o s 9+4sin。一一4|d 9当心-4时，d的最大值为而.由题设得+9 I-后=立7,所以=8；Cl 1当0)，42，0).(1)把G的参数方程化为极坐标方程；(2)设G分别交G，。2于点p，Q，求APQ的面积.【解析】曲线G的普通方程为(x2)2+=4,即?+/-4x=0,所以G的极坐标方程为24C0S。=0,即2=4c o s。.(.1 JT JI(2)方法一：依题意，设点尸，。的极坐标分别为夕1，-7-，。2,将夕=不代入=4c o s d,得pi=2小,ji,将 9=W代入=2sin。,得2=1，所以I尸。尸以一pT=24一1,Jl JI又点A(2,0)到曲线。=不(/0)的距离d=|04|sin y=l,dL 2 1 1 r-2/3 1所以&apq=引尸Q|6/=2X(23-1)X 1=.(3T JI方法二：依题意，设点P,。的极坐标分别为P,X，P 2,X将夕=?代入，=4c o s。，得pi=2事,即|0尸|=2聒31将夕=不代入/=2sin。，得夕2=1，即1。1=1.3T因为A(2,0),所以/尸。4=不,所以 S/AP Q=SOP A&OQA1 以 1=引。4|OP sin 不一引。川 OQ JIsin%|x2X：2小一1 22-22【答案】(l=4c o s e(2 产-1整思考题4(2022.陕西质检)已知在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数x 2 3方程是1 万。是参数)，以原点。为极点，尤轴正半轴为极轴建立极坐标产2%+4也/、系，曲线。的极坐标方程为=2c o s夕+7.(1)判断直线/与曲线。的位置关系；(2)设M(x,y)为曲线。上任意一点，求尤+y的取值范围.【解析】（1）直线I的普通方程为1y+4g=0.曲线。的直角坐标方程为野+卜+野圆心惇，一到直线y+4啦=0的距离=粤=51,直线/与曲线C的位置关系是相离.设“；+c o s e,一；+sin。为MC与九轴正半轴所成的角),/、则 x+y=/2sin 0.I 41V0 sin 夕=q 0 c o s 夕一+l,0sin 8=-(P cos 夕+1解析 由题意知。的标准方程为(%2)2+(y1)2=1,x=2+c o s。，,一则。C的参数方程为,.为参数).j=l+sin a(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为 厂1=一4),即kx-y+14 左=0,所|”2左一1+14 川 Rj所以-.+-=1，斛得=3，则这两条切线方程分别为y=2一挈+1，y=一9+莘+1,故这两条切线的极坐标方程分别为sin，=*o c o s。一孥+l,o sin d小 _4电/=于0 c o s。+3+Lx=c o s t,2.(2020.课标全国I)在直角坐标系九2y中，曲线Ci的参数方程为.ky=sm t为参数).以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为 4/7c o s 9 16psin 9+3=0.(1)当=1时，G是什么曲线？(2)当=4时，求G与G的公共点的直角坐标.f l n答案（1）G是以坐标原点为圆心，半径为1的圆（2）q t解析（1）当左=1时，G：九c 消去参数得d+y 2=i,故曲线G是j=sm 3以坐标原点为圆心，半径为1的圆.%-COS t,r-r当24时G：尸sin%消去参数,得G的普通方程为/+6=1C 的直角坐标方程为4%16y+3=0.1击+而=1，4%一16、+3=0,尤解得4 1产不V.f l 1)故G与G的公共点的直角坐标为；43.（2020.课标全国H）已知曲线G，C2的参数方程分别为G：x=t+,（。为参数），C2：+11=0 x=c o s e,（2）将曲线。化成参数方程形式为（。为参数），y=2sin（、|2c o s d+23sin,+11|4sin则。上的点到I的距禺d=-卞-=小）一3T 3 以/-所以当。+石=三+20（仁2）时，d的最小值为仍.请做：题组层级快练（六十六）衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航OOOO9999OOOO课前自助餐授人以渔选修孑一5不等式选讲 第1课时绝对值不等式复习要求1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意 义证明以下不等式：(l)|+b|W|+|A|；(2)1一C|W|一切+/一c|.2.会利用绝对值 的几何意义求解以下类型的不等式：|x+b|Wc；ax+bc；x-a+x-bc.课前自助餐【回归教材】绝对值三角不等式定理1:如果，b是实数,那么k z+blW+依,当且仅当。川 时,等号成立.定理2：如果a,b,c是实数，那么 I。胆il+步c l,当且仅当（一。）3c巨0 时,等号成立.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式IRv。