立体几何-高考数学一轮复习学案.pdf

2023届嵩考教学一轮复习立体几何立体几何目录【知识点讲解-2【例题讲解】一,表面积-10二、体积-10三、外接球-12四、内切球-12五、截面问题-13六、轨迹问题-17七、动态问题-19八、翻折问题-20九、立体几何大题-角度-21十、立体几何大题求长度-24十一、立体几何大题-求体积-26十二、立体几何大题求距离-28【对点训练】选填题-29大题-40【参考答案-55第1页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何&【知然豆料解】一、空间几何体的结构特征、表面积与体积1.简单几何体(1)多面体的结构特征名称 棱柱棱锥棱台图形底面侧棱 侧面形状A BSA BA B互相平行且全等 互相平行且相摹 平行四边形多边形相交于一点，但不一定相等三角形互相平行且相似 延长线交于一点 梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球1图形已A0/t i母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法。(2)规则原图形中，轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45。(或135),z轴与轴和y轴所在平面垂直。原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴。平行于X轴和z轴 的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原 来的一半。3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台第2页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何侧面展开图/a/I 03.平面与平面平行(1)两个平面平行的判定定理第4页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；推论：若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行。(2)两个平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。补充：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,al/7,则a/?。(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若仇夕,B丫,则a丫(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(4)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.四、直线、平面垂直的判定与性质1.直线与直线垂直(1)异面直线所成的角设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。分别作直线aa,b/b,把直线a与8所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围是(0,：o(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么说这两条异面直线互相垂直。2.直线与平面垂直(1)定义如果直线与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线I与平面a互相垂直,记作11 a,直线I叫做平面a的垂线，平面a叫做直线1的垂面。(2)判定定理与性质定理|文字语言|图形语言|符号语言第5页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何判定定 理一条直线与一个平面内的两条相交 直线垂直，则该直线与此平面垂直星*1刁a,bU a aC b=O/.La/b.=/_L a性质定 理垂直于同一个平面的两条直线平行2al.a=a/b b-L a3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角。若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。范围是0,1 o4.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。