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学习：在技巧之上
你知道最难回答的问题是什么吗？每次在演讲自由提问环节，我最怕问到这样的问题：“（）大哥哥，请你给我我们介绍一下你在高中时是怎么样学习的？你的学习方法是什么？”这个问题太大了，所以在回答之前，我会微微一笑，回问一个问题：“能具体说说你的困惑么？”
谁都知道，学习是有方法的，不同方法产生的作用可能有天壤之别。所以，我现在要讲两个重要的专题了，请你倾听。
网络化生存
如果你有机会问比尔·盖茨：20世纪是什么从根本上改变了人类的生活，他的回答一定是：“网络！”如果你有机会问杨致远：这个世界上什么最有力量，他的回答也一定是：“网络！”既然世界都因网络而改变，人类已经进入了网络化生存的时代，你说我们的学习呢？
在高三学习中，很多同学常常陷入这样的误区，就是孤立地、零散地识记一些知识点，他们以为只要勤勤恳恳把所有知识都记下来就大功告成。但是，今天高考的变化和发展给同学们提出了新的挑战。高考中绝不会像平时学习做题一样分章分节，在题目考查中必定整合了各方面的知识，而且，现在的综合考题也绝不是各门功课的简单拼盘，学科之间的融合也越来越明显。比如物理力学、电磁学中的综合题，往往要借助等比数列求和等数学工具；化学中晶体中各原子排列晶格结构与立体几何有密不可分的联系；而有气体参加的可逆反应中各反应物“物质的量”的变化问题，又需要物理中热学及气体性质知识的扎实掌握。如果我们的高考复习还只是停留在“大珠小珠落玉盘”的层次，对知识的理解掌握就会因为不成体系、凌乱繁杂让我们深陷泥潭，网络的力量是强大的，知识联合起来的力量决不是个体力量的简单叠加，而是呈几何级数增长的。
在网络化学习方面，主要是要着力构建两个网络：知识网络和解题网络。
（1）构建知识网络
通过平时学习和第一轮同步复习，我们头脑中储备的知识，从量上来说是很多的，但在质上来讲却是孤立片面的，在学到一定阶段之后，这种数量上的丰富反而导致思想上的混乱。很多同学向我抱怨：课本学得很多了，套题也做得很多了，但心里却迷茫了。感觉复习时就像是一只蜻蜓，点过水面却找不到自己的落脚之处。其中原因不难分析，就是你没有构架属于自己的知识网络。但是，全面、系统地牢牢掌握住各门课程基础知识却不是一件容易的事。下面我以数学为例，跟大家抽丝剥茧，具体说说如何形成知识网络。
万丈高楼平地起，高中数学的主要内容——函数、不等式、向量、概率、立体几何、解析几何等——是我们培养数学能力的基础。扎实地掌握各个部分知识的细节是形成网络的基础，否则一切都无从谈起。构建网络的第一步是全面梳理各个知识点，剖析各部分知识自己的内部架构，先在每一个小部分中进行整合。比如函数内部从性质总结奇偶性、单调性、周期性等，研究f(x)的具体表达式就有一次、二次、幂、指数、对数等函数形式。第二步是理清各部分内容在整个学科体系中的地位和作用。用我们代数老师的一句话来说：“如果说爱情是人类永恒的主题，那么函数就是高中代数永恒的主题。”然后是编织知识网络，发掘各个知识点之间的内在联系，再把它们有机组合起来。比如，由函数表达式f(x)=0、f(x)>0又把函数与方程和不等式联系在一起，在讨论方程根的分布和不等式的证明、应用中，引入函数运动变化的观点，往往会柳暗花明，豁然开朗。在这里，写读书笔记和画知识网络图是我向大家推荐的两大工具。现在有一些辅导书给大家总结了知识网络图，可以供同学们参考。但是我还是鼓励大家花点心思自己来总结，因为最终起作用的不是画在纸上的那几张图，而是深深铭刻在你大脑皮层上那张无形的知识大网。
（2）构建解题网络
