中考数学几何综合压轴题汇编(解析卷).pdf

中考数学几何综合压轴题汇编一.解答题（共18小题）1.如图，四边形 ABCD 内接于。O,AB=17,CD=10,ZA=90,cosB*,求 AD 的长.52.如图，在四边形ABCD中,BC=CD,NC=2 NBAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求 证：（1）ZBOD=ZC；（2）四边形OBCD是菱形.31DC3.如图，AB是。O的直径，AC是。O的切线，切点为A,BC交。O于点D,点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由；(2)若。的半径为2,ZB=50,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.4.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分NBCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.25.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AFLDE,垂足为F,OO 经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证：AFGsa DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。的半径.6.如图，矩形ABCD中，AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转。(0090,ZA=60,则NB=15。；(2)如图，在RtZXABC中，ZACB=90,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平分线，不难证 明4ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得4ABE也是“准 互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB=7,CD=12,BDCD,ZABD=2ZBCD,且AABC 是“准 互余三角形”，求对角线AC的长.511.如图，在以线段AB为直径的。上取一点C,连接AC、BC.将a ABC沿AB翻折后得到ABD.(1)试说明点D在。上；(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2二ACAE.求证：BE为。的切线；(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.12.如图，在a ABC中，AB=AC,AO_LBC于点O,OE_LAB于点E,以点O为圆心，OE为 半径作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是。O的切线；(2)若点F是A的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长.613.结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，Rta ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求4ABC的面积.解：设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理，得 AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理，得 x2+7x=12.所以S四bc=1aCBC茎(x+3)(x+4)(x2+7x+12)2=i-X(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3义4,即AABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索.已知：ZkABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗？(1)若NC=90。，求证：AABC的面积等于mn.倒过来思考呢？(2)若 ACBC=2mn,求证NC=90。.改变一下条件(3)若NC=60。，用m、n表示AABC的面积.714.【发现】如图，已知等边ABC,将直角三角板的60。角顶点D任意放在BC边上（点D 不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.（1）若 AB=6,AE=4,BD=2,则 CF=4；（2）求证：AEBDADCF.【思考】若将图中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF,如图所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分NBEF且FD平分N CFE?若存在，求出罂的值；若不存在，请说明理由.【探索】如图，在等腰AABC中，AB=AC,点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个 顶点放在点O处（其中NMON=NB）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与 ABC的顶点重合），连接EF.设NB=a,则AEF与4ABC的周长之比为1-cosa（用 含a的表达式表示）.815.问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求ta nN CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中N CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得MNEC,则NDNM=NCPN,连接DM,那么NCPN就变换到RtZXDMN中.