二面角的范围：0,Tl o(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定 定理一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直417/al=a_L/U4性质 定理两个平面垂直，如果一个平面 内有一直线垂直于这两个平面 的交线，那么这条直线与另一 个平面垂直占a _L lu Ba Cl B=a/_La,=/_L a补充:第6页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.五、空间向量及空间位置关系1.空间向量及其有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。(2)相等向量：方向相同且模相等的向量。(3)共线向量：表示若干空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合的向量。(4)共面向量：平行于同一个平面的向量。2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b w 0),a/b 存在唯个实数2，使a=Ab o(2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面0 存在唯一的有序实数对(居y),使p=xa+yb o(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空 间向量p,存在唯一的有序实数组(%,y,z),使得p=xa+yb+zc。3.两个向量的数量积非零向量a,b的数量积a-b=|a|b|c o s。4.空间向量及其运算的坐标表示设a=(%,a2,a3),b=(瓦,b2,匕3),向量表示坐标表示加法a+b（al+瓦，a2+%a3+力3）第7页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何减法a-b(%-b1,a2-b2/a3-b3)数乘xa几。1，4。3）数量积a ba/i 4-a2b2+a3b3共线a=丰 0)%=Abr,a2=劝2，a3=劝3垂直a-b=o(aw0,bw0)a1b1+a2b2+a3b3=0模IQ.+度+城夹角(a w 0,b。0)COS=/a)】+a2bj+a3b3J域+a/域拾+留+留5、应用（1）求点到直线的距离如图，直线，的单位方向向量为，向量/尸在直线/上的投影向量为4Q,则APQ是直角三角形。设向量而=。,点、P到直线1的距离为PQ=/出 一 Q.a)2 0（2）求点到平面的距离如图，已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a夕I-点。过点P作平面a的垂线Z,交平面a于点Q,则？2是直线/的方向向量,且点尸到平面a的距离就是Q在直线/上的投影0?的长度。因此PQ=AP-nn(3)求线面距离已知直线a上一点B（%o，yo，z（）,平面a内一点4（%i，yi，Zi）,平面a的一 个法向量九,且a/a,则直线a到平面a的距离为4=隼?。（4）求面面距离已知平面a内一点A（%i，yi，zi）,平面0内一点B（%o，yo，Zo）,平面a（或第8页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何平面F)的一个法向量71,则平行平面a邛间的距离为4=卑o(5)求两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b，其夹角为。，则cos(p=|c o s0|=尚符(其中9为异面直线a,b所成的角)o(6)求直线和平面所成角的求法如图所示，设直线2的方向向量为e，平面a的法向量为r i，直线L与平面a 所成的角为3,向量e与n的夹角为。,则有sin=|c o s0|=黑(7)求二面角的大小二面角a-/-为6或r t 8.设二面角大小为。，则|c o s。|=c o s 0=InA n2补充：最小角定理如图，若为平面a的一条斜线，。为斜足，如为在平面a内的射影，0c为平面a内的一条直线，其中8为)与0c所成的角，,为)与08所成的 角，即线面角，内为与0C所成的角，那么c o s 0=cos 61c o s 02.第9页共103页72023届嵩考教学一轮复习立体几何【例取饼解】一、表面积 例1.已知正四棱锥尸45CD的底面正方形的中心为。，若高产。=J5,ZPAO=45,则该四棱锥的表面积是A.4+2亚 B.4+4夜 C.4+28 D.4+4/3【答案】D【解析】依题意，正四棱锥的高尸。_L底面N5CD,且/R4O=45。，知小以。为等腰直角三角形，则侧棱尸4=一丝一=X_=2,且4。=尸。=应，sin ZPAO sin45则底面正方形ABC D的对角线/。=2Ao=22=亚AB，得正方形的边长AB=2,从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形;所以底面积为|45=4；侧面积为4sAp48=4x；x2x2xsin60=4百故正四棱锥的表面积为4+4g.