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第二节 函数的单调性与最值，课程标准理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；（2）会运用基本初等函数的 图象分析函数的性质.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o查互灌逐点清重点一函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数穴工）的定义域为1,区间如果Vxi，x2en当XiX2时，都有/fa）勺出）_,那么就称函数/G）在区间o上单调递增，特 别地，当函数/U）在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数当石=/(%)在区间。上单调递增，则函数y=0U)(Av O)，y=加)在区间。上都是单调递减函数D.若函数y=r)满足Vx i，x2Z,x ix2,於1)一於2)XXx20(=幻在区间O上单调递增，则Vx i，X2ez),且勾0,由此可推出可收)0(v 0)0/a)在。上单调递增(单调递减)，正确.故选B、D.Xi-X2答案：BD3.（易错题）已知函数尸危）是（一8,+8）上的增函数，且/:-3）（5x+6）,求实 数X的取值范围为.解析：VU）是R 上的增函数，且八2%-3）5%+6），.2x-35x+6,BRx 0)在公共定义域内与丁=/(x),)=嵩的单调性相反;(4)复合函数3=/。刈的单调性与7=/()和=g(x)的单调性有关.简记：“同 增异减.2.增函数（减函数）的等价变形：Vx i，x2G,切且贝！I：血）伍玉）一/（初o廿Eo旬（%）在a加上是增函数；Xi X2（2）（不一皿）/（得）一 二华V0Q/U）在纵加上是减函数.提速度1.下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A.若/(X)为增函数，g(x)为增函数，则/(x)+g(x)为增函数B.若/(X)为减函数，g(x)为减函数，则/(x)+g(x)为减函数C.若/(X)为增函数，g(x)为减函数，则/(x)+g(x)为增函数 D.若/(X)为减函数，g(x)为增函数，则/(x)g(x)为减函数 解析：由结论1可知选项C的说法不正确.答案：c2.（2022人大附中高三模拟）定义在R上的函数Ax）对任意两个不等的实数。，b9总有出2警0成立，则/&）必定是（）A.先增后减的函数 B.先减后增的函数C.在R上的增函数 D.在R上的减函数解析：由结论2可知正确选项为C.答案：C02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点确定函数的单调性（区间）基础自学过关L（2021全国甲卷）下列函数中是增函数的为)A.f(x)=xB./(x)=(|c.f(x)=x2D.f(x)=x解析：法一（通解）：取力=-1,x2=0,对于A项有了（右）=1,2）=0，所以A3项不符合题意；对于B项有了（了1）=5,2）=1，所以B项不符合题意；对于C项有1）=1，於2）=0,所以c项不符合题意.故选D.法二（优解）：如图，在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图 象，即可快速直观判断D项符合题意.故选D.答案：D2.函数/)=|x2|x的单调递减区间是_解析：f(x)=X22x,x2+2x,x2.画出/(x)的大致图象(如图所示)，由图知穴对的单调递减区间是答案：123.能使函数)=十一1|在区间/上不是单调函数，且在区间/上的函数值的 集合为0,2”是真命题的一个区间/为.解析：当 时，f(x)=x(xl)=x2x；当 X1 时，f(x)=x(lx)=x2+x9 在一8,1,(1,+8)上单调递增，在;，1上单调递减.令人幻=0,解得x=l 或 x=0；令/U)=2,解得 x=2,只需 1=a,2,0%v l 或 1=3,2,021时，/)在/上不单调且函数值的集合为0,2.答案：。，21(答案不唯一)练后悟通1.函数单调性的判断方法有：（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调 性；（4）导数法.2.复合函数y=/g（x）的单调性应根据外层函数和内层函数t=g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点函数单调性的应用 定向精析突而考向1利用单调性比较函数值的大小期设/U)的定义域为R,图象关于y轴对称，且/U)在0,+8)上为增函数，则八-2),3)的大小顺序是()A.f(-n)f(-2)f(3)B.C.D.f(3)f(-2)f(-n)解析：/&)的定义域为R，图象关于y轴对称，/(x)是偶函数，/(-2)=f(2),f(-n)=f(n),又於)在0,+8)上为增函数，且 23兀，A2)/(3)勺，.f(-2)f(3)f(n).