我外出演讲的时候，几乎每一次都有同学急切地站起来提到这样一个现象：做了很多习题，多得自己都数不清。有一次考试时，在试卷末尾发现了一道自己做过的难题，心里一阵窃喜。等到动笔时才发了懵，明明清楚地记得这道题是在什么时间、什么地点、哪一本练习册、哪一页的什么位置上做过的，但是这道题究竟该怎么做，却实在是想不出来了。这个现象是如此广泛地存在，几乎每一位同学在学习中都有过这样的体验。我把它叫做“解题经验失效”，这种现象的危害是显而易见的，因为这意味着你做题没有一点用处！如果你连自己做过的题目下次出现时还不能做出来的话，那就还不如回家睡大觉，再也不用做题了！
要走出“解题经验失效”的泥淖，我的一个经验是构建自己的解题网络。每次做题后，一定要自己写出题目的正确答案，不管是你有思路也好，还是你做不出看了答案也好。一定要经过自己的笔头写出来，这样才算是经过了有效的思考和整理。然后在理解的基础上记住题目，包括题目本身、分析思路和完整解答。然后把上述完整的解题过程分门别类地录入自己解题的“数据库”中，编制成脉络清晰的解题网，使之真正成为自己解题经验的有机组成部分。并且在做习题时随时添砖加瓦，不断积累和丰富，做到及时update。这样才能加深理解，灵活运用，达到更高的境界。
最后再强调一点，知识网络应该收放自如，既能由面到点，具体而微，方便快捷地检索到所需要的知识点，又能由点到面，“牵一发而动全身”，整合方方面面的信息。正所谓“天网恢恢，疏而不漏”，用你的智慧和用心，网住明年的高考吧！
总结与反思
考大家一个问题，你知道“复习”的英文单词是什么吗？相信你一定自信地脱口而出：“Review！”
非常好！这就是我们在高三整整一年做的工作。View，观察、查看，Re-view，其实很简单，就是再看一遍嘛！可是，在真正的复习过程中，就少有同学能养成在做完题后自觉反思的好习惯了。前面提到的“解题经验失效”的另一个原因，就是很多同学非常重视做题，重视做题的数量，但却经常忽略了比做题本身更重要的东西，就是review，就是总结和反思！许多同学只注意到了手的运动，而忽视了脑的运动，又怎能不在茫茫题海中苦苦挣扎，事倍功半呢？
下面我就从“对题目的总结和反思”“对考试的总结和反思”以及“对错误的总结和反思”这三个方面，分别跟大家谈一谈如何进行有效的思考。
（1）对题目的总结和反思
在高中时，跟其他同学交流学习经验，我反复说的一点就是：做题要追求“真会”，也就是说，会做这道题是第一步，明白为什么做是第二步，能由此及彼做会一类题是第三步，而最高境界，就是把解这道题的前因后果、来龙去脉深入浅出地给别人讲明白。做题要达到“真会”，不二法门就是总结和反思。
对一道具体的题目而言，在做完之后，要及时地分析、归纳、总结。重新审视题目关键的条件和问题，找出“题眼”在什么地方，这是提高自己审题的能力，或者说接受、挖掘信息的能力；然后看看这道题涉及的是什么知识点，顺利解题需要的方法是什么，拨清考查的内核；再回顾一下解题思路，第一步是什么，第二步又是什么，把每一个步骤都穿成一条线；积极思考一下为什么要这样做，还有没有别的方法，有无创新之处；跟以前做过的题目进行分析对比，争取做到举一反三。当然，也不是每一道题都要如此，是否有价值进行这样的思考完全由你自己把握。
对一类题目而言，也要善于研究它们的共性，总结出规律和适用范围，或者由一道题的巧妙解法推而广之，争取变成一类问题的通解。下面把我总结中的一个专题列出来，算是抛砖引玉。
【专题】解决较复杂物理问题的一般程序
1．准确审题
分清背景情况和真正要解决的问题。分清一般叙述和关键词语，悟出隐含信息，读出题的个性来，重点分析好特殊的物理关系，比如临界条件。
2．画示意图
边读题边画示意图。在示意图的帮助下弄清题目所讨论的物理情景及过程。找出情景、过程中的物理内容、物理关系。示意图是最好的思维平台，是以形象思维帮助抽象思维。所以，迅速地画出示意图是做物理题的基本功。
3．把题中的问题转化成相应的物理模型，在联系实际题中由为重要。
4．选用能把已知未知联系起来的物理关系，运用物理概念和规律列方程求解。
5．讨论数学解，得到物理解。