故选D二、体积 例2.已知球。是正四面体S4BC的外接球，E为线段5C的中点，过点E的平面a与球。形成的截面面积的最小值为6，则正四面体S4BC的体积为A.973 B.12V3 c.6百 D.8百【答案】D【解析】如图所示：易知EO_L平面。时，截面面积最小.设外接球的半径为尺，截面面积最小时截面圆的半径为一，AB=a,小/吕。外接圆的圆心第10页共103页)2023届嵩考教学一轮复习立体几何为。，则火2=。，。2+。，82,OE2=OO2+OE2f所以户=R2-OE?=C T B?-O%2.由%r2=6，解得=6，2Ya 6解得 a=2y6.贝！16=,所以正四面体S45C的体积公历%先浮、浮（2府二86,故选D.例3.运用祖晅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两 个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底 面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内 挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图）,用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆二+匕=1绕丁轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如 4 9图），类比上述方法，运用祖晅原理可求得其体积等于.A.871 B.16k C.24k D.32k【答案】B【解析】构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为双。4）时，小圆锥的底面半径为1，则g=3 2：.r=-h,故截面面积为4万-竺之,把歹=代入椭圆工+且=1可得=+冬生,3 9 4 9-3第11页共103页）a2023届嵩考教学一轮复习立体几何Al127r橄榄球形几何体的截面面积为九2=4%一”2,由祖瞄原理可得橄榄球形几何体的体 9积忆=2（榻柱一七锥）=2 x22x3 i-x-x22 x3J=16-.故选 B.三、外接球例4.在三棱锥4 58 中，侧棱48,AC,4D两两垂直，BC、C D、ABD3的面积分别为1、一、3,则三棱锥/-58的外接球的表面积为2一 7九 49乃 7 JS心A.14%B.C.D.2 2 4 3【答案】A【解析】三棱锥4 5C。中，侧棱48、AC,力。两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径，设长方体的三度为a,b,c由题意得ab=2,ac=3,bc=6,解得a=l,b=2,c=3,所以球的直径为J-+22+32=J值,它的半径为巫，球的表面积为4万 2=14%；故选A.四、内切球 例5.已知四面体尸一45。中，尸2=4,AC=25，PB=BC=?M，尸/_L平面P8C,则四面体尸-ABC的内切球半径与外接球半径的比A板 B 3夜 c 30 D16 8 16 8【答案】c【解析】由已知及勾股定理得，=2J7,尸。=2百，尸5c为等边三角形，45。为等腰三角形，且易得底边的高为5.所以，VP-abc=pbc-PA=-92Gx2员平义4=4百，第12页共103页）&2023届嵩考教学一轮复习立体几何表面积S=；x2Gx4 x2+g x(2Gx21_+；x 2Gx 5=i60,设内切球半径为，V=-S-r,所以，40=x l 6技，r=-;3 3 4如图，取尸5C的外接圆圆心为。1，三棱锥的外接球球心为O,由 2Pol=2=4/01=2,OOX=PA 1 sin 60 2=2,因此外接球半径R=,22+22=2后,故内切球半径与外接球半径的比为述.故选C.16五、截面问题例6.(多选)如图，在长方体48。一4与。1。1中，AB=4,BC=BB=2,E、F分别为棱48、44的中点，则下列说法中正确的有A.DB、1 C EQB.三棱锥。-CE厂的体积为一 3C.若P是棱GA上一点，且2P=1，则E、C、P、F四点共面D.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形【答案】BCD【解析】连接DE,DXE,如图所示,第13页共103页)72023届嵩考教学一轮复习立体几何因为E为48的中点，所以B=BC=2,所以 CE=炉+5。2=2及,同理。E=CE=20，又。C=4,所以。2+无。2=。2,即。ej.ec,因为DD 底面ABC D,C E u底面ABC D,所以DD1 C E,所以C_L平面。也，即CE_LE,又DiEcRB=D,即。