故选 B.答案B考向2利用单调性解不等式0E)(2020新高考I卷)若定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且A2)=o,则满足MU1)20的X的取值范围是()A.-1,1U3,+8)C.-1,0 U1,+)B.-3,-1U051D.-150U153解析:定义在R的奇函数外好在(-8,0)单调递减，且A2)=0,人幻的大致图象如图所示，(好在(0,+8)单调递减，且 八-2)=0,故次-1)2时，即x=3或x=-1时，不等式取了一1)20成立，当x 0时，不等式状X1)20等价为 x 0,Ax-l)0,此时n 此时1,当x VO时，不等式研了一1)20等UVx 1 5:2,x 0,得x V 1或x 5.令=/一4x5,:外层函数y=l g 是其定义域内的增函数，工要使函数(I)=3(/一标一5)在(+8)上单 调递增，则需内层函数=f4x5在3,+8)上单调递增且恒大于0,则(纵+8)1(5,+8),即25.的取值范围是5,+8).故选D.答案D)解题技法函数单调性的应用及解题策略(1)比较大小；解函数不等式：利用函数的单调性将V，脱掉，转化为具体的不等式求解，应注 意函数的定义域；(3)利用单调性求参数：依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；若函数在区间口，加上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(4)利用单调性求最值.。训练1.下列函数/）图象中，满足的只可能是（）解析：对于A,函数在(0,+8)上单调递增，所以不满足/；(3)状2),故错误；对 于B,函数在R上单调递增，所以不满足/(：*3)*2),故错误；对于C,函数图象开口向上，且对称轴为%=1,所以/勺(3),故错误；对于D,函数在(0,1)上单调 递减，在(1,+8)上单调递增，故可能满足/1|认3)*2),故正确.故选D.答案：D2.函数八%)=依+；在(2,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是()a)1)A.+呵 B.小+sj,f 1C.1,+0)D.18,-解析：当a WO时，函数/=+:在Q，+8)上单调递减，所以心0,f(x)=批+2的递增区间是传，+L所以2+，即故选B.答案：Bf+2x1,若A，_4)m3)，则实数的取值范围是|x1|,xl9()A.(一4,1)B.(-00,-4)U(1,+00)C.(-1,4)D.(-00,-1)U(4,+00)解析：当x Wl时，f(x)=-x2+2x 1,显然其在(一8,1)单调递增，且穴i)=0；当x l时,/(x)=|xl|=x1,显然其在(L+8)单调递增，又当x=l时，=0.综上所述，/(x)在R上单调递增.故不等式/(/4)M3a)等价于/-43”,即(a4)(a+l)0,解得a 4或a vL 即a(8,1)U(4,+).故选D.答案：D考点片 函数的最值(值域)师生共研过关颤函婀(x)=X,QL 的最大值为;x2+2,x1解析（1）法一（图象法）：作出函数八）=/的图象（如图所示）,x2+2,x=一 ig/a)为奇函数.逐点清1.(多选)(兴修第一册84页例6改编)下列说法中正确的是()A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B.图象关于7轴对称的函数是偶函数C.函数在(0,+8)上是偶函数D.若函数/)为奇函数，则一定有/(0)=0解析：由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C,由于偶函数的定 义域关于原点对称，故在(0,+8)上不具有奇偶性，错误；对于d,由奇 函数定义可知，若/(x)为奇函数，且在x=0处有意义时才满足/(0)=(),错误.故 选A、B.答案：AB2.（2022衡水月考）已知於）=。/+於是定义在a-1,2司上的偶函数，那么a十5的 值是（）A.-3 B.31 n 1C 2 D.-2解析：；/（）=依2+加r是定义在a1,2a上的偶函数，2a=0,又穴2）=兀0,答案：B3.(2022象州模拟)设奇函数/耳)的定义域为5,5,若当0,5时，)的图象如 图所示，则不等式/)0；当2v x W5时，/(x)v 0,又/(%)是奇函 数，,当2x 0时，J(x)0；当一5。0.综上，/(幻0)；(2)号x+a)=嵩，则T=2a(a 0)；(3)韧x+a)=一嵩,则T=2a(a 0).3.