这里列出来的只是总结出来的纲目，每一点下面都有不止一道典型题作具体说明和提示。你如果能经常进行总结和反思，那一道道难题就像是孙悟空，尽管神通广大，却再也逃不出你如来的手掌心了。
我上高三时，很爱写心得体会，各科的思想方法、解题“秘籍”写满了十几个厚厚的本子。遇到难题时，我不是被动地期待老师一步步的详细讲解，而是主动地从老师那里汲取处理复杂问题的方法。通过我自己的研究、探索，解题能力就在这一点一滴的冥思苦想中培养起来了。高考前后，我把这些本子上某些题目稍加整理，一篇篇文章就发表在《数理天地》《中学生学习报》《中学生数学》等专业杂志上。下面有几篇我曾经做过的习题讲解，供大家参考。

从一则圆的问题看综合法
问题 抛物线＝4x的焦点在弦AB上，O为坐标原点。
（1）求△ABO的重心G的轨迹G的方程；
（2）设点P是轨迹C上的动点，从P作直线切圆于点M，N，当P在何处是，|MN|最小？并求出这个最小值。
分析与解
（1）问比较容易，可以用参数法求出C的方程

（2）问可由标准解析法求出
设P，M，N，PM、PN是圆的切线，所以
PM:(-)（x-）+y＝2
PN:(-)（x-）+y＝2，
因为P分别在直线PM、PN上，故
（-）(-)+=2，
（-）(-)+=2
亦即点M(，N在直线
（-）(-)+=2
上，由两点确定一条直线有：直线MN为
（x-）(-)+y=2，
点到MN的距离

又点P在曲线C上，
=
故在圆中应用垂径定理，有
MN=
可知，当且仅当=2时，MN取到最小值2/5，此时P点坐标为（2，±4/3）。
此解法是看到MN的长度随动点P而变动，因此要建立目标函数|MN|的最小值，把几何量用代数式精确描述。思路流畅自然，目标意识较强，是规范的解析法，但是运算量大，而且求MN方程所应用的“设而不求”技巧性强。
如果用综合法，从圆的几何性质出发，从运动变化的观点考察问题，则可另辟蹊径，获得妙解。
设过圆心有一条，作出公切线，易知，当点向远离的方向运动时，||在增大，可以想象，当距离无穷远时，∥，此时||→2R，回到原题中，由分析可知，MN的长度直接由OP的长确定，只需求出。
解法2 易知圆在抛物线C内部且与C无交点，要使|MN|最小，需点P到圆心（8/3，0）的距离最小，
设 P（）