也与少啰不平行，所以CE不垂直故A错误；1 1 Q由等体积法可得三棱锥。-囱的体积%7道52x21故B正确;作出P,使均尸=1,取GA中点G,则P为RG中点，连接FP,C P,Afi,因为F,P分别为4A，2G中点，所以万昌Afi,又 aAQiGCBE,且 4。图 BC,G宜 EB所以4G昌EC,所以尸尸序EC,所以E、C、P、F四点共面，故C正确；D,P G由选项C可得E、C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP,作EH昌C P,交441于H,如图所示:出H所以E、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，所以、C、P、F、在同一平面内，所以平面CM截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.故选BCD例7.（多选）如图，在棱长为1的正方体48。一4与GA中，P,M，N分别为棱CG，CB,上的动点（点P不与点C,G重合），若C P=C M=C N,则下列说法正确的是第14页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何4A.存在点尸，使得点4到平面尸N的距离为B.用过尸，M，2三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C.BDJ/平面 PMND.用平行于平面PMN的平面。去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为3&【答案】ABD【解析】A.连接，,5。1，45,5。,。，4。遇。,如图所示：因为 C P=C M=C N,所以易知 MN I IBD,NPI IC、D,MPI IBC、,且平面 MAP/平面BC Q,又已知三棱锥4-8G。各条棱长均为近，所以三棱锥4为正四面体，所以4到平面5CQ的距离为J卜汇一孝义6乂|二平，因为4与_L平面8。啰1，所以4B_L8G，又BC iBC,且4片。与。=8,所以Bq _L平面4片。，又4Cu平面44。，所以8。4。，同理可得Go,4。，且bgcGO=G，所以4。，平面BQ。，第15页共103页)2023届嵩考教学一轮复习立体几何因为4。=退，所以4到平面丽的距离c j季,百,且2叵 3代，故正确；I 3）3 3B.如图所示，连接4尸并延长交。的延长线于。点，连接。M并将其延长与4。相交于C P C M C Q,A,因为 C P=C M,且 C P/DD1,C M/AD,则亍济=亍”=/，所以 ZU=O,UUa DA jLzCz所以4即为A,连接所以过P,M,j的截面为四边形力口?，由条件可知近/8。1，8。/力2，且所以四边形40田加为梯形，故正确；C.连接8。,由A可知平面AP/平面8C。，因为Be平面8CQ，2e平面8。,所以BO】不平行于平面BG。，所以8。/平面?N不成立，故错误；D.在8片上取点耳，过点4作鸟/尸交与C】于与，过弓作用V/MN交G2于乂,以此类推，依次可得点N2，M，AG，此时截面为六边形，根据题意可知平面 PRNN2MlMz I/平面MNP,不妨设期=%,所以RM?=P2M=N2Ml=Ex,所以片=乂生=i朋2=收（1一%）,所以六边形的周长为3缶+点（1一%）=3后,故正确；故选ABD.第16页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何六、轨迹问题例8.在棱长为2贬的正方体ABC D-AxBp,中，、尸、G分别为棱48、4D、的 中点，则以下结论正确的为A.匕)-DEF=2B.平面厂与正方体48CQ-4与G2的交点轨迹长度为6+C.。6/平面。|石尸D.正方体48C。44Go i外接球表面积为6万【答案】C【解析】Vn=1x 1x 72x 72x 272=，故A选项错误；ddef 3 2 3、尸分别为棱45、40的中点，EF/5D,EF=；BD,/正方体 ABC D-48CQ1，,BQ111BD,EF/!BXDX,故平面厂与正方体48C。/4GA的交点为E、4、口、F,BR=2亚+(2也 j=4;EF=2；D1F=EB=J(可+(2可=丽;平面DE歹与正方体4SCD-4耳G2的交点轨迹长度FE+EB,+BQ+FD=6+2回,故 B 选项错误;.、G为45 和GA 的中点，OG/E8,又,；EBU面DEF,OG.面2瓦L/.QG/面2瓦故C选项正确;正方体ABC D-AMR的外接球半径为x 2/=娓,2则其表面积为4x(指=2而，故D选项错误.故选C.第17页共103页)&2023届嵩考教学一轮复习立体几何例9.在棱长为2夜的正方体48c z)-同与G2中，E、尸分别为棱43、的中点,则平面DXEF与正方体-4片。12外接球的交点轨迹长度为A.2&B.岳兀 C.毡D.4%3【答案】C【解析】如图所示，连接用。