函数图象的对称性(1)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数y=f(x+)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(仇0)中心对称；若对于R上的任意X都有/(2a0=/)或/(x)=/(2a+x)或/S+x)=/(ax),贝！|y=/Cr)的图象关于直线x=a对称.提速度1.已知函数4工+1）是偶函数，当1工1。恒成立，设=/2,b=fQ），c=/（3）,则a,b,c的大小关系为（）A.bac B.cbaC.bca D.ab0,则小切寸石），；函数/戊）在（L+8）上为增函数，=/=/,V 321,A bac.故选A答案：A2.已知定义在R上的函数满足*%+2)=一而,当(0,2时，f(x)=2x-l9 则/9)解析：由结论2知T=4,f(9)=f(l)=l.答案：102考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点尸 函数的奇偶性 定向精析突破考向1函数奇偶性的判断已知函数/）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）A./U）是偶函数，递增区间是（一8,0）B.八。是偶函数，递减区间是（一8,1）C.大均是奇函数，递减区间是（一1,1）D./U）是奇函数，递增区间是（0,+O）（2）（2021全国乙卷）设函数/则下列函数中为奇函数的是（）A.f（x1）1 B.f（x1）+1C.D.f（x+l）+l解析将函数f(x)=x-x-2x去掉绝对值得f(x)=x22x9_ 2_./n 画出函数ZU)的图象，如图，观察图象可知，函数於)的图象关于原点对称，故函数於)为奇函数，且在(一1,1)上单调递减，故选c.法一(通解)：因为兀0=*，所以加-1)=l+(x+l)x+2-*2 2*对于A,F(x)=/(x-1)-1=-1,定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)；1(x1)2x,/+1)=l+(x1)1一(%+1)一32 x 2对于B,G(x)=f(x-1)+1=-+1=-,定义域关于原点对称，且满足G(x)=一*vG(x)；-x x-x-2 2x-I-2对于C,-=-9定义域不关于原点对称；X I/X I/X I/x x I x I 2 o对于d,yu+i)+i=+i=7T7=:，定义域不关于原点对称.X I/X I/X I/故选B.法二(优解)：)=芍吉芋=京一1，为保证函数变换之后为奇函数，A I人 A I人 A I人需将函数y=/(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为7=/-1)+1,故选B.答案(DC(2)B，解题技法判断函数奇偶性的方法（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先 考虑定义域；（2）判断/（X）与/（一X）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为 判断奇偶性的等价等量关系式（Ax）+/（x）=O（奇函数）或/医）-/（一%）=0（偶函数）是否成立.考向2函数奇偶性的应用0（1）（2021全国甲卷）设函数穴灯的定义域为R,/U+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当1,2时，f（x）=ax2+b.若*0）+/（3）=6,则/3=（）（2021新高考I卷）已知函数/）=1（2一2一）是偶函数，贝！）=解析(1)由于/G+1)为奇函数，所以函数/)的图象关于点(1,0)对称，即 有了)+八2*)=0,所以*1)+八21)=0,得41)=0,即+5=0.由于+2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，即有/(X)/(4x)=0,所以人0)+犬3)=/(2)+犬1)=一4-5+力=-3=6.根据可得。=-2,5=2,所以当1,2时，f(x)=-2x2+2.根据函数/)的图象关于直线工=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数/3)的周期为4,所以=5T2X；2一2=（2）法一（通解）：因为）=/32”-2一%）的定义域为R,且是偶函数，所以 八一幻=/）对任意的x WR恒成立,所以（一0332一一2，）=/32一2一”）对任意的%R恒成立，所以13一1）（2+2一”）=0对任意的x R恒成立，所以=1.法二（优解）：因为八*）=13.2一2一，）的定义域为R,且是偶函数，所以八一 1）=/（1）,所以一一2=2a解得a=l,经检验，段）=/（22一）为偶函数,所以a=l.