问题解决(1)直接写出图1中ta nZCPN的值为2；(2)如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cosNCPN的值；思维拓展(3)如图 3,ABBC,AB=4BC,点 M 在 AB 上，且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求NCPN的度数.916.对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求舄的值；（2）将该矩形纸片展开.如图,折叠该矩形纸片，使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求 证：ZHPC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条 折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法.（不需说明理由）D17.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD,将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合)，点C落在 点N处，MN与CD交于点P,设BE=x.(1)当Am时，求x的值；(2)随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由;如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.18.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.4ABC是边长为2的等边三角形，E是 AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.图1 图2(1)如图1,当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等，请你 找出来，并证明.(2)当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为看如，求AE的长.(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D,请你探求4ECD的面积S1与4DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.(4)如图2,当4ECD的面积5率时，求AE的长.1 612中考数学几何综合压轴题汇编 参考答案与试题解析一.解答题（共18小题）1.如图，四边形 ABCD 内接于。O,AB=17,CD=10,ZA=90,cosB=1,求 AD 的长.解：四边形ABCD内接于（DO,ZA=90,.,.ZC=18 0-ZA=90,ZABC+ZADC=18 0.作 AELBC 于 E,DF_LAE 于 F,则 CDFE 是矩形，EF=CD=10.在 Rta AEB 中，V ZAEB=90,AB=17,cosZABC=,5RIBE-ABcos NABE=反，AE=Va2_Be2啜,.,.AF=AE-EF啜-10=y-.VZABC+ZADC=18 0,ZCDF=90,J ZABC+ZADF=90,VcosZABC=f-,5J sinZADF=cosZABC=.5在 Rta ADF 中，V ZAFD=90,sinZADF=|-，5B2.如图，在四边形ABCD中,BC=CD,NC=2 NB AD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)ZBOD=ZC；(2)四边形OBCD是菱形.证明：(1)延长OA到E,VOA=OB,.,.ZABO=ZBAO,又 Z BOE=ZABO+ZBAO,J ZBOE=2ZBAO,同理 NDOE=2NDAO,Z.ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)即 NBOD=2NBAD,又 NC=2NBAD,J ZBOD=ZC；(2)连接OC,VOB=OD,CB=CD,OC=OC,AAOBCAODC,.e.ZBOC=ZDOC,ZBCO=ZDCO,ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,，ZBOC=yZBOD,ZBCO=yZBCD,又 NBOD=NBCD,J ZBOC=ZBCO,.,.BO=BC,又OB=OD,BC=CD,.,.OB=BC=CD=DO,四边形OBCD是菱形.3.如图，AB是。的直径，AC是。的切线，切点为A,BC交。O于点D,点E是AC的中 点.(1)试判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由；(2)若。的半径为2,ZB=50,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.解：（1）直线DE与。O相切.理由如下:连接OE、OD,如图，AC是。O的切线，.AB_LAC,J ZOAC=90,点E是AC的中点，O点为AB的中点，OEBC,.Z1=ZB,Z2=Z3,VOB=OD,AZB=Z3,.-.Z1=Z2,在AAOE和ADOE中 OA=ODQE 二 OE.,.AOEADOE,5.,.ZODE=ZOAE=90,AOAIAE,DE为。的切线；（2）点E是AC的中点，.AE=iAC=2.4,2 ZAOD=2ZB=2X50=100,2图中阴影部分的面积=2X 2 X 2.4-10=；2 _4.8-2 360 94.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分NBCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.