,片,取用A的中点N,尸的中点M，AO的中点0,连接MN,NQ,其中。为正方体ABC D-AMR的中心，作。尸_L MN,垂足为P,因为NQ_L平面45C。，EFu平面ABC D,所以NQ_LF,因为四边形/BCD为正方形且昆厂为4民4。的中点，,。为尸E,08的中点，可得尸E_LMQ,因为FE_LNQ,MQn N0=。，且M0,NQu平面,所以EF_L平面必/0,因为OPu面MAQ,所以_LOP,又由0P1MN,MNCFE=M,且JVW,FE u平面。石M,所以OPJ.平面。固跖，因为面跖和面QEF是同一面，所以OP,平面。斯，在直角儿W。中，MQ=1,NQ=2叵,可得MN=MG+N。=3,1 Fi所以sin/MAQ=，因为QN=J2,在NPO 中，可得OP=NO sinNMNQ=匚，3 3由平面截球的轨迹为圆，其中P是截面圆的圆心，。为球心，因为正方体Z8C。4gG2的棱长为20，所以外接球的半径。s=而，根据截面圆的性质，可得PS=y/OS2-OP2=马叵，3所以截面的周长为2%?S=生叵.故选C.3第18页共103页)立体几何七、动态问题 例10.（多选）如图，在棱长为1的正方体45CQ-4用。，中，P为棱CQ上的动点（点P不与点C,C1重合），过点P作平面a分别与棱BC,C D交于M,N两点，若C P=C M=C N,则下列说法正确的是A.4c _L 平面。B.存在点P,使得平面。C.存在点P,使得点4到平面。的距离为93D.用过点P，M,5的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】连接8。，80，。1，42,2尸因为C M=C N,C B=C D,所以史=0丝，所以MNHBDC B C D又平面GBO，80（=平面。8。，所以平面 同理可证及尸50,MP平面C】BD又MPcMN=M,MN、尸u平面。，所以平面。田。平面a 易证4。，平面G8。，所以4。，平面。，A正确又ZCC平面C0O=G，所以4G与平面。相交，不存在点户，使得ZG 平面。，B第19页共103页A2023届嵩考教学一轮复习立体几何不正确.因为 Mc|=Ji+i+i=5点c到平面的距离为V3 V所以点4到平面a的距离的取值范围为又2叵36,所以存在点P,使得点4到平面a的距离为2,C正确.3 3 3因为ZZV/BG，所以所以用过点P,M,Di的平面去截正方体得到的截面是四边形AD.PM又ADJIMP,且所以截面为梯形，D正确，故选ACD.八、翻折问题例 11.（多选）在直角梯形 45C。中，AD=C D=2,AB I/C D,/4BC=30。，点”为直线45上一点，且/=2,将该直角梯形沿ZC折叠成三棱锥。48C,则下列说 法正确的是（）A.存在位置。，使得B.在折叠的过程中，始终有。M_L4CC.三棱锥D ABC体积最大值为2（、汇+产）3D.当三棱锥。45C体积最大时，5D2=16+473【答案】BCD解析】如图所示，从D翻折过程中，点。在平面ABC内射影”始终落在直线DM上,假设存在位置。，使得助_L/C,又。_L平面45C.所以。_L/C,所以ZCJL平面因此/C_L痛，与题意不符，选项A错误；第20页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何因为四边形40。/为菱形，所以ZCJ_OM,又DHL AC,所以4C_L平面。所以。M_L4C,故B选项正确；当平面AC D _L平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大，此时的体积为Px2x(2+2xV=2(后+旬,故c选项正确；当三棱锥D 48。体积最大时，。在48C上的投影为。，则 BD2=BO2+OD2=BO?+2，在BCO 中，BC=4,C O=立,ZBC O=105,由余弦定理得BO?=14+46，所以BO?=16+4百.故选BCD九、立体几何大题角度 例12.如图，四棱锥尸/BCD中，底面48CD为菱形，尸4_L平面/BCD,E为PD的 中点.(1)证明：尸5平面/EC；(2)设尸4=1,乙48C=60,三棱锥E ZC。的体积为V求二面角D-AE-C的余弦值.第21页共103页)A2023届嵩考教学一轮复习立体几何/77【答案】（1）证明见解析；（2）攻 13【解析】（1）连接8。交4C于点。，连接OE,则。为中点，E为尸。的中点，所以PB/OE,OEu平面4CE,尸80平面ZCE,所以05平面4EC；(2)设菱形 ABC D 的边长为 a，-bcd=2Vp_acd=WE_AC D=巨，P-AB CD=1 oAB CD1(73PA=x 2x a134 Jx 1=,则 a=6.取BC中点M，连接Mf.以点4为原点,以4方向为轴，以4D方向为歹轴,以尸方向为z轴，建立如图所示坐标系.r)(o,V3,o),4(0,o,o),X V3 1E 亍5CMo 2 2 7。