当且仅当=，即t=±时，|P|取得最小值，此时P的坐标为（2，±），进而求出MN的最小值为2/5。
评析
（1）关于解析法和综合法的比较。解析法属于通性通法，是解题的首选；本质是数形转换，用“数”的精确性规范几何图形，用“形”的直观性显示数量关系。综合法需要深刻挖掘几何图形的性质，寻求“动”与“不动”的交汇点。应用时须从运动变化的观点入手，考察哪些量是固定的，哪些量是变化的；哪些量是已知的，哪些量是未知的；已知条件如何运用，隐含条件如何挖掘；如何把代数语言转化成几何语言等。因为思考容量大，故计算量小。关键是深入观察，挖掘本质，把思想钻头钻的越深、本质暴露越充分，计算越巧。
（2）凡是涉及圆的问题一般都可以应用综合法，这是因为：
①圆的知识是初中学习的重点，在平面几何中得到系统论述，因此在高中试题中出现应当主要利用其几何性质，这是与其他圆锥曲线的不同之处；
②由于圆的高度对称性，平面上的各点只因与圆心的距离的不同而不同，所以可以360度转换视角，这种高度对称性蕴含着丰富的数量关系。
但凡遇到圆的问题，可抛开题中繁琐的图形，自己重新画一幅图，在从运动的观点出发，找到变化趋势，挖掘内部的制约因素。解决与圆有关的解析几何问题，一定要坚定用综合法求解的信念。
（3）本题实际包含一个结论：即圆的视角问题。随着视角的减小，公切弦长在增加，可以想象当点距离圆心为无穷远时，最小视角为0度，公切线弦长为直径。
（本文发表于《数理天地》第101期）
一道高考压轴题的思路探求
题目 如图，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E分有向线段AC的比为λ，双曲线C、D、E三点，且以A、B为焦点，当2/3≤λ≤3/4时，求双曲线离心率e的取值范围。（2000年数学理科试题）
分析 此题给人的第一感觉是陌生，以梯形为载体，主体是双曲线，涉及到多个参变量，在考场中如何快速地找到解题思路非常重要。首先要冷静，有自信。在陌生的情境中，我们先来对题目做一分析。
首先要建立坐标系，根据对称性原则，选直线AB垂直平分线为y轴。再利用分析综合法，即从已知和未知、条件和问题两方面同时入手。先用分析法，从条件入手，梳理已知条件有四：
（1）梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|；
（2）点E分有向线段AC的比为λ，且2/3≤λ≤3/4；
（3）双曲线焦点为A、B；
（4）C、D、E三点在双曲线 上。
首先利用（3）设出A、B两点坐标分别为（-c，0），(c，0)，在利用（1）自然得出C、D两点横坐标分别为c/2，-c/2。接下来应用隐含条件（2）、（4），（4）指明了双曲线，但题中未给出双曲线的方程，因此可设其为标准形式
(a>0，b>0)
但此时C、E的坐标未知，无法利用条件（4）（C、D关于y轴对称，只须得到C的坐标）。再看条件（3），E是有向线段AC的内分点，而A是定点，故E点位置取决于C点，即C是主动点，E是从动点。这时C的纵坐标便成为利用条件的突破口，分析受阻。
条件分析至此，再来分析问题。求离心率e的取值范围。求范围→e非定值→题中为一双曲线系→C点是动点，于是有必要引入C点的纵坐标h，于是条件（2）(4)得以运用，再回归问题，此题求e的取值范围，且最后一个条件（2）中2/3≤λ≤3/4恰好为一取值区间，可猜想λ为e的制约因素。这样目标就是找到e与λ的关系。把e=c/a代入上面由条件（3）（4）得到的方程，消去参数即可得到λ=f(e),然后利用λ的取值范围，求出答案。
解 以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D关于y轴对称。依题意，记A（-c，0），C（-c/2，h），E，其中c=|AB|/2为双曲线的半焦距，h是梯形的高，有定比分点坐标公式有

设双曲线的方程为
(a>0，b>0)
则离心率e=c/a。
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程中可得
（1）
（2）
由（1）可得
（3）
将（3）代入（2）中，有
（4-4λ）=1+2λ
故
λ=1-
由题设知2/3≤λ≤3/4知，。
评析
（1）梳理解题思路。①建立坐标系，设出A、B、C点坐标；②由已知把点E坐标由设定的参数表示出来，把C、E两点坐标和e=c/a代入双曲线方程；③消参，得到λ与e的关系方程F(λ，e)=0；④利用λ的约束条件求离心率e的取值范围。
（2）与历届高考试题的关系。自己建立坐标系，1998年高考试题亦考过。此题给出λ的取值范围，需要找出λ与e的关系再求解，与1992年上海高考压轴题相似。
（3）运用运动观点思考，不妨使CD沿y轴平移再看变化关系。
（本文发表于《中学生数学》第175期）

