柯西——施瓦兹不等式探讨数学毕业论文.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文柯西施瓦兹不等式探讨 摘要：柯西施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子。近年来，许多学者在不同条件下提出柯西施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善。关键词：柯西施瓦兹不等式 证明 应用 引言：柯西施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题 、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西施瓦兹不等式4种表现形式，并且给出其一些应用性的例子。 柯西（Cauchy）不等式在代数学中的表现形式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：（判别式法） ，关于小的二次三项式保持非负，故判别式，当且仅当 即时等号成立证明2数学归纳法 （1）当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立即 当 ，k为常数， 或时等号成立设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立即 时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立；证明3（配方法）因故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。柯西不等式在几何中表现形式柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。（1）二维形式如图， 可知线段，及的长度分别由下面的式子给出：表示与的夹角。由余弦定理，我们有将，的值代入，化简得到而，故有于是这就是柯西不等式的二维形式。我们可以看到当且仅当，即当且仅当是零或平角，亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非，我们们总有.（2）三维形式对于三维情形，设是不同于原点的两个点，则与之间的夹角的余弦有 又由，得到柯西不等式的三维形式： 当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有 柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。定理：若和是两个复数序列，则有，当且仅当数列和成比例时等式成立。证明：设是复数，有恒等式若（其中），则有 由此推出了复数形式的柯西不等式。除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。定理1：若和是实数列，且，则当时，这个不等式即为柯西不等式。定理2：若和是正数序列，且或，则这个不等式实际上是Holder不等式的推论。对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式定理：设和是在上的实可积函数，则当且仅当和是线性相关函数时等式成立。证明1：对任意实数,有即即 证明2：将n等分，令，应用柯西不等式，令取极限，即证得。证明3：这就证明了施瓦兹不等式。由此可看出，如果连续，等号当且仅当存在（不全为零）使得时成立。柯西不等式形式在概率中表现形式定理：对任意随机变量和都有.等式成立当且仅当.这里是一个常数。证明：对任意实数，定义；显然对一切，因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根，所以，.此外，方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此，.有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。1） 证明不等式例1已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相关问题例2 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。3）用柯西不等式解释样本线性相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，则，由柯西不等式有，当时，此时，为常数。点 均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。4）应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式。使用时要注意恰当的选取函数与 。已知，在上连续，为任意实数，求证：证明：式左端第一项使用Schwarz不等式同理 （3）式即得式5)设在上有连续导函数，试证：证明：令 则由知因此 （应用Schwarz不等式） 6)假设函数在闭区间上连续阶导数，并且求证：这里，假如在上有连续的导数，则必有应用Schwarz公式两边同时积分（应用分部积分法）两边同时开方，便得欲证明的式回到一般情况，令反复应用刚刚证明的式（1）次。便可得欲证明不等式结束语本文利用代数学、集合学、分析学、概率论中的一些基本理论与技巧给出了柯西施瓦兹不等式4种表现形式及其证明应用。本文的结果对深入研究柯西施瓦兹不等式的性质及在代数学几、何学中具有十分重要的作用。参考书目1吕林根的解析几何M，北京，高等教育出版社. 20012程其襄的实变函数与泛函分析M，北京，高等教育出版社. 20033北京大学，高等代数M ，北京，高等教育出版社. 20054华东师范大学，数学分析M，北京，高等教育出版社. 20055茆诗松的概率论与数理统计M 北京，高等教育出版社. 20046戴朝寿，数理统计简明教程M 北京，高等教育出版社. 20047Lsaschs.Applied statistics 1984 The probe of CauchySchwarz inequalityAuthor:Zhang Daohuang Supervisor:Tang YanyuAbstract: CauchySchwarz-inequality is very important in equation, flexible ingenious application can make some comparatively difficult problems easily solved . This text provides several examples in proving of inequality and solving of triangle relevant problems and so on .In recent years ,many scholars put forward many forms of Cauchy-Schwarz inequality in different conditions,and make extensive and in-depth research about their properites and applieations.The paper bases on the existing literature and summarizes four kinds of forms of CauchySchwarz-inequality and their applications in mathematica .The conclusions of this paper futher deepen the theory of CauchySchwarz-inequality,but also improve the corresponding conclusions of the existing literature.Keyword： CauchySchwarz-inequality prove application 第 10 页 共 10 页