81 2 2 /，AC=,AE/设平面/CE的法向量为4=(x,y,z),由_L AE,d _L AC，得V3T3y+z=0 2,令 x=l,则 y=G,z=3，/./=(1,一百,3),-X+122=0 2平面/OE的一个法向量为鼠=（1,0,0）,c o si_ Vb-n2即二面角D-AE-C的余弦值为叵13第22页共103页）&2023届嵩考教学一轮复习立体几何例13.直三棱柱力8C-4qG被平面48c截去一部分后得到如图所示几何体,AABC=90,BC=BB、=2,E是片。中点.(1)求证：平面/BE J平面；(2)若三棱锥-45。体积为正，3求二面角/一4七一。的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)旦.3【解析】(1)因为BC=BB1,EB1=EC,所以BE工,在直三棱柱中，由B8_L平面45。可得又ABBC,BC C BB=B,所以48_L平面月片。，所以因为4=所以q C_L平面由BXC u平面AXBXC可得平面AM 1平面ABE；(2)由题意，VF arc=-S.arc-BB=-x2ABxl=,解得45=也，匕-At5 L 3 dam 2 i 6 3以8为原点，B4BC,85分别为轴建立直角坐标系，如图，第23页共103页)2023届嵩考教学一轮复习立体几何则 4(,0,0),C(0,2,0),4(V2,0,2),Bx(0,0,2),颐0,U),设面 AAE 的一个法向量为蔡二(x,乂 z),14=(0,0,2),率=(J5,1,1),m-AA.=2z=0 一 l则_ _ 厂，取x=0,aw=(v2,2,0)in-AE=-y/2x+y-z=0设面C AXE的一个法向量为3=(再，必,4),丽=(0,1,1),直二(J5,2,2),h-C E=y.+z.=0 _则 一.l，取必=4=1,九二(0,1,1)m-C AX=V 2%j-2必+2Z=0所以 c o s(机)=I m|w|V2-V6所以二面角Z 4E C的正弦值sina十、立体几何大题求长度例 14.如图，心，平面48。，AD 1 C D,AB/C D,PQ/C D,AD=C D=DP=2PQ=2AB=2,点、E,F,分别为 4P,C D,8。的中点.(1)求证：F|平面MPC；(2)求二面角。一尸“一。的正弦值；(3)若N为线段C。上的点，且直线ZW与平面尸所成的角为丁，求线段QN的长.6第24页共103页a2023届嵩考教学一轮复习立体几何【答案】（1）证明见解析；（2）（3）好2 3【解析】（1）连接90,因为48c。，PQ/C D,所以48尸。，因为45=00,所以尸45。为平行四边形.由点石和分别为4P和8。的中点，可得近045且EM=AB,因为45C。，C D=2AB,尸为C。的中点，所以C尸48且。尸=48,可得瓦WC斤且=,即四边形EFCA/为平行四边形，所以跳11。，又 跖.平面PC,CM U平面PC,所以瓦“7平面MPC.（2）因为尸QJ_平面ZBCQ,ADA.C D,可以建立以。为原点，分别以五i 配，中的 方向为轴，歹轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得 D（0,0,0）,4（2,0,0）,8（2,1,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,0（0,1,2）,M（l,1,1）.PA7=l,l,-l),P2=(O,l,O),CM=(l,-l,l),PC=(0,2,-2)设瓦=（%,A z）为平面尸M。的法向量,则n.PM=0一，即尸0=0 x+y-z=0 w尸。不妨设Z可得（1，。，1）设=（x,y,Z）为平面PC的法向量,*-n.-PC=0 2y-2z=0 一则7 即 八，不妨设z=l，可得=（0,1,1）.n2-C M=0 x-y+z=0 7c o s/，%=阡同=5,于是Sin 成=券.所以，二面角。一尸M C的正弦值为券.（3）设函=4正即函=4工=（0,九一24）,则N（0,4+1,2 24）.第25页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何从而丽=(0,2+1,2-2).由(2)知平面PMQ的法向量为=(1,0,1),_|丽同 1 _|2-24由题意，sind=g s NW=网同，即片而而言我整理得3储一104+3=0,解得4=g或;1=3,A=-QN=-QC,QN=-qc=-因为0W4W1所以 3,所以上 3上 上 3l I 3.十一、立体几何大题求体积JT例15.如图所示，ZBC中，Z5=-,四棱锥/8CDE是由ZBC沿其中位线DE 2翻折而成，其中/HE8为锐角，PC=2PA.A A(1)证明：4E平面PBD；(2)若45=50=4,二面角。4。的大小为多,求四棱锥/8CDE的体积.