捕捉解题信息 力求有的放矢
经常听到有同学抱怨：物理题的叙述越来越长，读几遍也理不出头绪，更谈不上建立相应的物理模型、正确解题了。的确，为了把题意表达得严密、明确，现在物理解答题的题干动辄几百字，几乎赶上一篇小作文。“欲穷千里目，更上一层楼。”我们只有从繁杂的条件中跳出来，居高临下地捕捉有效的解题信息，力求有的放矢，才能正确地做题。
题目 如图所示，相距为d的狭缝P、Q间存在着电场强度为E，但方向按一定规律变化的匀强磁场（但电场方向始终与P、Q平面垂直）。狭缝两侧均有磁场强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区，其范围足够大。某时刻从P平面处由静止释放一个质量为m、带电量为q的带负电的粒子（不计重力），粒子被加速后由A点进入Q平面有侧磁场区域，以半径做圆周运动，并由点自右向左射出Q平面，此时电场恰好反向，使粒子再被加速而进入P平面左侧磁场区，做圆周运动，经半个圆周后射出P平面进入PQ狭缝，电场又反向，粒子又被加速……以后粒子每次达到PQ狭缝间电场都恰好反向，使粒子每次通过PQ间都电场恰好反向，使粒子每次通过PQ间都被加速。设粒子自右向左穿过Q平面的位置分别为、……
（1）粒子第一次在Q右侧磁场区做圆周运动的半径为多大？
（2）设与之间的距离小于/3，求n的值。
此题为某年北京市海淀区高考模拟题的压轴题。洋洋洒洒三百余字，又是在试卷的最后，很容易让同学产生畏惧心理。这是对阅读理解能力的一种考验，需要考生具备勇气和耐心。
分析 我们初读一下，可以看到粒子每穿过PQ一次便被电场加速一次。这就是我们所说的有效信息。注意，这是我们一边读题一边看图，并结合题干总结出的。读题时带着疑问，题中“电场方向按一定规律变化”，我们要自问究竟是怎样变化的，当我们明白粒子每达到狭缝电场便反向时，问题就解决了大半。理解题意的第一关就过了。
（2）问中出现了与，、……是怎样规定出来的呢？？题目中说“粒子自右向左穿过Q平面在A下方的交点。（2）问中还提到与之间的距离，这可不是一下就能看得出来的，需要我们归纳：从射入P左侧磁场的粒子 的轨道半径为，此后再进入Q右侧的轨道半径为，以此类推，、……，由数学知识可知=2-，=2-2，所以=。理解了题干和问题，就很容易求解了。
解 （1）设粒子由静止加速后的速度为，由电场力做功可得
Eqd=m/2
又粒子在Q侧磁场中做圆周运动，洛仑兹力提供向心力
Bq= m/
以上两式联立可得

（2）由射出，加速后进入P侧磁场区，速度为，半径为：

同理得出，…
有分析知=2-=2，
同理得出=2-2=2，
因此==2，
由题意，2≤/3，解出n＞5。
由本例我们看出，只要掌握分析题意的方法，捕捉解题信息，力求有的放矢，树立信心和勇气，难题也会被我们攻克。这道题还提示我们，在平时的学习过程中要努力提高处理文字信息、建立数学模型的能力，以达到解题能力的不断加强。
（本文发表于《中学生学习报》第803期）
（2）对考试的总结和反思
考试是难得的训练自己的机会，在特定的时间、特定的地点、特定的气氛下，你需要调动各方面的能力才能成功。而在每一次考试中，我都下意识地应用自己摸索出来的“目标控制法”，做到了每次考试都有收获和进步。
每次考试前，我都会在一张白纸上写满通过本次考试要达到的目标：要注意克服那些易犯的错误，尤其是要克服前几次考试中暴露出来的共性的失误；要积累哪些经验，应用那些技巧，比如选择题中的特征值法；要在多长的时间内完成卷面各部分，比如，争取35分钟内完成数学试卷中的选择题和填空题；要培养锻炼哪些应试的心理素质等。下面给大家看一下我在当年高三最后一次模拟考试中的总体考试目标。
高三三模总体目标
Ⅰ强化审题
①真正读懂题意，切忌浮躁潦草，这是正确解题的第一步。如没真正看懂题意，就一定不要动笔。（上次数学教训）
②分清条件和问题，不要混淆，弄清楚真正要解决的问题。理化题要分清背景知识（已知前提）和情景变换。（二模理科综合压轴题）
③用信息论的观点处理题目的已知条件。反复审题，用笔勾画出“题眼”，尤其要重视挖掘隐含条件，不放过任何细小的信息点，哪怕只有一两个字。（二模理综错的选择题）
④选择题的每个选项都要反复琢磨，弄清楚所有的选项，不可“一见钟情”，充分利用题目给出的全部信息。（英语选择题）
⑤解题速度控制，一定要做到“先慢后快”——审题要慢，计算要快。
Ⅱ思维训练
坚持考试中思维考察的核心地位，一定要透过现象看本质，深入问题的内核。在解题中与命题人是既合作又斗争的关系。
①看清命题人考察的目的和意图，检验哪种思维方法，具体的载体（知识点）是什么。认识到干扰项的作用，揣摩命题人期待出现的错误做法，与命题人思路一致。
②充分利用解题信息，找到命题对解答的限制，确定思考的方向和角度，借助命题人给出的暗示。
③多问题设问一定要利用各个小问之间的联系。（文言文前三题对后三题的提示作用，海淀数学压轴题）
Ⅲ心理锤炼
①强化信心：如果连我都做不出来，还有谁能做出来呢？因此把错误率降到最低就是胜利。
②处乱不惊：考完不与同学对答案，时刻保持平静、奋进的心态。
纠正两种不正确的态度：一模中数学没考好，就认为什么都完了；二模中英语考好了就认为什么都好了，其实在高手们的较量中，每一科都举足轻重，每一分都要锱铢必较，切忌放弃。每一科都要努力，每科都有潜力！
③这次模拟高考混排考场，要提高适应陌生环境和抗干扰的能力。