与因的解法不等式a0=0a0 xa一 aaxax0)和 三 c(c 0)型不等式的解法办一仁外+后c.1办+,、。0 双十招。或以+店一。.(3)|九一|十|九一/?|三(。0)和|%|十|九一b|Wc(c 0)型不等式的解法 方法一(分类讨论思想)：令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根；把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在 这个区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集.方法二(函数与方程思想)：构造函数“x)=|%a|+|%一c,写出本)的分段 解析式，作出图象，找出使x)WO或危)20的的取值范围即可.方法三(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|%旬+仅一例表示数 轴上点产(%)到点A(a),5(力距离的和.关键是找出到A(a),5S)两点距离之和为 c的点，“W”取中间，“2”取两边.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)|+加2|依当且仅当ab0时等号成立.(2)|一b|W|+|当且仅当abO时等号成立.(3)|q%+/?|Wc(c0)的解等价于一cWqx+/?Wc 的解.(4)若因的解集为R,则c 0.不等式|九一1|+|九+2|0=I；八 1 2x 0,%W0,1 故选B.尤/.方法二（特值法）：分别取=0,1,一1验证可排除A、C、D.4.若关于x的不等式|x+l|2日恒成立，则实数左的取值范围是(C)A.(,0 B.1,0)C.0,1 D.0,+8)解析 作出y=|尤+1|和丁=丘的图象，如图，由图知，若仅+1|2日恒成立,贝左0,1,故选C.5.若关于的不等式以一|1的解集为(1,3),则实数。的值为一_解析 由 al 9 得一lx1,.a-1xq+1,：.a=2.6.不等式lxII lx5|2的解集是（一如4）.解析 当九1时，不等式可化为一（九-1）+（尤-5）2,即一42,显然成立，所以此时不等式的解集为（一8,1）;当时，不等式可化为九一1+（%5）2,即2x62,解得尤5时，不等式可化为（九一1）（九一5）2,即42,显然不成立，所以此时 不等式无解.综上，不等式的解集为（一8,4）.授人以渔题型一绝对值三角不等式例1(1)61,求|+勿=ll+l引成立的充要条件是厄(2)函数段)=|x+l|+|x2|的最小值为.(3)函数火x)=|x+l|一|x2|的最大值为 1.【解析】(1)|+例=|+依0(+32=(同+以)202+2力?+/?2=2+2间团+b1ab=ababQ,|+加=间+因成立的充要条件为abO.(2)由绝对值三角不等式得火%)=|%+1|+仅一2|一|(%+1)(%2)|=3,当且仅当(%+1)(九一2)W0,即一时取等号.，火幻的最小值为3.(3一%)=|%+1|一以一2|W|(%+1)(%2)1=3,当且仅当(%2)(%+1九+2)与0,即三2时取等号.优幻的最大值为3.状元笔记绝对值三角不等式的注意点(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时.(2)该定理可以推广为|+b+c|W|+|b|+|c|,也可强化为|同一例W|b|W|+依，它们经常用于含绝对值的不等式的证明.(3)当 abO 时，a+b=a+b当 abWO 时，a-b=a-b；当 b(a+b)WO 时，a-b=a-b；当 b(ab)O 时，a b=ab.及思考题1(1)已知实数q(0,1),则关于x的不等式|九一lo g H|R+|lo g/|的解集为(。，1)【解析】|九一lo g岗v|x|+llo g Ml x lo g 0lo g 0,*.0 x 1.(2)已知使不等式|x1|一|x成立，则满足条件的实数/的集 合T为1(一如1.【解析】根据题意得(|%1|一|九一2|)max eK而由 1)一(%2)|=1,得一1|x即(8,1.=7若对于实数x,y有11RW2,|y+l|Wl,则|2x+3y+1|的最大值为7【解析】|2+3y+l|=|3(y+1)-2(1-%)|3|y+l|+2|l-x|3X 1+2X 2题型二 含绝对值不等式的解法例2解下列绝对值不等式.(1)1|%-2|3；(2)x+|2x+3|三 2；(3)|%+3|一|%2|23.【解析】(1)原不等式等价于142W3或一3Wx21,解得3x W5或一 所以原不等式的解集是%|141或3_3(2)方法一：原不等式可化为亍 或5、一x一3 三2、3x+3 三 2.解得x W 5或方法二：|2x+3|N2x=2x+3Wx2 或 2x+3N2一心 解得x W5 或x Nr、综上，原不等式的解集是邪W 5或%，一；.（3）方法一：分别令九+3=0,%2=0得零点为一3,2.