第26页共103页)A2023届嵩考教学一轮复习立体几何【答案】（1）证明见解析；（2）登上.7【解析】（1）连接CE交8。与点尸，连接尸尸.因为翻折前，为45。的中位线，所以DEIIBC,且。E=bC,翻折后，平行关 2系不变，因此/FDE=/FBC,/FED=AFC B,ZDFE=ZBFC,rF pc1所以 ABC F LDEF,所以=2,;PC=2PA,AEU PF.EF DE又 PF u 平面 PBD,AE（X 平面 PBD.Z.AEU 平面 PBD.T T（2）因为45C中，Z5=-,沿中位线。E翻折，垂直关系不变，即骸_L5C,2因此，以8为原点，丽为1轴的正方向，就为天轴的正方向，竖直方向为z轴建立空间 直角坐标系.记4在底面的投影为力，且设H=x.则 Hk-2,0,7?）,C（0,4,0）,。（-2,2,0）,（-2,0,0）,所以反彳=卜,0,4一%2卜 丽=（o,2,O）,7c=（2-x,4,-V4-x2）,5c=（2,2,0）,设平面ADE的一个法向量为m=（a,b,c）,_ I m-n 贝q COS加mn则竺.冽二,即卜 一=0,不妨令c=_%,则“炉，b=0,ED-m=0 26=0 V所以碗=（V4-x2,0,-x）;设平面AC D的一个法向量为=（%,如c J,n=0 即+M f J，二 0n=0 2%+24=0不妨令a=,则 q=_ J 4 _%2,c1=X+2,即=卜”一%2,4-%2,%+2I2x 4l|x+2l 5万-/3/=I-=c o s=，v4 x V-x2+4x+12 v-x2+4x4-12 6 2化简得，7f+4x 20=0，则（%+2）（7%-10）=0,则=与，或1=2（舍），即 4E=W,则=/炉=7又四边形BCOE 的面积为S=；（D+8C）班=；x（2+4）x2=6,第27页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何xSxH4x 6x =8761故匕T8E3 3 7十二、立体几何大题求距离例16.如图在直三棱柱力BC-44G中，NR4C=90,ZB=NC=44=2,河为的中点,N为与G的中点，”是4旦中点，P是5c l与5c的交点，。是&N与G的交点.求证：A.CLB C.；(2)求证：。平面4c M；求直线尸。与平面4c M的距离.例17.已知三棱柱45C-451G的侧棱垂直于底面，ZB AC=90,AB=AC=1,E、F分别是棱GC、8。的中点.求证：与尸J,平面(2)求点4到直线回石的距离.V6【答案】1.(3)32.3第28页共103页&2023届嵩考教学一轮复习立体几何【对点制株】一、单选题1.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中力B=NC=2,则该平面图形的面积为（C.2GB.2D.42.三棱锥B 48 的顶点都在同一球面上，其中A4、8C、5。两两垂直，且84=3,B C=4,B D=5,则该球的表面积为（）A.100B.647rC.504D.36%3.若底面边长为1,高为2的正四棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.3万 B.6zr C.12）D.24乃4.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A 3G B 2百 c 3V2 指4 3 4 25.在正方体44GA中，E为棱CG的中点，则异面直线ZE与所成角的正切值 为A.也 B.3 C.在 D.立2 2 2 26.已知直三棱柱44G的所有棱长都相等，”为4G的中点，则与8G所成角的余弦值为A.叵 B.正 C.逅 D.巫3 3 4 47.如图，点N为正方形48CQ的中心，AEC。为正三角形，平面ECD J_平面/BCD,是 线段瓦）的中点，则第29页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何A.B M=EN,且直线AW,EN是相交直线B.B M手EN,且直线是相交直线C.B M=EN,且直线的，石N是异面直线D.B MEN,且直线氏EN是异面直线8.设a,为两个平面，则的充要条件是A.a内有无数条直线与平行B.a内有两条相交直线与平行C.a,/平行于同一条直线D.a,垂直于同一平面2兀9.若一个圆锥的底面面积为兀，其侧面展开图是圆心角为3-的扇形，则该圆锥的体积为（）A.$B.逑花 C.技 D.2扃3 310.在如图（1）所示的四棱锥N-BCD石中，底面B CDE为正方形,且侧面垂直于底面B CDE,水平放置的侧面ZHC的斜二测直观图如图（2）所示，已知H=2,AC=1,则四棱锥Z-BCDE的侧面积是（）A.12+V34B.20+2扃第30页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何c.2+2V2+2V5 11.