答案(DD(2)1）解题技法与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略（1）求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解；（2）求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶 性求出，或充分利用奇偶性构造关于/（X）的方程（组），从而得到Ax）的解析式；（3）求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用Rx）为奇函数/（X）为偶函数转介）=/（一1）,列式求解，也可利用特殊值法求 解.对于在x=0处有定义的奇函数Ax）,可考虑列等式A0）=0求解.。训练k2x1.若函数x）=讦耘在定义域上为奇函数，则实数4=k2x解析：因为/医）在定义域上为奇函数，所以/（一）=一式幻，即i+.qr2x-k1+hTmk-2x-l 2x-k 即 2+A=A2”+1根据等式恒成立可得，k=l.答案：12.(2022长沙一模)已知函数/)=+加:5+2.苟在区间_&q上的最大 值为Af,最小值为,则Af+m=.解析：令式了)=。/+加算 则g(x)为奇函数，当X一占4时，g(x)max+g(X)min=0，X/U)=g(X)+2，M=g(X)ma x+2,/W=g(x)min+2,：.M+m=g(x)max+2+g(x)min+2=4.答案：4考点2)函数的周期性基础自学过关L(2022成都质检)已知函数於)是定义在R上的奇函数，对任意的实数%,作一2)=/+2),当x W(0,2)时，f(x)=x29 则13()D.94解析：由/(x2)=/(x+2),知y=r)的周期T=4,又八好是定义在R上的奇函数,.比外=人一|=/一|=-/1)=-%答案：A2.（2022青岛质检）设/是定义在R上的周期为2的函数，当工-1,1）时，於）4x2+2,1WXv0,l 1。0 x L 财力解析：由题意得，4=Z_2=-4xH）2+2=i-答案：13.(2022成都模拟)已知/U)是R上最小正周期为2的周期函数，且当00v 2时，山)=x3-x,则函数y=/U)的图象在区间0,6上与X轴的交点个数为.解析：因为当0Wx v 2时，f(x)=x3x.又/U)是R上最小正周期为2的周期函 数，且*0)=0,则芯6)=/(4)=/(2)=八0)=0.又*1)=0,所以/(3)=/(5)=/(1)=0,故函数y=/a)的图象在区间0,6上与X轴的交点有7个.答案：7练后悟通1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.考点片 函数性质的综合应用.定向精析突破考向1函数的单调性与奇偶性相结合做D 已知奇函数/)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若=g(k)g 25.1),b=g(2-8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bca解析易知g(x)=M(x)在R上为偶函数，;奇函数Ax)在R上是增函数，l o g 25.1220-8,且a=g(l o g 25.1)=g(l o g25.1),.e.g(3)g(l o g25.l)g(2 8),则c a 瓦答案C解题技法1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的 两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较 大小.2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为的形式，再结合单 调性，脱去了变成常规不等式，转化为X1X2）求解.考向2函数的奇偶性与周期性和对称性相结合值已知定义在R上的函数/(x),对任意实数x有/(x+4)=-/(x),若函数/(x-1)的图象关于直线x=l对称，八-6)=0,则式2 022)=.解析由函数y=Ax-l)的图象关于直线x=l对称可知，函数八%)的图象关 于 7 轴对称，故/U)为偶函数.由/(x+4)=-/U),得/(x+4+4)=-/U+4)=/(x),所以/(%)是周期T=8的偶函数，所以人2 022)=/(6+252X8)=46)=八-6)=0.答案0解题技法函数/U）满足的关系式+）=/（5一X）表明的是函数图象的对称性，函数ZU）满足的关系人+%）=八。+）3#方）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.考向3函数单调性、奇偶性和周期性相结合E)(多选)设y=/G)是定义在R上的偶函数，满足/G+l)=-/U),且在上是增函数，给出下列关于函物=/(%)的判断正确的是)A丁可是周期为2的函数B.y=/(x)的图象关于直线X=1对称C.