当然针对各科还有专项训练。考前有了这样的目标，在考试中有意识地施行和锻炼，争取达到预定目标。考后总结时也要根据这份计划检验、反思考试，如果目标达到了，总结成功的案例是如何形成的；如果目标没有达到，详细回忆当时考场上的种种情形，总结教训。这样才能在每次考试中有意识地锻炼应考经验，在考场上提高应变能力。
也就是说，我们要把考试看成是一个完整的流程，包括考前准备、考场发挥和考后调整三个阶段。同学中存在的误区往往是只注意考前准备和考场发挥两个阶段，对考后调整注意不够。事实上，高考之前的每一次模拟考试，最重要的就是考试后的总结与反思，只有这样，才能认识到自己的薄弱环节，不断提高考试能力。所以，有心的同学一定要做好健全的考后调整，不断提高自己的实力。
（3）对错误的总结和反思
对于错题也是这样，经常是做了错、错了记，到考试时准忘记。要格外珍惜平时遇到的错误，用心总结，在头脑中形成系统化的深刻印象。
在听课时，还有一个强大思考的方法推荐给大家。我们可以把笔记本的每一页都折成两部分，或者用铅笔划上线：空间大的那部分用来记课堂笔记，空间小的那一部分记自己对相应内容的理解、体会和思考。这样做的好处是：一方面，清晰地记录了老师上课讲的重要内容；另一方面，在自己复习、整理笔记的时候，又可以把自己的收获和对问题的新理解加以积累。也可以记笔记用蓝色笔，写思考用红色笔，总之，只有勤于思考，才能获得新知。
还要注意一点，思考一方面要强调原创性，不能照搬照抄；另一方面，也要汲取他人的智慧，博采众家。在解题方面，北京的《数理天地》、陕西师大的《中学数学参考》等杂志一直一严谨的办刊方针享有盛名，这些杂志反对解题庸俗化、肤浅化，真诚地剖析题目钻研到题目的核心，锻炼思维，文字清晰，有助于打开我们的思路。
【纠错专题】解函数题要牢固树立定义域优先的观念
1．函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采用何种方法求解必须先考虑定义域；
2．分段函数。定义域各区间端点应不重不漏；
3．判断函数的奇偶性，第一要考虑定义域是否关于原点对称；
4．单调性是函数关于某区间的性质，务必在定义域内，且应指明单调区间；
5．指数、对数函数、分式及根式一定要在研究前写出定义域；
6．讨论复合函数的性质，第一步是确定新变量的取值范围；
7．求反函数必不可少要注明反函数的定义域；
8．对于实际问题而言，一定要考虑有实际物理意义的定义域；
9．处理一切有关函数的综合问题前，都要先考虑定义域。

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