解：（1）四边形ABCD是矩形,ABCD,ZFAE=ZCDE,E是AD的中点，.AE=DE,又,:ZFEA=ZCED,.,.FAEACDE,，CD=FA,又：CDAF,四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD.16证明：TCF平分NBCD,.ZDCE=45,*.ZCDE=90,.CDE是等腰直角三角形,，CD=DE,E是AD的中点，Z.AD=2CD,VAD=BC,.,.BC=2CD.5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF,DE,垂足为E OO 经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证：ZAFGs4DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。的半径.(1)证明：在正方形ABCD中，ZADC=90,.ZCDF+ZADF=90,V AFX DE,Z.ZAFD=90,J ZDAF+ZADF=90,ZDAF=ZCDF,四边形GFCD是。O的内接四边形，.,.ZFCD+ZDGF=18 0,17 ZFGA+ZDGF=18 0,.ZFGA=ZFCD,.AFGADFC.(2)解：如图，连接CG.V ZEAD=ZAFD=90,ZEDA=ZADF,AAEDAAADF,.EA DA pnEA AF AF DF DA DFVAAFGADFC,.Ag_AF DC DF.也期 ,DC DA在正方形ABCD中，DA=DC,AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,.*.CG=DG2+DCa=5,*.ZCDG=90,.CG是。O的直径，OO的半径为6.如图，矩形ABCD中，AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转。（002解：（1）作AH_LAB于H,连接BD,BD）,则四边形ADA】H是矩形.AD=HA1=n=l,在 Rta AHB 中，VBA=BA=m=2,.,.BA=2HA1，J ZABA=30,，旋转角为30。，BD=12-i-2 2-a/5，AD到点D.所经过路径的长度卫三退:名.1 180 6(2)VABCEABA2D2，.CE_A2g2_n*CB A2B m，2.CE=-EAi,需返，2.,.AC=/6,m _ 2 BH=AC 印 1rl2-n 2=V&-m194m2-n2=64y,ID.*.m4-m2n2=6n4,2 41n a nm m:巫当-(负根已经舍弃).m 37.如图，AB为。的直径，C为。上一点，NABC的平分线交。O于点D,DEJ_BC于点E.(1)试判断DE与。O的位置关系，并说明理由；(2)过点D作DFJ_AB于点F,若BE=3/5,DF=3,求图中阴影部分的面积.解：(DDE与。O相切，理由：连接DO,VDO=BO,J ZODB=ZOBD,V ZABC的平分线交。O于点D,Z.ZEBD=ZDBO,Z.ZEBD=ZBDO,A DO/BE,VDE1BC,Z.ZDEB=ZEDO=90,DE与。O相切；(2)TNABC 的平分线交。O 丁点 D,DEBE,DFAB,Z.DE=DF=3,VBE=3/3，BD市不可取=6,VsinZDBF=A,6 22)Z.ZDBA=30,.ZDOF=60,/.sin60-DO-DO，.,.DO=2V3,则 FO=V3,故图中阴影部分的面积为：6%产2/尺口一手8.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA,点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延 长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若 DC=Vi,ta nZDCB=3,求菱形 AEBD 的面积.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形,ADCE,ZDAF=ZEBF,V ZAFD=ZEFB,AF=FB,.,.AFDABFE,.,.AD=EB,.ADEB,四边形AEBD是平行四边形，VBD=AD,四边形AEBD是菱形.(2)解：四边形ABCD是平行四边形，.,.CD=AB=V10，ABCD,21.,.ZABE=ZDCB,ta n Z ABE=ta n Z DCB=3,四边形AEBD是菱形，.,.ABIDE,AF=FB,EF=DF,.,ta n/ABE 掘=3,BF7BF=Vio2.ef/运，2DE=3-/10，S菱瑕eb)T.ABDE总近53班括15.9.如图，AB、AC分别是。的直径和弦，ODJ_AC于点D.过点A作。的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是。的切线；(2)若NABC=60。，AB=10,求线段 CF 的长.2VOD1AC,OD经过圆心O,Z.AD=CD,.,.PA=PC,在AOAP和OCP中，0A=0C.,PA二PC,QP 二 OPAAOAPAOCP(SSS),ZOCP=ZOAP PA是半。O的切线，Z.ZOAP=90.J ZOCP=90,即 OCJ_PC PC是。o的切线.(2)VOB=OC,ZOBC=60,/.OBC是等边三角形，J ZCOB=60,VAB=10,.,.OC=5,由(1)知 NOCF=90,，CF=OCta nZCOB=5V3.10.如果三角形的两个内角a与p满足2a+B=90。，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形(1)若AABC 是“准互余三角形，ZC90,ZA=60,则NB=15。；(2)如图，在RtZABC中，ZACB=90,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平分线，不难证 明4ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得4ABE也是“准 互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB=7,CD=12,BDCD,ZABD=2ZBCD,且a ABC 是“准 互余三角形”，求对角线AC的长.23解：(1);ABC 是“准互余三角形，ZC90,ZA=60,.,.2ZB+ZA=60,解得，ZB=15,故答案为：15。