尸加)在0,1上是增函数解析因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，满足/(x+l)=/U),f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1)=-(-/(x)=f(x),所以函数Ax)的周期T=2,所以A正确；v|v-I-2因为八x)=/a)，所以八一%)=/U+2)，所以对称轴x=5=1，即关于%=1对称，所以B正确；由函数Ax)为偶函数图象关于，轴对称，又在上是增函数，所以在0,1上 单调递减，故C不正确；因为/(x+DMfa),令大=一:可得/、：=-/、一；，即/；=_/；，所以/(；)=0,所以D正确.故选A、B、D.答案ABD，解题技法I解决单调性、奇偶性与周期性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.训练L(2022贵阳调研淀义在R上的奇函数)满足Qx)=/U),且当一 1/x v O时,f(x)=2x-l9 贝加o g 220)=()A 1 1Ae 4 Be 5解析：依题意，Ml/(2+x)=f(x)=f(x),则/(4+x)=Hx),所以/U)是周期函 数，且周期为4.又2v l o g 25V3,贝！|一121哂50,所以川崎20)=以2+1(5)(d)1=/do g25-2)=-/(2-l o g25)=-(22-105-1)=答案：B2.已知/U)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若穴1)1,犬5)=q钉，则实数a的取值范围为()A.(-1,4)C.(-1,0)B.(-2,0)D.(-1,2)解析：:/U)是定义在R上的以3为周期的偶函数./(5)=/(1)=/(1)1.从而2a-3 er-7pr|2x1|,解得；0=()A.%|x v2或x 4 B.x|x v O或x 4C.x|x v O或x 6 D.x|x v2或x 2解析：由於)=1-8,知/(x)在0,+8)上单调递增，月/)=().所以由已知条件 可知於-2)0用也一2|)(2).所以仅一2|2,解得x v O或x 4.答案：B第四节塞函数与二次函数课程标准（1）通过具体实例，理解塞函数的概念；（2）结合函数1=心y=x2,y=x39 y=）=出的图象，理解它们的变化规律；（3）理解并掌握二次函数的定义、图象及 性质.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o童五雄逐点请重点一塞函数1.幕函数的定义：一般地，函数叫做寨函数，其中X是自变量，a是常 数.塞函数的特征：自变量x处在黑底数的位置，塞指数a为常数；f的系数为 1;只有一项.2.常见的五种幕函数的图象和性质比较函数y=xy=x23 y=x1 y=xi_-1 y=x图象V,XVJL7r性 质定义域RRRx|x 0 x|x W0值域RUl y2。RUl y20Ul yWO奇偶性量函数量数亘函数非奇非偶 函数奇函数单调性在R上单 调递增在（一 8,0 上单调递减；在（0，+8）上单调递增在R上 单调递 增在0,+8）上单调递增在（一8,0）和（0,+8）上单调递减逐点清L（多选）（兴修第一班91页练习3双改编）下列关于募函数图象和性质的描述中，正确 的是（）A.塞函数的图象都过（1,1）点B.寨函数的图象都不经过第四象限C.塞函数必定是奇函数或偶函数中的一种D.塞函数必定是增函数或减函数中的一种解析：因为1=1,所以募函数的图象都经过（1,1）,故A正确；当x 0时，/0,塞函数的图象都不经过第四象限，故B正确；的定义域为0,+o o）,为非奇非偶函数，故C错误；在（-8,0）和（0,+8）上为减函数，但在定义域 内不是减函数，故D错误.故选A、B.答案：AB2.(兴修第一册91页习题1题改编)已知2,1,2 2彳，1,2,3.若塞函数/G)=x 为奇函数，且在(0,+8)上递减，则|=解析：由7=/为奇函数，知”取一1,1,3.又y=x 在(0,+8)上递减，,“x+c(a 0)f(x)=ax2+Zx+c(a()9 fa 0,1解析：由结论1知/外 即解得。端.J0,120a 0,ZU答案：C2.已知函数/(x)=-2x 2+mr+3(0/nW4,0Wx l)的最大值为4,则m的值为解析：f(x)=2x2+/nx+3=2 x2+_+3,V0m4,，04忘1,由结论2可知，当x=时，#x)取得最大值，/+3=4,解得冽=2啦.答案：2g02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点塞函数的图象与性质基础自学过关L(2022郑州调研)若塞函数y=#x)的图象过点(4,2),则塞函数y=/(x)的大致图象是()解析：设塞函数的解析式为y=一,因为寨函数y=珏x)的图象过点(4,2),所以2=4、解得“=；.