原不等式等价于：%-3，田正二-l3+l223n 解集为,；或3 Wx 2,%+3+九一223=1W2；或=x)2%+3尤+223综上，不等式的解集为%|%三1.方法二：设x)=|x+3|一|九一2|5(%3),=2x+1(l3Wx 2),5(尤三2),图象如图.由图知，火犬)23的解集是%|X21.【答案】(1)R 1Wx1 或 3x 5(2)（或0）去绝对值，如题；零点分段法：利用绝对值定义去绝对值，如（3）题；平方法：利用心）|庶（幻|。2?（尤）2去绝对值；几何法：利用绝对值的几何意义求解.数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.r思考题2(1)不等式|d2x+4|2x的解集为小且*2【解析】原不等式等价于d2x+42,无解，解 得尤W2.，原不等式的解集为 R尤R且x W2.(2)不等式lxl|+|x+25的解集为X哙2或后一3.【解析】方法一：原不等式可化为以下三个不等式组:九三1 尤W2,x-1+%+2N5,1x(尤+2)与5,_ 2xl,彳1-尤+%+2三5.解得三2,解得3,无解，因此原不等式的解集为 Rx N2或尤W 3.方法二：设火的=|九一1|+|九+2|,-2x1(%W-2),则危)=3(2%1),、2%+1(%1)，图象如图.由图，可得加025的解集是或W3,即为所求.(3)不等式|%2|一|%+1|422%的解集为卜.解析 原不等式等价于,z,一(%2)十(x十 1)42%f1%2,或 一(%-2)(x+1)-422x成卜三2l x2(x+1)4N2%,3解得x W 1或一lx W彳或x 0.(3-所以原不等式的解集为-8,4.(4)若不等式%|+3不忘0(其中心0)的解集为 Rx W l,则实数的值是 2【解析】方法一：不等式忱一切+3%w o等价于x-a+3x0 xa,a%+3%W0,Jx2，即一 alX 0,所以不等式组的解集为V2,一3:由题设可得_多=_1,故a=2.乙方法二：|九一|+3%或00|x一忌一3%c+3%Wx W 一 3 九以下同方法,a一亍 乙题型三绝对值不等式的应用例3(2021-河南郑州二模)已知函数段)=|2x4|+|x+q|(q0).(1)若=1,求不等式火九)三5的解集；(2)若危)2+4恒成立，求实数。的取值范围.【解析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的性质.31一3,1与2,由题意得 x)=|2x4|+|%+1|=:一尤+5,Kx 2,、一3x+3,x-1,Q Q当x 22时，由3九一3三5得九三彳，三彳；当一1W%2时，由一九+5三5得%W0,2当尤一1时，由一3%+3三5得彳，.*.%1.Q)综上所述，不等式)三5的解集为(一8,0u|,+8(2)Xx)2q2-2q+4恒成立等价于“X)min2 2+4恒成立./(%)=|2九一4|+|x+|=|x-2|+|x-2|+|%+|三|工一2|+|九+|2|。+)一(X-2)|=4i+2,等号成立条件是=2,VU)min=Q+2,+2222+4,解得 1Wq2,实数。的取值范围为1,2.8)【答案】(1)(8,0U5+叼(2)1,2状元笔记解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决.(2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围.2思考题3(1)(2021.皖南八校联考)已知函数段)=|九一|十|九一3|(3).若不等式兀r)N4的解集为卜九心或尤W,求a的值；若对Vx R,/U)+|x3|三1恒成立，求实数的取值范围.【解析】方法一：由已知得-21+。+3,xa,J(x)3.a 1当尤3 时，2x-a3三4,得 无三一一.1 Q已知加启4的解集为或X与；则显然=2.1 9又於)24的解集为卜Ix Wj或尤25,2，方法二：由已知易得X)=|xq1+1%3的图象关于直线-对称，95=。+3,即 a=2.方法一：不等式“x)+|x321恒成立，即|元一|+2仅一3|三1恒成立.当x Wa时，3x+q+520恒成立，得一3x+5N3a+a+50,解得一 5Q&/；当 ax3+520,解得 aW2；当次三3时，3xa一7三0恒成立，得3%a7三9一a7三0,解得W2.综上，aW2.方法二：不等式人犬）+|九一3|三1恒成立，即|x|+|九一3|三一|工一3|+1恒成 立，由图象（图略）可知火x）=|x|+|九3|在尤=3处取得最小值3，而一|九一3|+1在尤=3处取得最大值1,故3得即的取值 范围为（一8,2.【答案】2（一8,2(2)(2022.定西模拟)已知函数於)=|2x+l|+|2x8|.解不等式加0W11；若关于冗的不等式y u)28有解，求实数。的取值范围.4x+7,x4.V.当 工一3时，-4x+7Wll,1%4 时，4%7W11,9综上得火工)W11的解集为一1,旌12;领划=|2%+1|+|28|