；(2)如图中,图在 Rta ABC 中，VZB+ZBAC=90,ZBAC=2ZBAD,-,.ZB+2ZBAD=90,.,.ABD是“准互余三角形”,VAABE也是“准互余三角形”,只有 2NA+NBAE=90。，Z A+ZB AE+ZEAC=90,.,.ZCAE=ZB,VZC=ZC=90,.,.CAEACBA,可得 CA2=CECB,.CE/，5BE=5-醇5 5(3)如图中，将ABCD沿BC翻折得到a BCF.D.,.CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,ZCBF=ZCBD,VZABD=2ZBCD,ZBCD+ZCBD=90,J Z ABD+ZDBC+ZCBF=18 0,A、B、F共线，Z.ZA+ZACF=902NACB+NCABW900,J 只有 2ZBAC+ZACB=90,.ZFCB=ZFAC,ZF=ZF,.,.FCBAFAC,，CF2=FBFA,设 FB=x,则有：x(x+7)=122,.x=9或-16(舍弃)，.,.AF=7+9=16,在 RtAACF 中，AC=p2+CF2=Vl 62+l 22=20,11.如图，在以线段AB为直径的。上取一点C,连接AC、BC.将AABC沿AB翻折后得到 ABD.(1)试说明点D在。O上；(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=ACAE.求证：BE为。的切线；(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE、CB相交丁点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.25解：(1)TAB为。O的直径，.ZC=90,将4ABC沿AB翻折后得到AABD,.ABCAABD,Z.ZADB=ZC=90,点D在以AB为直径的。O上；(2)VAABCAABD,AAC=AD,VAB2=AC-AE,，AB2=ADAE,即胆驾，AE ABZBAD=ZEAB,.ABDAAEB,J ZABE=ZADB=90,TAB为。O的直径，BE是。O的切线；(3)VAD=AC=4 BD=BC=2,ZADB=90,J AB=7 AD2+BD 2=74 2+二 2=2强,.AB AD*AE=AB，.2/_ 4，4+DE-2V5，解得：DE=1,.,.BE=/bd2+de2=,四边形ACBD内接于。O,Z.ZFBD=ZFAC,即 ZFBE+ZDBE=ZB AE+ZB AC,XV ZDBE+Z ABD=ZBAE+Z ABD=90,J ZDBE=ZBAE,Z.ZFBE=ZBAC,又 NBAC=NBAD,J ZFBE=ZBAD,/.FBEAFAB,.FE BE 目nFE V5 1,fFab,即而WTUT，FB=2FE,在 RtAACF 中,AF2=AC2+CF2,J(5+EF)2=42+(2+2EF)2,整理，得：3EF2-2EF-5=0,解得：EF=-1(舍)或 EF=1,.-.EF=|-.312.如图，在AABC 中，AB=AC,AO_LBC 于点 O,OE_LAB 于点 E,半径作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是。O的切线；(2)若点F是A的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时,以点O为圆心，OE为直接写出BP的长.(1)证明：作OH_1_AC于H,如图,VAB=AC,AO_LBC 于点 O,AO平分NBAC,VOE1AB,OHAC,.,.OH=OE,.AC是。的切线；(2)解：点F是AO的中点,.,.AO=2OF=3,而 OE=3,A ZOAE=30,ZAOE=60,AE=/3OE=3a/3，27图中阴影部分的面积=s A0-s eofMX 3 X 36-60?：32 货3元；AOE 扇形 EOF 2 丫 360 2（3）解：作F点关于BC的对称点F,连接EP交BC于P,如图，VPF=PFPE+PF=PE+PF=EF,此时 EP+FP 最小，VOFZ=OF=OE,NF=NOEP,而 Z AOE=N F+N OEFZ=60,：.NF=30。,，NF=NEAF,EF=EA=3V5，即PE+PF最小值为35在 Rta OPF中，OP=OF=6，在 山 ABO 中，ObXOA&X6=2,3 3，.BP=2时-l-3=3,即当PE+PF取最小值时，BP的长为Ji13.结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，Rta ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求4ABC的面积.解：设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理，得 AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.28根据勾股定理，得(X+3)2+(X+4)2=(3+4)2.整理,得埋+7x=12.所以S公bc=1aCBC4(x+3)(x+4)(x2+7x+12)2上X(12+12)2=12.小颖发现12恰好就是3X4,即AABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索.已知：AABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗？(1)若NC=90。，求证：ZXABC的面积等于mn.倒过来思考呢？(2)若 ACBC=2mn,求证NC=90.