所以其定义域为0,+8),且是增函数，当Ov x v l时，其图象在直线y=x的上方，对照选项，C正确.答案:C2.(2022衡水中学调研)已知点(私8)在塞函数/)=(%1W的图象上，设ab=f(ln 7t),c=f(2.2),则a,b,c的大小关系是)A.acbC.bcaD.ba12.2=手力答案：A所以/(In兀9/(2./J,则c a.3.(2022郑州质检)嘉函数/)=(3旭+3产的图象关于y轴对称，则实数加解析：由塞函数定义，知/?36+3=1,解得加=1或加=2,当帆=1时，/(x)=x的图象不关于y轴对称，舍去，当冽=2时，/(*)=*2的图象关于y轴对 称，因此旭=2.答案:2，练后悟通1.对于寨函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区 域，即x=l,y=l,y=x所分区域.根据a O,Oa l的取值确定位置 后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单 调性进行比较.3.在区间(0,1)上，塞函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图 低”)，在区间(1,+8)上，幕函数中指数越大，函数图象越远离X轴.2考点求二次函数的解析式 师生共研过关碰D(2022武汉质检)已知二次函数/)满足/(2)=-1,且/)的最大值是8,求二次函数/)的解析式.解法一(利用二次函数的一般式):f(x)=ax2+ftx+c(a W 0).由题意得a=-4,解得卜=4，c=7.故所求二次函数为/(x)=-4x2+4x+7.法二(利用二次函数的顶点式)：/(%)=a(x2+“3 w 0).犬2)=/(1)，抛物线对称轴为“:胡】1:1.m=9又根据题意函数有最大值8,(n:于3=a x2+8.I 4)42)=-1,Aa 2-2+8=-l,解得=一4,I 4)(0/(x)=4x2 2+8=4x2+4x+7.法三(利用二次函数的零点式)：由已知共幻+1=0的两根为修=2,X2=-1,故可设/(x)+1=(-2)(x+1)3*0)，f(x)=ax2ax2al.一、”.心 24a(2-1)a2又函数有最大值8,即-否-=8.解得=4或=0(舍去)，故所求函数解析式为/)=4f+标+7.解题技法I求二次函数解析式的策略已 知顶点坐标对称轴三点坐标最大（小）值宜选用一般式宜选用顶点式与轴两交点坐标宜选用零点式c)训练1.已知二次函数/)与X轴的两个交点坐标为(0,0)和(一2,0),且有最小值 贝叭幻=解析：设函数的解析式为fCr)=a x(x+2)3W0),所以)=2+2。%,由4a X0_4a2 i.元=-L 得。=1,所以/(x)=x+2x答案：x2+2x2.已知二次函数八)的图象经过点(4,3),在X轴上截得的线段长为2,并且对任意x SR,都有工2幻=八2+幻，则/U)=.解析：因为42x)=/(2+x)对恒成立，所以y=/(x)的图象关于直线x=22对称.又了=於)的图象在X轴上截得的线段长为2,所以加)=0的两根为2；2=1和2+万=3.所以二次函数/与%轴的两交点坐标为(10和(3,0).因此设f(x)=a(x-l)(x-3).又点(4,3)在7=於)的图象上，所以3=3,则=1.故/(x)=(xl)(x3)=x24x+3.答案：x24x+3考点二次函数的图象和性质定向精析突破考向1二次函数的图象与性质似(1)如图是二次函数y=a/+法+c(a WO)图象的一部分，图象过点4(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论：b24ac；2a-b=l；一。+。=0；5a0),若力0 D./(m+l)0,即从4%正确.对 称轴为=1,即一=1,2a5=0,错误.结合图象，当=1时，j0,即。一方+c 0,错误.由对称轴为=1知，b=2a,根据抛物线开口向下，知 a 0,所以5a2a,即5a0,所以X)的大致图象如图所示.O X由得一Iv/wv O,所以/n+l 0所以 A/n+l)(0)0.答案(1)B(2)C。解题技法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是 顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与X轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.考向2二次函数中的恒成立问题似设函数/(2)=J/zf胆X 1.(1)若对于一切实数x,犬x)0恒成立，求间的取值范围；(2)对于1,3,大工)一股+5恒成立，求股的取值范围.解要使znf一加工10恒成立.若旭=0,显然一Iv O,满足题意；若 mWO,得 L 21/j/八A=m+4m0,BP 4m0.:.-4相0.所求血的取值范围是(-4,0.(2)法一：要使/(x)v-/w+5在x 1,3上恒成立.