如图，已知一个八面体的各条棱长均为2,是()EFOA.该八面体的体积为B.该八面体的外接球的表面积为16C.E到平面ZQE的距离为打D.EC与B F所成角为60二、多选题12.已知加，是两条不重合的直线，a,B,确的是).2+4V2+2V5四边形AB CD为正方形，则下列结论正确的/是三个两两不重合的平面，则下列命题正A.若加 _Lt z,n A./5,all 3,C.若加/，n/3,m,nu a 13.如图，点A,B,C,M 的有（）B 1则加“B.若p,则a,则a/D.若典u a,nlj ff,则aJ夕N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN平面4BCNB第31页共103页)2023届嵩考教学一轮复习立体几何A.AEHCD B.CHIIB EC.DG1B HD.B G IDE15.如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MN_LOP的是（）16.已知菱形AB CD中，ZB AD=60,AC与B D相交于点O.将48。沿B D折起，使顶点A至点M,在折起的过程中，下列结论正确的是（）A.B DYCMB.存在一个位置，使CDM为等边三角形C.DM与8c不可能垂直D.直线。M与平面8C。所成的角的最大值为60。17.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比第32页共103页2023届嵩考教学一轮复习立体几何47r赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为三，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确的是（）A.经过三个顶点45。的球的截面圆的面积为三4B.异面直线/。与C5所成的角的余弦值为。C.直线与平面。所所成的角为？D.球离球托底面。M的最小距离为JJ+*-118.已知正四棱柱44GA的底面边长为2,侧棱441=1,P为上底面4月G2上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A.若PZ）=3,则满足条件的P点有且只有一个B.若尸）=百，则点尸的轨迹是一段圆弧C.若平面则）产长的最小值为2D.若产。平面力。四，且尸。=百，则平面ADP截正四棱柱/BCD-44GA的外接球所得平面图形的面积为一 419.如图，四边形/BCD为正方形，E平面4B CD,FB/ED,AB=ED=2FB,记三棱E-ACD,F-AB C,E 4CE的体积分别为匕,匕,匕，则（）第33页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何A.匕=2%C.匕=匕+匕B.匕=匕D.2匕=3匕20.已知正方体ZBCQ-44GA的棱长为2,则下列命题正确的是（）a.点用到平面48G的距离为2叵3B.直线旦台与平面48G所成角的余弦值为立3C.若、N分别是441、的中点，直线ZBc平面口胸=尸，则4D.。为侧面40n4内的动点，且0C _L与。，则三棱锥G-AB Q的体积为定值-21.已知正方体ag e。-44GA,。为对角线4a上一点（不与点a,a重合），过点。作垂直于直线4C的平面a,平面a与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（）A.M只可能为三角形或六边形B.直线4G与直线她所成的角为C.当且仅当。为对角线zq中点时，的周长最大第34页共103页）2023届嵩考教学一轮复习立体几何D.当且仅当。为对角线4G中点时，M的面积最大22.在棱长为Q的正方体中，P为4月上任意一点，E、尸为CD上任意两点，且Eb的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（）A.点A到平面P跖的距离B.三棱锥2-PER的体积c,直线与平面9n所成的角D.二面角的大小23.棱长为2的正方体488-44。中，是线段/上的动点，下列正确的是（）A.的最大值为90。B.DCy 1DMC,三棱锥“一。1的体积为定值 D.的最小值为424.已知正方体48CQ-44GA棱长为2,如图，为CG上的动点，4M_L平面a.下面说法正确的是（）5A.直线43与平面。所成角的正弦值范围为旦 T,-TB.点与点G重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点朋为CG的中点时，若平面。经过点8,则平面。截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N为。2中点，当40+MN的和最小时，为CG的中点25.如图，在平行四边形45c o中，AB=,AD=2,ZA=