改变一下条件解：设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x,根据切线长定理，得：AE=AD=m BF=BD=n CF=CE=x,(1)如图1,在 Rta ABC 中，根据勾股定理，得：(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理，得：x2+(m+n)x=mn,所以 S/bcAGBC(x+m)(x+n)2=x2+(m+n)x+mn=(mn+mn)2=mn,(2)由 AC*BC=2mn,得：(x+m)(x+n)=2mn,整理，得：X2+(m+n)x=mn,/.AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2,根据勾股定理逆定理可得ZC=90；(3)如图2,过点A作AG_LBC于点G,图2在 Rta ACG 中，AG=AC*sin60_(x+m),CG=AC*cos60=y(x+m),2 2.BG=BC-CG=(x+n)-(x+m),在 RtAABG 中，根据勾股定理可得：亨(x+m)2+(x+n)-1-(x+m)2=(m+n)2,整理，得：x2+(m+n)x=3mn,AS arbCAGAHC 2(x+n)过(x+m)2 2=-x2+(m+n)x+mn44(3 mn+mn)=75mn.14.【发现】如图，已知等边ABC,将直角三角板的60。角顶点D任意放在BC边上（点D 不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.（1）若 AB=6,AE=4,BD=2,则 CF二 4；（2）求证：AEBDsa DCF.【思考】若将图中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF,如图所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分NBEF且FD平分N CFE?若存在，求出罂的值；若不存在，请说明理由.【探索】如图，在等腰a ABC中，AB=AC,点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个 顶点放在点O处（其中NMON=NB）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与ABC的顶点重合），连接EF.设NB=a,含a的表达式表示）.则4AEF与4ABC的周长之比为1-cosa（用国(1)解：ABC是等边三角形,.,.AB=BC=AC=6,ZB=ZC=60.VAE=4,.,.BE=2,贝lj BE=BD,BDE是等边三角形，N BED=60。，又,:ZEDF=60,Z.ZCDF=18 0-ZEDF-ZB=60,则 NCDF=NC=60。，.,.CDF是等边三角形，3.,.CF=CD=BC=BD=6-2=4.故答案是：4；(2)证明：如图,图V ZEDF=60,ZB=60,Z.ZCDF+BDE=120,ZBED+ZBDE=120,Z.ZBED=ZCDF.又 NB=NC=60。，AAEBDADCF；【思考】存在，如图，图过 D 作 DM_LBE,DGEF,DNCF,垂足分别是 M、G、N,VED平分NBEF且FD平分NCFE.,.DM=DG=DN.又NB=NC=60。，ZBMD=ZCND=90,.,.BDMACDN,BD=CD,即点D是BC的中点，.BD 1五一2【探索】如图,32N图连接 AO,作 OG_LBE,ODEF,OHCF,垂足分别是 G、D、H.贝|JNBGO=NCHO=90。，VAB=AC,O是BC的中点，.,.ZB=ZC,OB=OC,.,.OBGAOCH,.,.OG=OH,GB=CH,ZBOG=ZCOH=90-a,则NGOH=18 0。-（ZBOG+ZCOH）=2a,.ZEOF=ZB=a贝 ijNGOH=2NEOF=2a.由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=GE+FH（可通过半角旋转证明），则 CefAE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG,设 AB=m,则 OB=mcosa,GB=mcos2a.%AEF=2AG 二 AGin-mco/g._ _ cosaC/labc 2（AB+OB）AB+OB irH-incosG-故答案是：1-cosa.15.问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求ta nN CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中N CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得MNEC,则NDNM=NCPN,连接DM,那么NCPN就变换到RtZXDMN中.问题解决（1）直接写出图1中ta nZCPN的值为2；3(2)如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cosNCPN的值;思维拓展(3)如图 3,ABBC,AB=4BC,点 M 在 AB 上，且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求NCPN的度数.C图1 图2 图3 N解：(1)如图1中，,，ECMN,ZCPN=ZDNM,Ata n Z CPN=ta n Z DNM,*.ZDMN=90,.,.ta nZCPN=ta n NDNM 嗡=2,故答案为2.(2)如图2中，取格点D,连接CD,DM.CDAN,Z.ZCPN=ZDCM,VADCM是等腰直角三角形,.,.ZDCM=ZD=45,JoJ cos ZCPN=cos ZDCM=2iA.2(3)如图3中，如图取格点M,连接AN、MN.VPC/MN,Z.ZCPN=ZANM,TAM=MN,ZAMN=90,J ZANM=ZMAN=45,.ZCPN=45.16.对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求品的值；（2）将该矩形纸片展开.