即使zw x:+1一60时，g(x)在1,3上是增函数，：g(x)max=g(3)=7m60,工 0/n；当忆=0时,60恒成立；当V0时，g(x)在1,3上是减函数，:.g(x)max=g(X)=m6V0,得m6,:.mQ.综上所述，股的取值范围是(-8,法二：当1,3时，於)v胆+5恒成立，即当1,3时，/n(%2%+1)-60,X/W(x2x+1)60,:.V函数尸；14工7=二卡在口，3上的最小值为3 只需加/即可 X Xi-1 9 I/E+x(Q 综上所述，股的取值范围是-8,。解题技法】由不等式恒成立求参数取值范围的思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数；两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看 参数是否易分离.其中分离参数的依据是：恒成立Oa 2/(x)ma x，恒成立=a/(X)min.。训练1.已知二次函数ZU)满足3+)=八3幻，若/)在区间3,+8)上单调递减，且 大三A0)恒成立，则实数小的取值范围是()*A.(-OO,0 B.0,6C.6,+)D.(8,0U6,+)解析：/(x)=ax+bx-c(a,b,c R,且W0),V/(3+x)=f(3x),/.a(3+x)2+ft(3+x)+c=a(3-x)2+M3-x)+c,Ax(6a+ft)=0,：.6a+b=Q9：.f(x)=ax26ax+c=a(x3)29arc.又；/(x)在区间3,+8)上单调递减，ea 2x+/n恒成立，则实数股的取值 范围是.解析：f(x)2x+/n等价于x+1 2x+如 即，-3x+1m0,令g(x)=x23x+1要使g(x)=f3x+l一心0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)=，一 3x+l一加在-1J上的最小值大于0即可.飞(0=23x+lm在1J上单 调递减，g(x)min=g(l)=一加一1.由一加一10,得mV1.因此满足条件的 实数冽的取值范围是(-8,-1).答案：(-8,1)第五节指数与指数函数，课程标准（i）理解有理数指数寨的含义，通过具体实例了解实数指数塞的意义，掌握塞 的运算性质；（2）通过具体实例理解指数函数的概念，了解指数函数的实际意义，能借助计算工具或用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单 调性与特殊点；（3）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函 数模型.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o重义雄逐点清重点一根式与有理数指数塞1.根式如果/=，那么X叫做。的次方根;式子名叫做蛆，其中叫做根指数，。叫做被开方数;（牖）=当为奇数时，。=&；当为偶数时，跖=|。|=a,a9 a 0,m9nl负分数指数塞：4 an0的正分数指数籍等于0,0的负分数指数籍没有意义运算 性质a 0,bQ9r9 sQ(ar)s=ars(ab)r=arbr逐点清1.（多选）（共修第一册106页例2改编）设a R,n9 mGN%且22,则下列等式中一定正确的是（）A.am-an=am+n B.（，叶=。冽+C.1dl=a D.（y/a）n=a解析：由指数塞的运算公式可得（an）m=amn,（%）=e所以A、D 正确，B错误；对于C,当为奇数时，。=处当为偶数时，=a,所以 C错误，故选A、D.答案：AD2.（强修第一册105页例1改编）计算汨不历5+也二丙=解析：（1+啦）3+如一何=1+啦+|l f|=2啦.答案：2g重点二指数函数的概念、图象与性质1.指数函数的概念函数丁=罐30,且叫做指数函数，其中指数X是自变量，定义域是R,，是底数.注意形如7=心心y=/+A/R且左0,0且W1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2.指数函数3=必30,且的图象与性质底数al0a l；当XV0时，恒有0勺0时，恒有0yv l；当x v O 时，恒有yl在定义域R上为增函数在定义域R上函数注意指数函蜘=射(。0,且的图象和性质与。的取值有关，应 分a 1与00,且”#1）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,J J.I R2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（1）/=能，（2）1y（3）1y=c*，（4）1y=#的图 象，底数a,b,c9 d与1之间的大小关系为c d l a 0.在第一象限内，指数函数丁=能30,且a Wl）的图象越高，底数越大.提速度1.函数/)=1 一卢的图象大致是)解析：易知/(X)为偶函数，且a)=lA正确.答案：A2.已知=目。力=3”，j3=10 x,j4=10 x,则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）解析：由结论2知选A.答案：A3.函数y=/Tl(a 0,且。#1)的图象恒过点.解析：由结论1,在函数3=罐一1一1中，当=1时，恒有y=0,即函数的图象恒过点(1,0).答案：(1,0)02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点指数幕的运算 基础自学过关1.化简a)解析：因为一:有意义，所以。0,所以=一1，所以答案：B2.(2022苏州高三质检)设“，/?是方程5炉+10式+1=0的两个根，则22=,(2a/=.解析：由根与系数的关系得“+/=2,则2a皆=24=2一2=；,。T1(2了=2磔=2.5.1答案：:253.计算：用24（4 而 T）31-（0.1尸（不小）,3 3 3皿匚后4242 a2。一5 8解析：原式=-33-=510a,2 b 2fg 8答案：Q0,。0）.1 _14.已知a 5+以2=小,求下列各式的值：(1)+1；(2)，+2.1 1解：(1)将4.2+a 2=,两边平方，得 a+a1+2=59 即 a+a1=3.(2)将+屐1=3两边平方，得/十一2+2=9,即 a2+a2=7.练后悟通指数塞的运算有括号先算括号内的，无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除后加减，底数是负数的先确定符号化负指数为正指数；化根式为分数指数暴;化小数为分数，化带分数为假分数指数函数的图象及应用师生共研过关0（多选）若函数尸/+-130,且21）的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有）A.alB.00D.AvO若函数尸|2“一1|的图象与直线尸方有两个公共点，贝亚的取值范围为解析(1)因为函数7=罐+。-130,且的图象经过第/一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增,函数，所以当 x=0 时，y=l+bl=b09 故选 A、D.(2)作出曲线1y=|2一1|的图象与直线如图所示.由图象可得办的取值范 围是(0,1).答案(1)AD(2)(04)变式1.（变条件，变设问）将本例改为若函数3=|2-1|在（一8,依上单调递减,贝此的取值范围为.解析：因为函数y=|2l|的单调递减区间为（-8,0,所以上0,即上的 取值范围为（-8,0.答案：（一8,02.（变条件）将本例（2）改为若曲线川=2+1与直线y=）没有公共点，贝痂的取值 范围为.解析：作出曲线加=2*+1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y=没有 公共点，只需一1WWL4/2LZ-1答案：解题技法I有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否 过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入 手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数。与1的大小关系不确 定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图 象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x=l与图象的交点进行判断.。训练1.已知实数处满足等式2 020=2 021，下列五个关系式：04；0B.l n(yx+l)0解析由2-23一“一3一。D.l n|xj|02x-3x2y-3即设式*）=2X-|X,则Ax）勺）.因为函数y=2在R上为增函数，）=一（；在R上为增函数，所以段）=2-1 在R上为增函数，则由於）0,所以yx+11,所以hi(yx+l)0,故选A.答案A考向2解简单的指数方程或不等式醺)若2,+1：)一2,则函数,=2,的值域是()1 J F1 二A.g，2J B.1g,2(1),C.18,-J D.2,+00)(2)已知实数函数/)=贝!的值为解析椒一2=(2一2广2=2-2*+4,.2,+14一2*+4,即 X2+l-2x+4,即x2+2x-30,-3WxW1,此时 y=2的值域为2-3,2 即为%2.(2)当a v l时，4=2)解得。=去 当时，代入不成立.故。的值为今答案(DB(2)1考向3指数函数性质的综合应用碰&(1)不等式4“-2”+1+0对任意x R都成立，则实数的取
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