如图，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求 证：ZHPC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法,折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法.月1-?4.不 不一丁周图 图C方图C解：（1）由图，可得NBCe1nBCD=45。，又NB=90。，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条（不需说明理由）A H p3图*5BCE是等腰直角三角形，需cos45=,即 CE=BC,由图，可得CE=CD,而AD=BC,Z.CD=V2AD,(2)设 AD=BC=a,则 AB=CD=a,BE=a,Z.AE=(V2-1)a,如图，连接EH,则NCEH=NCDH=90。，V ZBEC=45,ZA=90,Z.ZAEH=45=ZAHE,AAH=AE=(a/2-1)a,设 AP=x,则 BP=Ja-x,由翻折可得，PH=PC,即 PH2=PC2,/.AH2+AP2=BP2+BC2,即-1)a 2+x2=-X)2+a 2,解得 X=a,即 AP=BC,XVPH=CP,ZA=ZB=90,ARtAAPHRtABCP(HL),Z.ZAPH=ZBCP,又RSCP 中，ZBCP+ZBPC=90,.ZAPH+ZBPC=90,Z.ZCPH=90；折法：如图，由AP二BC=AD,可得4ADP是等腰直角三角形，PD平分NADC,故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；26折法：如图，由NBCE=NPCH=45。，可得NBCP=NECH,由 NDCE=NPCH=45。，可得NPCE=NDCH,XVZDCH=ZECH,Z.ZBCP=ZPCE,即 CP 平分NBCE,故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P.17.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD,将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合)，点C落在 点N处，MN与CD交于点P,设BE=x.(1)当AM吾时，求x的值；(2)随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.解：（1）如图，在 RtAEM 中，AE=1-x,EM=BE=x,Am,JVAE2+AM2=EM2,37:.(1-X)24-(、)2=X2,(2)ZiPDM的周长不变，为2.理由：设 AM=y,贝lBE=EM=x,MD=1-y,在RtAAEM中,由勾股定理得AE2+AM2=EM2,(1-X)2+y2=X2,解得 l+y2=2x,1-y2=2(1-x)V ZEMP=90,ZA=ZD,J RtAAEMRtADMP,.AE+EM+AM=AE 即 lr+.+yJr*DM+NP+DP=ND?DM+MP+DP-1 1 2解得 DM+MP+DP=LP=2.L-x DMP的周长为2.(3)作FH_LAB于H.则四边形BCFH是矩形.连接BM交FN于O,交FH于K.在 Rta AEM 中，AM=7x2-(l-x)2=V2rf，B、M关于EF对称,ABMXEF,A ZKOF=ZKHB,V ZOKF=ZBKH,.ZKFO=ZKBH,VAB=BC=FH,ZA=ZFHE=90,.ABM/HFE,EH=AM=VT，Z.CF=BH=x-S=4(BE+CF)BC=i(x+x-aj&T)=A 2-yS+l=l-4)2+得.Z 2 Z Z 2 o18.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.4ABC是边长为2的等边三角形，E是 AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.图1 图2（1）如图1,当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等，请你 找出来，并证明.（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为求AE的长.（3）如图2,当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D,请你探求4ECD的面积S1与4DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.（4）如图2,当4ECD的面积叫幸时，求AE的长.解：（1）结论：AABEACBF.理由：如图1中，图1A VAABC,ABEF都是等边三角形,.BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF,J ZABE=ZCBF,AAABEACBF.39(2)如图 1 中，.,ABEgZkCBF,S=SABE-aBCF,*S 四边形 BECFHSaBEc+SaBCFNSaBCE+SaABEHSaABC，s/炳.四边形abcf 一厂,.S-3V3,ABE 一厂，AAEABsiin60=2 4JAE工 2（3）结论：S2-S.图2ABC,4BEF都是等边三角形,/.BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF,/.NABE=NCBF,AAABEACBF,ABE=aBCF,7 Sabcf-SaBCE=S2-Sj*,S2-S1=SaABE-Sabce=Saabc=(4)由(3)可知：S BDF-S ecd=a/3，VS ecd幸，DlJr A,q _7V3bdf-VAABEACBF,.,.AE=CF,ZBAE=ZBCF=60,Z.ZABC=ZDCB,CFAB,则4BDF的BF边上的高为6，可得DF=5，设CE=x,贝lj 2+x=CD+DF=CDf,CD=x-得，J4)VCD#AB,.型0,即上,AB AE x+2化简得：3x2-x-2=0,解得x=i或-称（舍弃），.,.CE=1,AE=3.41